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·练习1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出$x$个小分支，根据题意列出的方程为(
A.$1+x+x(1+x)=57$
B.$1+x+x^2=57$
C.$x+x(1+x)=57$
D.$1+2x^2=57$
B
).A.$1+x+x(1+x)=57$
B.$1+x+x^2=57$
C.$x+x(1+x)=57$
D.$1+2x^2=57$
答案
练习1 B
解析
【分析】
解题时需先分别梳理主干、支干、小分支的数量，再根据三者总和为57列方程：①首先明确主干固定只有1个；②题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数也为x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘x，即x·x=x²；最后将三者数量相加等于总数57，即可得到对应方程。
【解析】
首先确定三类结构的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 由题意可知，主干长出的支干数量等于每个支干长出的小分支数量，即支干共有x个；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
已知三类总数为57，可列方程：$1 + x + x^2 = 57$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；列代数式
【点评】
本题是列方程解应用题的常见基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，注意不要漏算主干的数量，熟练掌握分支类问题的计数逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时需先分别梳理主干、支干、小分支的数量，再根据三者总和为57列方程：①首先明确主干固定只有1个；②题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数也为x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘x，即x·x=x²；最后将三者数量相加等于总数57，即可得到对应方程。
【解析】
首先确定三类结构的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 由题意可知，主干长出的支干数量等于每个支干长出的小分支数量，即支干共有x个；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
已知三类总数为57，可列方程：$1 + x + x^2 = 57$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；列代数式
【点评】
本题是列方程解应用题的常见基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，注意不要漏算主干的数量，熟练掌握分支类问题的计数逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.8
•练习2 一个两位数比它的个位数字的平方小2，并且个位数字比十位数字大3.下列各数中，符合要求的两位数是(
A.25
B.36
C.47
D.69
归纳总结 若个位上的数字为$a$，十位上的数字为$b$，则这个两位数可表示为$10b+a$.
C
).A.25
B.36
C.47
D.69
归纳总结 若个位上的数字为$a$，十位上的数字为$b$，则这个两位数可表示为$10b+a$.
答案
练习2 C
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，有两种解题思路：①方程法：先回忆两位数的表示规则（十位数字×10+个位数字），结合题目给出的两个等量关系（个位数字=十位数字+3，两位数=个位数字平方-2），设未知数表示出两位数后列方程求解，再匹配选项；②代入排除法：直接把四个选项分别代入两个条件验证，同时满足的就是正确答案，这种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：列方程求解
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，这个两位数可表示为$10(x-3)+x$。
根据题意列方程：
$10(x-3)+x = x^2 - 2$
整理得：$x^2 -11x +28 = 0$
因式分解得：$(x-4)(x-7)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=7$。
当$x=4$时，十位数字为$4-3=1$，对应的两位数为14，不在选项中；
当$x=7$时，十位数字为$7-3=4$，对应的两位数为47，对应选项C。
方法二：代入排除法
逐一验证选项是否同时满足两个条件：
A.25：个位数字为5，个位平方为25，$25-25=0≠2$，不满足“两位数比个位数字平方小2”，排除；
B.36：个位数字为6，个位平方为36，$36-36=0≠2$，不满足，排除；
C.47：个位数字为7，个位平方为49，$49-47=2$，且$7-4=3$，两个条件都满足，符合要求；
D.69：个位数字为9，个位平方为81，$81-69=12≠2$，不满足，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；因式分解解方程
【点评】
本题属于数字类基础应用题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，既可以通过列方程求解得出结果，也可以用代入排除法快速锁定答案，可灵活选择简便方法提高解题效率。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类一元二次方程应用题，有两种解题思路：①方程法：先回忆两位数的表示规则（十位数字×10+个位数字），结合题目给出的两个等量关系（个位数字=十位数字+3，两位数=个位数字平方-2），设未知数表示出两位数后列方程求解，再匹配选项；②代入排除法：直接把四个选项分别代入两个条件验证，同时满足的就是正确答案，这种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：列方程求解
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，这个两位数可表示为$10(x-3)+x$。
根据题意列方程：
$10(x-3)+x = x^2 - 2$
整理得：$x^2 -11x +28 = 0$
因式分解得：$(x-4)(x-7)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=7$。
