3.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点对称,则这个点是().


A.$O_1$
B.$O_2$
C.$O_3$
D.$O_4$

3. A

【分析】
要确定两个成中心对称图形的对称中心，可依据中心对称的性质思考：成中心对称的两个图形，任意两组对应点的连线都经过同一个点，这个公共交点就是对称中心。因此解题时只需找出两组对应顶点，分别连接得到两条线段，它们的交点就是所求的对称中心。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且对称中心是两组对应点连线的公共交点。观察图形，选取两组对应顶点分别连线，可发现两条连线的交点为$O_1$，因此该点就是两个四边形的对称中心。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质
【点评】
本题属于基础题，考查中心对称性质的直接应用，只要掌握对称中心是对应点连线的公共交点这一规律，就能快速解题。
【难度系数】
0.8

4.如图，正方形ABCD与正方形GHEF中心对称，则下列关于对称中心的描述不正确的是().

A.对称中心是线段CE的中点
B.对称中心是线段DF的中点
C.对称中心是点E
D.对称中心是线段AG与DF的交点

4. C

【分析】
解决本题需结合中心对称的性质思考：成中心对称的两个图形，所有对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即对称中心是任意一对对应点连线的中点，也是所有对应点连线的公共交点。首先确定两个正方形的对应点，再逐一判断各选项描述是否符合对称中心的特征即可。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点所连线段的中点为对称中心，且所有对应点连线均交于对称中心。
观察图形可得正方形ABCD与正方形GHEF的对应点为：C与E、D与F、A与G、B与H。
选项A：线段CE是对应点C、E的连线，其中点为对称中心，描述正确，不符合题意；
选项B：线段DF是对应点D、F的连线，其中点为对称中心，描述正确，不符合题意；
选项C：点E是其中一个正方形的顶点，属于对应点之一，不是对应点连线的中点，不可能是对称中心，描述错误，符合题意；
选项D：线段AG、DF都是对应点的连线，二者的交点就是对称中心，描述正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质，对称中心的判定
【点评】
本题重点考查中心对称性质的应用，解题的核心是找准成中心对称图形的对应点，再根据对应点与对称中心的关系判断即可，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8

5. 如图，已知$△ ABC$与$△ CDA$关于点$O$对称，过点$O$任意作一直线$EF$，分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$。
下面的结论：①点$E$和点$F$，点$B$和点$D$是关于点$O$的对称点；②直线$BD$经过点$O$；③四边形$DEOC$与四边形$BFOA$的面积相等；④$△ AOE$与$△ COF$中心对称。其中正确的有（填序号）。

5. ①②③④

【分析】
解题思路如下：首先根据△ABC与△CDA关于点O对称，可推出四边形ABCD是平行四边形，点O是平行四边形的对称中心，再结合中心对称的性质逐一验证4个结论是否成立：
1. 回忆中心对称核心性质：关于中心对称的两个图形，对称点连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，两个图形全等。
2. 推导四边形形状：由△ABC和△CDA关于O对称，可得AB=CD、AD=BC，因此ABCD是平行四边形，O是对角线交点即对称中心。
3. 逐个判断结论：①过对称中心的直线与一组对边的交点是对称点，平行四边形对角顶点是对称点，可判断①；②对称点连线过对称中心，可判断②；③中心对称图形被过对称中心的直线分割的两部分面积相等，结合全等图形面积相等可判断③；④两个三角形所有对应点都关于O对称，可判断④。
【解析】
解：
∵△ABC与△CDA关于点O对称，
∴AB=CD，AD=BC，且对称中心O是AC的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形，点O是平行四边形ABCD的对称中心。
①
∵AD//BC，O是对称中心，过O的直线EF交AD于E、交BC于F，
∴点E和点F是关于O的对称点，平行四边形的对角顶点B和D也是关于O的对称点，故①正确；
②
∵B和D是关于O的对称点，根据中心对称的性质，对称点的连线经过对称中心，
∴直线BD经过点O，故②正确；
③
∵平行四边形是中心对称图形，且△ABC≌△CDA，二者面积相等，
又
∵△AOE和△COF关于O对称，面积相等，
∴$S_{四边形BFOA}=S_{△ABC}-S_{△COF}$，$S_{四边形DEOC}=S_{△CDA}-S_{△AOE}$，
∴$S_{四边形DEOC}=S_{四边形BFOA}$，故③正确；
④△AOE的三个顶点A、O、E的对应点分别是C、O、F，所有对应点都关于点O对称，
∴△AOE与△COF关于点O中心对称，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
中心对称的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题重点考查中心对称性质的应用，解题的突破口是先根据已知条件判断出四边形ABCD是平行四边形，再结合中心对称的性质逐一验证结论，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7

