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5.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，且这两个数字之积等于它们和的2倍，求这个两位数。
答案
5. 63 或 36
解析
【分析】
解决这类数字类应用题，首先可设其中一个数位的数字为未知数，结合两数字之和为9，用含未知数的式子表示出另一个数位的数字；再根据“两个数字之积等于它们和的2倍”这一等量关系列一元二次方程；求解方程后，结合数位的取值要求（十位数字不为0，数位数字为0-9的整数）验证解的合理性，最终得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设十位上的数字为$ x $，则个位上的数字为$ 9-x $，根据题意列方程得：
$ x(9-x) = 9×2 $
整理方程得：$ x^2 - 9x + 18 = 0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-6) = 0 $
解得：$ x_1=3 $，$ x_2=6 $
①当$ x=3 $时，个位数字为$ 9-3=6 $，这个两位数是$ 10×3 + 6 = 36 $；
②当$ x=6 $时，个位数字为$ 9-6=3 $，这个两位数是$ 10×6 + 3 = 63 $。
【答案】
63或36
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础的方程应用类题型，解题关键是合理设未知数，准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求验证解的合理性，避免出现错误结果。
【难度系数】
0.7
解决这类数字类应用题，首先可设其中一个数位的数字为未知数，结合两数字之和为9，用含未知数的式子表示出另一个数位的数字；再根据“两个数字之积等于它们和的2倍”这一等量关系列一元二次方程；求解方程后，结合数位的取值要求（十位数字不为0，数位数字为0-9的整数）验证解的合理性，最终得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设十位上的数字为$ x $，则个位上的数字为$ 9-x $，根据题意列方程得：
$ x(9-x) = 9×2 $
整理方程得：$ x^2 - 9x + 18 = 0 $
因式分解得：$ (x-3)(x-6) = 0 $
解得：$ x_1=3 $，$ x_2=6 $
①当$ x=3 $时，个位数字为$ 9-3=6 $，这个两位数是$ 10×3 + 6 = 36 $；
②当$ x=6 $时，个位数字为$ 9-6=3 $，这个两位数是$ 10×6 + 3 = 63 $。
【答案】
63或36
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础的方程应用类题型，解题关键是合理设未知数，准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求验证解的合理性，避免出现错误结果。
【难度系数】
0.7
6.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）.
（1）每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑？
（2）如果按照这样的感染速度，经过三轮传播后，被感染的电脑会不会超过1700台？
（1）每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑？
（2）如果按照这样的感染速度，经过三轮传播后，被感染的电脑会不会超过1700台？
答案
(1) 11台 (2) 会
解析
【分析】
这是典型的传播类应用题，解题核心是梳理每轮感染后被感染电脑的总数量规律。首先设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑：①第一轮传播后，初始1台感染了x台，总感染数为1+x台；②第二轮传播时，每台已感染的电脑都感染x台，因此两轮后总感染数可整理为$(1+x)^2$台，结合题目给出的两轮后共144台感染，即可列一元二次方程求解x。第二问可根据传播规律，用两轮后的总感染数乘以(1+x)得到三轮后的总感染数，再和1700比较大小即可判断。
【解析】
（1）设每轮传播中平均一台电脑感染$x$台电脑。
根据两轮传播后总感染数为144台，列方程：
$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = \pm12$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -13$
由于感染数量不能为负数，舍去$x_2=-13$。
（2）经过三轮传播后，被感染的电脑总数为：
$144×(1+11) = 144×12 = 1728$（台）
因为$1728＞1700$，因此会超过1700台。
【答案】
(1) 11台 (2) 会
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、数的大小比较
【点评】
本题是传播类基础应用题，重点考查对数量增长规律的梳理能力，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根，再根据规律计算后续轮次的总量即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类应用题，解题核心是梳理每轮感染后被感染电脑的总数量规律。首先设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑：①第一轮传播后，初始1台感染了x台，总感染数为1+x台；②第二轮传播时，每台已感染的电脑都感染x台，因此两轮后总感染数可整理为$(1+x)^2$台，结合题目给出的两轮后共144台感染，即可列一元二次方程求解x。第二问可根据传播规律，用两轮后的总感染数乘以(1+x)得到三轮后的总感染数，再和1700比较大小即可判断。
【解析】
（1）设每轮传播中平均一台电脑感染$x$台电脑。
根据两轮传播后总感染数为144台，列方程：
$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = \pm12$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -13$
由于感染数量不能为负数，舍去$x_2=-13$。
（2）经过三轮传播后，被感染的电脑总数为：
$144×(1+11) = 144×12 = 1728$（台）
因为$1728＞1700$，因此会超过1700台。
【答案】
(1) 11台 (2) 会
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、数的大小比较
【点评】
本题是传播类基础应用题，重点考查对数量增长规律的梳理能力，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的方程根，再根据规律计算后续轮次的总量即可。
【难度系数】
0.8
7. 如图为某年10月的日历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中矩形框所示),设这4个数从小到大依次为$a,b,c,d$.