当$x=4$时，十位数字为$4-3=1$，对应的两位数为14，不在选项中；
当$x=7$时，十位数字为$7-3=4$，对应的两位数为47，对应选项C。
方法二：代入排除法
逐一验证选项是否同时满足两个条件：
A.25：个位数字为5，个位平方为25，$25-25=0≠2$，不满足“两位数比个位数字平方小2”，排除；
B.36：个位数字为6，个位平方为36，$36-36=0≠2$，不满足，排除；
C.47：个位数字为7，个位平方为49，$49-47=2$，且$7-4=3$，两个条件都满足，符合要求；
D.69：个位数字为9，个位平方为81，$81-69=12≠2$，不满足，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；因式分解解方程
【点评】
本题属于数字类基础应用题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，既可以通过列方程求解得出结果，也可以用代入排除法快速锁定答案，可灵活选择简便方法提高解题效率。
【难度系数】
0.8
1.秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等.若有1个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人，根据题意，列方程为(
A.$x(1+x)=81$
B.$1+x+x(1+x)=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$x+x(1+x)=81$
B
).A.$x(1+x)=81$
B.$1+x+x(1+x)=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$x+x(1+x)=81$
答案
1. B
解析
【分析】
这是典型的传播类方程应用题，解题时需按传播轮次逐步梳理患病人数：首先明确初始患病人数为1人，第一轮传染中，1个患者可传染x人，因此第一轮结束后总患病人数为初始人数加新增人数，即(1+x)人；第二轮传染时，所有第一轮患病的人都是传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为(1+x)x人；两轮后总患病人数为81，将两轮的总患病人数相加等于81即可列出对应方程。
【解析】
解：初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染后，总患病人数为：$1 + x$（人）；
2. 第二轮传染时，$(1+x)$个患者每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为：$x(1+x)$（人）；
3. 两轮传染后总患病人数为81，因此可列方程：
$1 + x + x(1+x) = 81$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 传播问题建模
2. 列一元二次方程
【点评】
本题考查实际问题中的传播类方程应用，解题核心是理清每一轮的传染源数量，避免漏算初始患者或错算第二轮的传染基数，掌握传播问题的数量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类方程应用题，解题时需按传播轮次逐步梳理患病人数：首先明确初始患病人数为1人，第一轮传染中，1个患者可传染x人，因此第一轮结束后总患病人数为初始人数加新增人数，即(1+x)人；第二轮传染时，所有第一轮患病的人都是传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为(1+x)x人；两轮后总患病人数为81，将两轮的总患病人数相加等于81即可列出对应方程。
【解析】
解：初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染后，总患病人数为：$1 + x$（人）；
2. 第二轮传染时，$(1+x)$个患者每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为：$x(1+x)$（人）；
3. 两轮传染后总患病人数为81，因此可列方程：
$1 + x + x(1+x) = 81$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 传播问题建模
2. 列一元二次方程
【点评】
本题考查实际问题中的传播类方程应用，解题核心是理清每一轮的传染源数量，避免漏算初始患者或错算第二轮的传染基数，掌握传播问题的数量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
2.若两个相邻正偶数的积是224，则这两个正偶数的和为(
A.16
B.30
C.32
D.34
B
).A.16
B.30
C.32
D.34
答案
2. B
解析
【分析】首先抓住相邻正偶数的核心特征：两个相邻正偶数相差2，因此可以设较小的正偶数为x，较大的相邻正偶数即为x+2；再根据题目给出的“两个相邻正偶数的积是224”这一等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合正偶数要求的根，最后计算两个数的和即可得到结果。
【解析】
解：设较小的正偶数为$ x $，则较大的相邻正偶数为$ x+2 $，根据题意列方程：
$x(x+2) = 224$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 224 = 0$
对左边因式分解得：
$(x - 14)(x + 16) = 0$
解得：$ x_1 = 14 $，$ x_2 = -16 $
由于所求为正偶数，故$ x = -16 $不符合题意，舍去。
则较大的正偶数为$ 14 + 2 = 16 $，两个数的和为$ 14 + 16 = 30 $。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；偶数的特征；一元二次方程的解法
【点评】本题属于基础的方程应用类题目，解题的关键是准确把握相邻偶数的数量关系正确设元，求解方程后要注意结合题目中的“正偶数”限定条件对根进行检验，舍去不符合要求的增根，避免错解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设较小的正偶数为$ x $，则较大的相邻正偶数为$ x+2 $，根据题意列方程：
$x(x+2) = 224$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 224 = 0$
对左边因式分解得：
$(x - 14)(x + 16) = 0$
解得：$ x_1 = 14 $，$ x_2 = -16 $
由于所求为正偶数，故$ x = -16 $不符合题意，舍去。
