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•练习1 某小区新增了一家快递驿站，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递驿站揽件的日平均增长率为
归纳总结 平均变化率问题:设a为起始量，b为终止量，n为增长(或降低)的次数，则平均增长率公式为$a(1+x)^n = b$（x为平均增长率）；平均降低率公式为$a(1-x)^n = b$（x为平均降低率）。
20%
。归纳总结 平均变化率问题:设a为起始量，b为终止量，n为增长(或降低)的次数，则平均增长率公式为$a(1+x)^n = b$（x为平均增长率）；平均降低率公式为$a(1-x)^n = b$（x为平均降低率）。
答案
20%
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：第一步，对应平均增长率公式$a(1+x)^n = b$，其中$a$为起始量，$b$为终止量，$n$为增长次数，$x$为平均增长率；第二步，提取题干数值：第一天揽件100件是起始量$a=100$，第三天揽件144件是终止量$b=144$，第一天到第三天共增长2次，即$n=2$；第三步，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，换算为百分数即可得到结果。
【解析】
设该快递驿站揽件的日平均增长率为$x$。
根据平均增长率公式列方程：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同时除以100，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：
$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
由于日平均增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-2.2$。
则$x=0.2=20\%$
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均增长率问题的常规题型，解题核心是准确识别起始量、终止量和增长次数，正确套用公式列方程，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：第一步，对应平均增长率公式$a(1+x)^n = b$，其中$a$为起始量，$b$为终止量，$n$为增长次数，$x$为平均增长率；第二步，提取题干数值：第一天揽件100件是起始量$a=100$，第三天揽件144件是终止量$b=144$，第一天到第三天共增长2次，即$n=2$；第三步，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，换算为百分数即可得到结果。
【解析】
设该快递驿站揽件的日平均增长率为$x$。
根据平均增长率公式列方程：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同时除以100，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：
$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
由于日平均增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-2.2$。
则$x=0.2=20\%$
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均增长率问题的常规题型，解题核心是准确识别起始量、终止量和增长次数，正确套用公式列方程，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
•练习2 某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后甲与其他两位成员乙、丙交流的情况.
甲：“该商品的进价为24元/件.”成员乙：“当定价为40元/件时，每天可售出480件.”成员丙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件.”
根据他们的对话，要使该商品每天获利7 680元，应该怎样合理定价？
归纳总结 销售利润问题：利润＝售价－进价；
利润率＝$\frac{利润}{进价}×100\%＝\frac{售价－进价}{进价}×100\%$；
售价＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量.
甲：“该商品的进价为24元/件.”成员乙：“当定价为40元/件时，每天可售出480件.”成员丙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件.”
根据他们的对话，要使该商品每天获利7 680元，应该怎样合理定价？
归纳总结 销售利润问题：利润＝售价－进价；
利润率＝$\frac{利润}{进价}×100\%＝\frac{售价－进价}{进价}×100\%$；
售价＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量.
答案
定价为 36 元/件或 40 元/件或48 元/件.
解析
【分析】
本题是典型的销售利润类应用题，解题核心依据是“总利润=单件利润×销售总量”。由于单价调整分为涨价、降价两种情况，对应销量的变化规律不同，因此需要分类讨论求解：①若单价上涨，设上涨金额为未知数，分别表示出调价后的单件利润和日销量，根据总利润为7680元列一元二次方程求解；②若单价下降，同理设下降金额为未知数，列方程求解；最后去除重复的定价，验证所有解符合实际销售要求即可。
【解析】
我们分涨价、降价两种情况讨论：
1. 当单价上涨时，设每件商品涨价$ x $元：
此时单件利润为$ 40 + x - 24 = (16 + x) $元，日销售量为$ (480 - 20x) $件，根据总利润公式列方程：
$(16 + x)(480 - 20x) = 7680$
整理方程得：$ x^2 - 8x = 0 $，因式分解得$ x(x - 8) = 0 $
解得$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 8 $
对应定价分别为：$ 40 + 0 = 40 $元/件，$ 40 + 8 = 48 $元/件，均符合销售实际。
2. 当单价下降时，设每件商品降价$ y $元：
此时单件利润为$ 40 - y - 24 = (16 - y) $元，日销售量为$ (480 + 40y) $件，根据总利润公式列方程：
$(16 - y)(480 + 40y) = 7680$
整理方程得：$ y^2 - 4y = 0 $，因式分解得$ y(y - 4) = 0 $
解得$ y_1 = 0 $，$ y_2 = 4 $
对应定价分别为：$ 40 - 0 = 40 $元/件，$ 40 - 4 = 36 $元/件，均符合销售实际。
去除重复的定价40元/件，最终合理定价为36元/件、40元/件、48元/件。
【答案】
定价为 36 元/件或 40 元/件或48 元/件.