6.如图，$△ ABC$ 和 $△ DEC$ 关于点 C 对称.若 $AC=1$，$AB=2$，$∠ BAC=90°$，则 AE 的长是

6. $2\sqrt{2}$

【分析】
解题时先根据中心对称的性质，明确成中心对称的两个三角形全等，由此得到对应边相等、对应角相等，先求出DE、DC的长度以及∠D的度数，再计算出AD的长度，最后在直角三角形ADE中运用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC和△DEC关于点C对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴DE=AB=2，DC=AC=1，∠D=∠BAC=90°，
∴AD=AC+DC=1+1=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查中心对称性质的灵活运用，解题的关键是通过中心对称得到全等三角形，从而获得直角三角形的相关边长，结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7

7.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,△BOC与△B₁O₁C关于点C对称,连接AB₁.若AC=2,AB₁=3√2,则O₁B₁的长度为.

7. 3

【分析】
解题时先从已知图形性质入手：首先回忆菱形的性质，菱形对角线互相垂直平分，可得∠BOC=90°，OC长度是AC的一半为1；再利用中心对称的性质，两个关于点C对称的三角形对应边相等、对应角相等，可推出O₁C=OC=1，∠O₁=∠BOC=90°，进而算出AO₁的长度为3；此时△AO₁B₁为直角三角形，已知斜边AB₁和直角边AO₁的长度，用勾股定理即可求出O₁B₁的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，AC=2，
所以AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=1$，$∠ BOC=90°$。
2. 因为$△ BOC$与$△ B_1O_1C$关于点C对称，根据中心对称的性质可得：
$O_1C=OC=1$，$∠ O_1=∠ BOC=90°$，
因此$AO_1=AC+CO_1=2+1=3$。
3. 在$Rt△ AO_1B_1$中，$∠ O_1=90°$，$AO_1=3$，$AB_1=3\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$O_1B_1=\sqrt{AB_1^2-AO_1^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-3^2}=\sqrt{18-9}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，将菱形、中心对称的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是通过性质推导得到直角三角形，再代入边长计算，有助于学生巩固几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

8.如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C与曲线C'关于点O对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a，垂足为B，A'D⊥b，垂足为D。若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积为。

8. 12

【分析】
解题时首先利用中心对称的性质思考：关于点中心对称的两个图形全等，不规则的阴影部分可通过割补转化为规则图形计算面积。本题中两部分阴影分别在对称中心两侧，可将左下阴影绕点O旋转180°，与右上阴影拼接为长方形，长方形的长为OB的长度，宽等于OD的长度，直接计算长方形面积即可得到阴影总面积。
【解析】
∵ 曲线C与曲线C'关于点O中心对称，点A的对称点是点A'，
∴ 根据中心对称的性质，可将左下方的阴影部分绕点O旋转180°，刚好与右上方的阴影部分拼接成一个长方形。
已知OB=4，OD=3，拼接得到的长方形的长为OB=4，宽为OD=3，
∴ 阴影部分的面积 = 长方形的面积 = 4×3 = 12。
【答案】
12
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题考查中心对称性质的实际应用，解题核心是利用中心对称的特性把不规则的阴影图形转化为规则的长方形，将复杂的面积计算简化，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7

9.(教材P104习题T1变式)已知△ABC和△A'B'C'关于点O对称,请在下图中画出对称中心O,并将△A'B'C'补充完整(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).