则较大的正偶数为$ 14 + 2 = 16 $，两个数的和为$ 14 + 16 = 30 $。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；偶数的特征；一元二次方程的解法
【点评】本题属于基础的方程应用类题目，解题的关键是准确把握相邻偶数的数量关系正确设元，求解方程后要注意结合题目中的“正偶数”限定条件对根进行检验，舍去不符合要求的增根，避免错解。
【难度系数】0.7
3.某新开业的商场地下共有三层停车场，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x倍，三层停车场共开了380盏灯，则根据题意可列方程为
$80+80x+80x^2=380$
.答案
3. $80+80x+80x^2=380$
解析
【分析】
解题时首先明确三层地下停车场的位置关系：最底层是位置最低的一层，每层开灯数量是比它更低的下一层的x倍。我们可以从已知灯数的最底层出发，依次表示出往上每一层的开灯数量，再根据“三层停车场总开灯数为380盏”这一等量关系，将三层灯数相加即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定最底层灯数：已知最底层开了80盏灯；
步骤2：表示倒数第二层灯数：因为每层开灯数是下一层的x倍，所以倒数第二层（从下往上数第二层）的灯数为$80 × x = 80x$盏；
步骤3：表示最上层地下停车场灯数：最上层（从下往上数第一层）的灯数是倒数第二层的x倍，即$80x × x = 80x^2$盏；
步骤4：根据总灯数列方程：三层总灯数为380盏，因此将三层灯数求和可得：$80 + 80x + 80x^2 = 380$。
【答案】
$80+80x+80x^2=380$
【知识点】
列一元二次方程、倍数关系列代数式
【点评】
本题是基础的列方程应用题，解题关键是理清各层灯数的倍数逻辑，准确用含未知数的代数式表示出每层的灯数，再结合总数量的等量关系列式即可，能很好地巩固列方程解应用题的基础能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三层地下停车场的位置关系：最底层是位置最低的一层，每层开灯数量是比它更低的下一层的x倍。我们可以从已知灯数的最底层出发，依次表示出往上每一层的开灯数量，再根据“三层停车场总开灯数为380盏”这一等量关系，将三层灯数相加即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定最底层灯数：已知最底层开了80盏灯；
步骤2：表示倒数第二层灯数：因为每层开灯数是下一层的x倍，所以倒数第二层（从下往上数第二层）的灯数为$80 × x = 80x$盏；
步骤3：表示最上层地下停车场灯数：最上层（从下往上数第一层）的灯数是倒数第二层的x倍，即$80x × x = 80x^2$盏；
步骤4：根据总灯数列方程：三层总灯数为380盏，因此将三层灯数求和可得：$80 + 80x + 80x^2 = 380$。
【答案】
$80+80x+80x^2=380$
【知识点】
列一元二次方程、倍数关系列代数式
【点评】
本题是基础的列方程应用题，解题关键是理清各层灯数的倍数逻辑，准确用含未知数的代数式表示出每层的灯数，再结合总数量的等量关系列式即可，能很好地巩固列方程解应用题的基础能力。
【难度系数】
0.8
4.小明是一位古诗文的爱好者,在学习一元二次方程这一章内容时,对诗词进行了改编:"大江东去,浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿同;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?"求周瑜逝世时的年龄.
答案
4. 36
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键信息：周瑜逝世年龄是大于30的两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于年龄。对于数字类一元二次方程应用问题，通常设数位上的数字为未知数更便于列方程：先设个位数字为x，即可推出十位数字为(x-3)，再根据两位数的表示方法“10×十位数字+个位数字”结合“个位平方与寿同”的等量关系列方程，最后需结合“而立之年（年龄≥30）”的隐含条件对方程的解进行检验，舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
解：设周瑜逝世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}x^2&=10(x-3)+x\\x^2 - 11x + 30&=0\\(x-5)(x-6)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$，小于30，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$，十位数字为3，满足“十位恰小个位三”，且36＞30，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；方程解的检验
【点评】
本题将古诗文情境与数学知识结合，既考查了用一元二次方程解决数字问题的能力，也提醒同学们求解实际应用题时，一定要结合实际情境对得到的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题目关键信息：周瑜逝世年龄是大于30的两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于年龄。对于数字类一元二次方程应用问题，通常设数位上的数字为未知数更便于列方程：先设个位数字为x，即可推出十位数字为(x-3)，再根据两位数的表示方法“10×十位数字+个位数字”结合“个位平方与寿同”的等量关系列方程，最后需结合“而立之年（年龄≥30）”的隐含条件对方程的解进行检验，舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
解：设周瑜逝世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}x^2&=10(x-3)+x\\x^2 - 11x + 30&=0\\(x-5)(x-6)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$，小于30，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$，十位数字为3，满足“十位恰小个位三”，且36＞30，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；方程解的检验
【点评】
本题将古诗文情境与数学知识结合，既考查了用一元二次方程解决数字问题的能力，也提醒同学们求解实际应用题时，一定要结合实际情境对得到的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