(1)若用含有$a$的式子分别表示出$b,c,d$,其结果为$b=\_\_\_\_\_\_$;$c=\_\_\_\_\_\_$;$d=\_\_\_\_\_\_$.
(2)按这种方法所圈出的4个数中,$ab$的最大值为________.
(3)小明说:“按这种方法可以圈出4个数,使得$bc$的值为135.”
小兰说:“按这种方法可以圈出4个数,使最小数$a$与最大数$d$的乘积$ad$为84.”
请你运用一元二次方程的相关知识分别判断两人的说法是否正确,并说明理由.
(1)若用含有$a$的式子分别表示出$b,c,d$,其结果为$b=\_\_\_\_\_\_$;$c=\_\_\_\_\_\_$;$d=\_\_\_\_\_\_$.
(2)按这种方法所圈出的4个数中,$ab$的最大值为________.
(3)小明说:“按这种方法可以圈出4个数,使得$bc$的值为135.”
小兰说:“按这种方法可以圈出4个数,使最小数$a$与最大数$d$的乘积$ad$为84.”
请你运用一元二次方程的相关知识分别判断两人的说法是否正确,并说明理由.
答案
7. (1) $a+1$ $a+7$ $a+8$
(2) 552
(3) 两人的说法都正确. 理由略.
(2) 552
(3) 两人的说法都正确. 理由略.
解析
【分析】
解题首先要明确日历的数字排列规律：同一行内相邻两个数相差1，同一列内上下相邻两个数相差7。（1）问直接根据规律推导四个数的关系即可；（2）问要使$ab$最大，需让最小数$a$尽可能大，结合日历总天数确定$a$的最大值后代入计算；（3）问分别根据两人的说法列一元二次方程，求解后检验根是否符合日历的实际要求，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) 观察日历规律：$b$和$a$是同一行相邻数，故$b=a+1$；$c$和$a$是同一列下一行的数，故$c=a+7$；$d$是$c$右侧相邻数，故$d=c+1=a+8$。
(2) 要使$ab$最大，需$a$尽可能大，需满足最大数$d=a+8≤31$，得$a≤23$，此时$a$最大值为23，$b=24$，则$ab=23×24=552$。
(3) ①判断小明的说法：
由$b=a+1$，$c=a+7$，若$bc=135$，则：
$(a+1)(a+7)=135$
整理得$a^2+8a-128=0$，解得$a_1=8$，$a_2=-16$（舍去）。
当$a=8$时，四个数为8、9、15、16，均存在于日历中，故小明说法正确。
②判断小兰的说法：
由$d=a+8$，若$ad=84$，则：
$a(a+8)=84$
整理得$a^2+8a-84=0$，解得$a_1=6$，$a_2=-14$（舍去）。
当$a=6$时，四个数为6、7、13、14，均存在于日历中，故小兰说法正确。
【答案】
(1) $a+1$；$a+7$；$a+8$
(2) $552$
(3) 两人的说法都正确，理由见解析。
【知识点】
日历数字规律；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的日历考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准日历中数字的数量关系，列方程求解后要注意检验根是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确日历的数字排列规律：同一行内相邻两个数相差1，同一列内上下相邻两个数相差7。（1）问直接根据规律推导四个数的关系即可；（2）问要使$ab$最大，需让最小数$a$尽可能大，结合日历总天数确定$a$的最大值后代入计算；（3）问分别根据两人的说法列一元二次方程，求解后检验根是否符合日历的实际要求，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) 观察日历规律：$b$和$a$是同一行相邻数，故$b=a+1$；$c$和$a$是同一列下一行的数，故$c=a+7$；$d$是$c$右侧相邻数，故$d=c+1=a+8$。
(2) 要使$ab$最大，需$a$尽可能大，需满足最大数$d=a+8≤31$，得$a≤23$，此时$a$最大值为23，$b=24$，则$ab=23×24=552$。
(3) ①判断小明的说法：
由$b=a+1$，$c=a+7$，若$bc=135$，则：
$(a+1)(a+7)=135$
整理得$a^2+8a-128=0$，解得$a_1=8$，$a_2=-16$（舍去）。
当$a=8$时，四个数为8、9、15、16，均存在于日历中，故小明说法正确。
②判断小兰的说法：
由$d=a+8$，若$ad=84$，则：
$a(a+8)=84$
整理得$a^2+8a-84=0$，解得$a_1=6$，$a_2=-14$（舍去）。
当$a=6$时，四个数为6、7、13、14，均存在于日历中，故小兰说法正确。
【答案】
(1) $a+1$；$a+7$；$a+8$
(2) $552$
(3) 两人的说法都正确，理由见解析。
【知识点】
日历数字规律；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的日历考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准日历中数字的数量关系，列方程求解后要注意检验根是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