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查一元二次方程在销售问题中的实际应用，解题的关键是准确掌握总利润的计算公式，注意根据调价的不同方向分类讨论，避免漏解，同时解出结果后要验证是否符合实际销售的合理性。
【难度系数】
0.7
本题是典型的销售利润类应用题，解题核心依据是“总利润=单件利润×销售总量”。由于单价调整分为涨价、降价两种情况，对应销量的变化规律不同，因此需要分类讨论求解：①若单价上涨，设上涨金额为未知数，分别表示出调价后的单件利润和日销量，根据总利润为7680元列一元二次方程求解；②若单价下降，同理设下降金额为未知数，列方程求解；最后去除重复的定价，验证所有解符合实际销售要求即可。
【解析】
我们分涨价、降价两种情况讨论：
1. 当单价上涨时，设每件商品涨价$ x $元：
此时单件利润为$ 40 + x - 24 = (16 + x) $元，日销售量为$ (480 - 20x) $件，根据总利润公式列方程：
$(16 + x)(480 - 20x) = 7680$
整理方程得：$ x^2 - 8x = 0 $，因式分解得$ x(x - 8) = 0 $
解得$ x_1 = 0 $，$ x_2 = 8 $
对应定价分别为：$ 40 + 0 = 40 $元/件，$ 40 + 8 = 48 $元/件，均符合销售实际。
2. 当单价下降时，设每件商品降价$ y $元：
此时单件利润为$ 40 - y - 24 = (16 - y) $元，日销售量为$ (480 + 40y) $件，根据总利润公式列方程：
$(16 - y)(480 + 40y) = 7680$
整理方程得：$ y^2 - 4y = 0 $，因式分解得$ y(y - 4) = 0 $
解得$ y_1 = 0 $，$ y_2 = 4 $
对应定价分别为：$ 40 - 0 = 40 $元/件，$ 40 - 4 = 36 $元/件，均符合销售实际。
去除重复的定价40元/件，最终合理定价为36元/件、40元/件、48元/件。
【答案】
定价为 36 元/件或 40 元/件或48 元/件.
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查一元二次方程在销售问题中的实际应用，解题的关键是准确掌握总利润的计算公式，注意根据调价的不同方向分类讨论，避免漏解，同时解出结果后要验证是否符合实际销售的合理性。
【难度系数】
0.7
·练习3 (教材P24习题T3变式)《教育强国建设规划纲要(2024—2035年)》中指出,要落实健康第一教育理念,实施学生体质强健计划,中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时,加强校园足球建设,有效控制近视率、肥胖率.某市以此为契机举行了足球邀请赛,规定参赛的每两个队之间比赛一场.
(1)如果有4支球队参加比赛,那么共需进行
(2)如果全市共需进行28场比赛,那么有多少支球队参加比赛?
归纳总结 循环问题:设有$n$个元素,则单循环的总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
(1)如果有4支球队参加比赛,那么共需进行
6
场比赛.(2)如果全市共需进行28场比赛,那么有多少支球队参加比赛?
归纳总结 循环问题:设有$n$个元素,则单循环的总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
答案
(1) 6 (2) 8支
解析
【分析】
本题属于单循环比赛类实际应用题，解题核心是熟练运用单循环总场次计算公式：$n$个主体单循环的总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$。第一问已知球队数量，直接代入公式计算即可；第二问已知总场次，可先设参赛球队数量为未知数，代入公式列一元二次方程，求解后结合“球队数量为正整数”的实际要求舍去不合理的根，即可得到答案。
【解析】
(1) 已知有4支球队参赛，属于单循环赛制，代入单循环总场次公式：
总场次$=\frac{1}{2}×4×(4-1)=\frac{1}{2}×4×3=6$
(2) 设有$x$支球队参加比赛，根据单循环总场次公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理方程得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
∵球队数量不能为负数，
∴舍去$x_2=-7$，即$x=8$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{8}$支
【知识点】
单循环问题、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育政策的实际背景考查方程的实际应用，解题关键是准确理解单循环赛制的计数规则，正确列出方程，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
本题属于单循环比赛类实际应用题，解题核心是熟练运用单循环总场次计算公式：$n$个主体单循环的总次数为$\frac{1}{2}n(n-1)$。第一问已知球队数量，直接代入公式计算即可；第二问已知总场次，可先设参赛球队数量为未知数，代入公式列一元二次方程，求解后结合“球队数量为正整数”的实际要求舍去不合理的根，即可得到答案。
【解析】
(1) 已知有4支球队参赛，属于单循环赛制，代入单循环总场次公式：
总场次$=\frac{1}{2}×4×(4-1)=\frac{1}{2}×4×3=6$
(2) 设有$x$支球队参加比赛，根据单循环总场次公式列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理方程得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
∵球队数量不能为负数，
∴舍去$x_2=-7$，即$x=8$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{8}$支
【知识点】
单循环问题、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育政策的实际背景考查方程的实际应用，解题关键是准确理解单循环赛制的计数规则，正确列出方程，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
