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8.如图,学校计划在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚.搭建要求:一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为 42 m),其他的边用总长 73 m 的不锈钢栅栏围成,左右两侧各开一个1 m 的出口后,不锈钢栅栏的形状如“山”字形.设车棚的宽 AB 为 x m.
(1)求车棚的长 BC.(用含 x 的代数式表示)
(2)若矩形车棚 ABCD 的面积为 450 m²,求车棚的长和宽.
(3)在搭建要求不变的情况下,若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建,请问能围成面积为 525 m² 的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1)求车棚的长 BC.(用含 x 的代数式表示)
(2)若矩形车棚 ABCD 的面积为 450 m²,求车棚的长和宽.
(3)在搭建要求不变的情况下,若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建,请问能围成面积为 525 m² 的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
(1) $(75-3x)\mathrm{m}$
(2) 车棚的长为 30 m,宽为 15 m.
(3) 不能围成面积为 $525\ \mathrm{m}^2$ 的自行车车棚.理由略.
(2) 车棚的长为 30 m,宽为 15 m.
(3) 不能围成面积为 $525\ \mathrm{m}^2$ 的自行车车棚.理由略.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先明确栅栏构成：3段垂直于墙的等长边、1段平行于墙的边BC，左右两个1m出口无需栅栏，因此将栅栏总长加出口总长度，再减去3段垂直边的总长度，即可得到BC的表达式，同时要注意墙长限制隐含的x的取值范围。
2. 第(2)问：根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后验证根是否符合实际要求（边长为正、BC不超过墙长），舍去不合题意的根即可得到车棚的长宽。
3. 第(3)问：先假设能围成对应面积的车棚，同样根据面积公式列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法围成。
【解析】
(1) 设车棚宽AB为$x\ \mathrm{m}$，共有3段等长的垂直于墙的边，左右出口总长度为$1×2=2\ \mathrm{m}$，总栅栏长$73\ \mathrm{m}$，因此平行于墙的边BC的长度为：
$73+2-3x=(75-3x)\ \mathrm{m}$
同时根据墙长限制可得$0＜75-3x≤42$，解得$11≤ x＜25$。
(2) 由矩形面积公式列方程：
$x(75-3x)=450$
整理得$x^2-25x+150=0$
因式分解得$(x-10)(x-15)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=15$
当$x=10$时，$BC=75-3×10=45\ \mathrm{m}＞42\ \mathrm{m}$，超出墙长限制，舍去；
当$x=15$时，$BC=75-3×15=30\ \mathrm{m}＜42\ \mathrm{m}$，符合题意。
(3) 不能围成，理由如下：
假设能围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的车棚，列方程得：
$x(75-3x)=525$
整理得$x^2-25x+175=0$
计算判别式$\Delta=(-25)^2-4×1×175=625-700=-75＜0$
该一元二次方程无实数根，因此无法围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的车棚。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(75-3x)\mathrm{m}}$
(2) 车棚的长为$\boldsymbol{30\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{不能}$围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的自行车车棚。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何类一元二次方程应用的典型题型，解题核心是结合图形理清各边的数量关系，列方程后必须结合实际限制条件检验根的合理性，利用判别式判断方程根的存在性是解决这类存在性问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：先明确栅栏构成：3段垂直于墙的等长边、1段平行于墙的边BC，左右两个1m出口无需栅栏，因此将栅栏总长加出口总长度，再减去3段垂直边的总长度，即可得到BC的表达式，同时要注意墙长限制隐含的x的取值范围。
2. 第(2)问：根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后验证根是否符合实际要求（边长为正、BC不超过墙长），舍去不合题意的根即可得到车棚的长宽。
3. 第(3)问：先假设能围成对应面积的车棚，同样根据面积公式列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法围成。
【解析】
(1) 设车棚宽AB为$x\ \mathrm{m}$，共有3段等长的垂直于墙的边，左右出口总长度为$1×2=2\ \mathrm{m}$，总栅栏长$73\ \mathrm{m}$，因此平行于墙的边BC的长度为：
$73+2-3x=(75-3x)\ \mathrm{m}$
同时根据墙长限制可得$0＜75-3x≤42$，解得$11≤ x＜25$。
(2) 由矩形面积公式列方程：
$x(75-3x)=450$
整理得$x^2-25x+150=0$
因式分解得$(x-10)(x-15)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=15$
当$x=10$时，$BC=75-3×10=45\ \mathrm{m}＞42\ \mathrm{m}$，超出墙长限制，舍去；
当$x=15$时，$BC=75-3×15=30\ \mathrm{m}＜42\ \mathrm{m}$，符合题意。
(3) 不能围成，理由如下：
假设能围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的车棚，列方程得：
$x(75-3x)=525$
整理得$x^2-25x+175=0$
计算判别式$\Delta=(-25)^2-4×1×175=625-700=-75＜0$
该一元二次方程无实数根，因此无法围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的车棚。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(75-3x)\mathrm{m}}$
(2) 车棚的长为$\boldsymbol{30\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{不能}$围成面积为$525\ \mathrm{m^2}$的自行车车棚。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是几何类一元二次方程应用的典型题型，解题核心是结合图形理清各边的数量关系，列方程后必须结合实际限制条件检验根的合理性，利用判别式判断方程根的存在性是解决这类存在性问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
9. 综合与实践——用矩形硬纸板制作无盖纸盒. 如图1,有一张长30 cm,宽16 cm的长方形硬纸板,裁去角上同样大小的四个小正方形之后,折成图2所示的无盖纸盒.(硬纸板厚度忽略不计)
(1)若剪去的正方形的边长为2 cm,则纸盒底面长方形的长为
(2)若纸盒的底面积为240 cm²,请计算剪去的正方形的边长.