解：
1. 连接$CC'$，作线段$CC'$的中点，该中点即为所求的对称中心$O$；
2. 连接$AO$并延长，在延长线上截取$OA'=OA$，得到点$A$关于点$O$的对称点$A'$；
3. 连接$BO$并延长，在延长线上截取$OB'=OB$，得到点$B$关于点$O$的对称点$B'$；
4. 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得图形即为补全后的$△ A'B'C'$，保留所有尺规作图痕迹即可。

【分析】
本题可依据中心对称的性质逐步解题：①首先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；②已知一组对应点C和C'，因此先连接CC'，作出CC'的中点即可得到对称中心O；③接下来要确定A、B的对应点A'、B'，只需分别连接AO、BO并延长，在延长线上截取长度等于AO、BO的线段，端点即为A'、B'；④最后顺次连接A'、B'、C'即可得到完整的△A'B'C'，作图全程保留尺规痕迹即可。
【解析】
1. 连接$CC'$，用尺规作线段$CC'$的中点，该中点即为所求的对称中心$O$；
2. 连接$AO$并延长，在$AO$的延长线上截取$OA'=OA$，得到点$A$关于点$O$的对称点$A'$；
3. 连接$BO$并延长，在$BO$的延长线上截取$OB'=OB$，得到点$B$关于点$O$的对称点$B'$；
4. 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得图形即为补全后的$△ A'B'C'$，保留所有尺规作图痕迹。
【答案】
按上述步骤作出的对称中心$O$和$△ A'B'C'$即为所求，保留作图痕迹即可。
【知识点】
中心对称的性质；尺规作图
【点评】
本题属于中心对称作图的基础题型，主要考查对中心对称性质的应用能力和基本尺规作图的操作能力，解题关键是先利用已知对应点确定对称中心，再依次找出剩余顶点的对应点，作图时需注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.7

10.如图,在平面直角坐标系中,$△ OA_1B_1$是边长为2的等边三角形,作$△ B_2A_2B_1$与$△ OA_1B_1$关于点$B_1$对称,再作$△ B_2A_3B_3$与$△ B_2A_2B_1$关于点$B_2$对称,如此作下去,则$△ B_{2n-1}A_{2n}B_{2n}$($n$是正整数)的顶点$A_{2n}$的坐标是.

10. $(4n-1,-\sqrt{3})$

【分析】
首先求出初始等边三角形顶点$A_1$的坐标，再利用中心对称“对称点的连线中点为对称中心”的性质，依次求出$A_2$、$A_4$等偶数下标顶点的坐标，观察坐标的变化规律，最终推导得出$A_{2n}$的通用坐标。
【解析】
解：
∵$△ OA_1B_1$是边长为2的等边三角形，
∴$OB_1=2$，$A_1$的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为等边三角形的高$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，即$A_1(1,\sqrt{3})$，$B_1(2,0)$。
∵$△ B_2A_2B_1$与$△ OA_1B_1$关于点$B_1$对称，
∴$B_1$是$A_1$和$A_2$的中点，设$A_2(x,y)$，根据中点坐标公式：
$\frac{1+x}{2}=2$，$\frac{\sqrt{3}+y}{2}=0$
解得$x=3$，$y=-\sqrt{3}$，即$A_2(3,-\sqrt{3})$。
同理可求得：$A_4(7,-\sqrt{3})$，$A_6(11,-\sqrt{3})$……
观察偶数下标的$A$点坐标规律：
$n=1$时，$A_2$横坐标$3=4×1-1$，纵坐标为$-\sqrt{3}$；
$n=2$时，$A_4$横坐标$7=4×2-1$，纵坐标为$-\sqrt{3}$；
$n=3$时，$A_6$横坐标$11=4×3-1$，纵坐标为$-\sqrt{3}$；
……
综上，$A_{2n}$的坐标为$(4n-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(4n-1,-\sqrt{3})$
【知识点】
中心对称的性质，规律型点的坐标，中点坐标公式
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是先利用中心对称的性质计算出前几个对应点的坐标，再通过归纳坐标变化的共性得到通用规律，侧重考查学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6