(3)如图3,小明先在原矩形硬纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm²,请计算剪去的正方形的边长.
(1)若剪去的正方形的边长为2 cm,则纸盒底面长方形的长为
26
cm,宽为12
cm.(2)若纸盒的底面积为240 cm²,请计算剪去的正方形的边长.
(3)如图3,小明先在原矩形硬纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412 cm²,请计算剪去的正方形的边长.
答案
(1) 26 12
(2) 3 cm
(3) 2 cm
(2) 3 cm
(3) 2 cm
解析
【分析】
(1) 折无盖纸盒时，底面长方形的长等于原长方形的长减去2倍剪去的正方形边长，宽等于原长方形的宽减去2倍剪去的正方形边长，代入数值直接计算即可。
(2) 设剪去的正方形边长为x cm，用含x的式子表示出底面的长和宽，根据“底面积=长×宽”列一元二次方程，求解后结合边长为正、底面边长为正的实际意义取舍根即可。
(3) 设剪去的正方形边长为x cm，先计算原硬纸板的总面积，折成有盖纸盒的表面积等于原总面积减去裁掉的2个正方形和2个矩形的面积，据此列一元二次方程，求解后取舍根得到结果。
【解析】
(1) 已知剪去的正方形边长为2 cm，因此：
纸盒底面长：$30 - 2×2=26\ \mathrm{cm}$
纸盒底面宽：$16 - 2×2=12\ \mathrm{cm}$
(2) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则纸盒底面的长为$(30-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(16-2x)\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(16-2x)=240$
整理得：$x^2 -23x +60=0$
因式分解得：$(x-3)(x-20)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=20$
$\because 16-2x＞0$，即$x＜8$，$\therefore x=20$不符合题意，舍去
故剪去的正方形边长为$3\ \mathrm{cm}$。
(3) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，原矩形硬纸板面积为$30×16=480\ \mathrm{cm}^2$，裁掉的部分总面积为$2x^2 + 2×\frac{30}{2}· x=2x^2+30x$，根据题意列方程：
$480-(2x^2+30x)=412$
整理得：$x^2 +15x -34=0$
因式分解得：$(x+17)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-17$
$\because$ 边长为正数，$\therefore x=-17$不符合题意，舍去
故剪去的正方形边长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{26}$；$\boxed{12}$
(2) $\boxed{3\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boxed{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；几何体展开图
【点评】
本题结合手工制作场景考查一元二次方程在几何图形问题中的应用，解题关键是结合图形正确表示出相关线段的长度，列方程求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，题目贴合生活实际，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 折无盖纸盒时，底面长方形的长等于原长方形的长减去2倍剪去的正方形边长，宽等于原长方形的宽减去2倍剪去的正方形边长，代入数值直接计算即可。
(2) 设剪去的正方形边长为x cm，用含x的式子表示出底面的长和宽，根据“底面积=长×宽”列一元二次方程，求解后结合边长为正、底面边长为正的实际意义取舍根即可。
(3) 设剪去的正方形边长为x cm，先计算原硬纸板的总面积，折成有盖纸盒的表面积等于原总面积减去裁掉的2个正方形和2个矩形的面积，据此列一元二次方程，求解后取舍根得到结果。
【解析】
(1) 已知剪去的正方形边长为2 cm，因此：
纸盒底面长：$30 - 2×2=26\ \mathrm{cm}$
纸盒底面宽：$16 - 2×2=12\ \mathrm{cm}$
(2) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则纸盒底面的长为$(30-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(16-2x)\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(16-2x)=240$
整理得：$x^2 -23x +60=0$
因式分解得：$(x-3)(x-20)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=20$
$\because 16-2x＞0$，即$x＜8$，$\therefore x=20$不符合题意，舍去
故剪去的正方形边长为$3\ \mathrm{cm}$。
(3) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，原矩形硬纸板面积为$30×16=480\ \mathrm{cm}^2$，裁掉的部分总面积为$2x^2 + 2×\frac{30}{2}· x=2x^2+30x$，根据题意列方程：
$480-(2x^2+30x)=412$
整理得：$x^2 +15x -34=0$
因式分解得：$(x+17)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-17$
$\because$ 边长为正数，$\therefore x=-17$不符合题意，舍去
故剪去的正方形边长为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{26}$；$\boxed{12}$
(2) $\boxed{3\ \mathrm{cm}}$
(3) $\boxed{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；几何体展开图
【点评】
本题结合手工制作场景考查一元二次方程在几何图形问题中的应用，解题关键是结合图形正确表示出相关线段的长度，列方程求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，题目贴合生活实际，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
