登录
3.如图,某小区准备用总长为 30 m 的篱笆围成矩形花圃 ABCD,花圃一面靠墙(墙足够长),且花圃中间隔有一道垂直于墙的篱笆,当矩形花圃 ABCD 的面积是 72 m²时,AB 的长为
4或6
m.答案
3. 4或6
解析
【分析】
首先设垂直于墙的边长AB为x m，观察图形可知，垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、DC），因此平行于墙的边BC的长度可表示为总篱笆长减去3段垂直边的长度，即(30-3x)m。再根据矩形面积=长×宽，结合已知面积为72m²列一元二次方程，求解后检验解是否符合实际意义即可得到AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，则BC的长为(30-3x)m。
根据矩形面积公式可列方程：
$x(30-3x)=72$
整理方程得：
$x^2 -10x +24=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-6)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
检验：当$x=4$时，$30-3x=18＞0$，符合实际；当$x=6$时，$30-3x=12＞0$，符合实际。
因此AB的长为4m或6m。
【答案】
4或6
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于常见的几何图形类方程应用题，解题核心是结合图形正确用未知数表示出对应边的长度，再根据等量关系列方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
首先设垂直于墙的边长AB为x m，观察图形可知，垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、DC），因此平行于墙的边BC的长度可表示为总篱笆长减去3段垂直边的长度，即(30-3x)m。再根据矩形面积=长×宽，结合已知面积为72m²列一元二次方程，求解后检验解是否符合实际意义即可得到AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，则BC的长为(30-3x)m。
根据矩形面积公式可列方程：
$x(30-3x)=72$
整理方程得：
$x^2 -10x +24=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-6)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
检验：当$x=4$时，$30-3x=18＞0$，符合实际；当$x=6$时，$30-3x=12＞0$，符合实际。
因此AB的长为4m或6m。
【答案】
4或6
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于常见的几何图形类方程应用题，解题核心是结合图形正确用未知数表示出对应边的长度，再根据等量关系列方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°,AB = 5\ \mathrm{cm},BC = 6\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时点$Q$从点$B$开始沿$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,当点$Q$运动到点$C$时,两点都停止运动.经过多长时间$△ PBQ$的面积是$4\ \mathrm{cm}^2$?
答案
1 s
解析
【分析】
这是一道动点结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，先确定t的取值范围：点Q从B到C的速度是2cm/s，BC长6cm，所以t最大为6÷2=3s，即0＜t≤3。接下来用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边长度：AP是P走的路程，速度1cm/s，所以AP=t cm，那么PB=AB-AP=(5-t)cm；BQ是Q走的路程，所以BQ=2t cm。最后根据直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后检验根是否符合t的取值范围即可。
【解析】
解：设经过t s时，△PBQ的面积为4 cm²。
由题意可知，点Q运动到C点停止，故t的取值范围为$0 ＜ t ≤ \frac{6}{2}=3$。
此时：
$PB = AB - AP = 5 - t$（cm），
$BQ = 2t$（cm），
∵∠B=90°，△PBQ是直角三角形，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ = 4$，
代入得：$\frac{1}{2}(5 - t) · 2t = 4$，
化简得：$t(5 - t)=4$，
整理为标准一元二次方程：$t^2 - 5t + 4 = 0$，
因式分解得：$(t - 1)(t - 4)=0$，
解得：$t_1=1$，$t_2=4$。
∵$t ≤ 3$，故t=4不符合题意，舍去。
∴t=1。
【答案】
1 s
【知识点】
一元二次方程应用；三角形面积计算；动点问题求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，结合面积公式建立方程，求解后要注意根据实际运动的限制条件排除不符合的根，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
这是一道动点结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，先确定t的取值范围：点Q从B到C的速度是2cm/s，BC长6cm，所以t最大为6÷2=3s，即0＜t≤3。接下来用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边长度：AP是P走的路程，速度1cm/s，所以AP=t cm，那么PB=AB-AP=(5-t)cm；BQ是Q走的路程，所以BQ=2t cm。最后根据直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后检验根是否符合t的取值范围即可。
【解析】
解：设经过t s时，△PBQ的面积为4 cm²。
由题意可知，点Q运动到C点停止，故t的取值范围为$0 ＜ t ≤ \frac{6}{2}=3$。
此时：
$PB = AB - AP = 5 - t$（cm），
$BQ = 2t$（cm），
∵∠B=90°，△PBQ是直角三角形，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} · PB · BQ = 4$，
代入得：$\frac{1}{2}(5 - t) · 2t = 4$，
化简得：$t(5 - t)=4$，
整理为标准一元二次方程：$t^2 - 5t + 4 = 0$，
因式分解得：$(t - 1)(t - 4)=0$，
解得：$t_1=1$，$t_2=4$。
∵$t ≤ 3$，故t=4不符合题意，舍去。
∴t=1。
【答案】
1 s
【知识点】
一元二次方程应用；三角形面积计算；动点问题求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，结合面积公式建立方程，求解后要注意根据实际运动的限制条件排除不符合的根，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
5. 图1是一张长28 cm，宽16 cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图2所示的底面积为80 cm²的有盖长方体盒子。设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（
A.$(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
B.$(28 - 2 × 2x)(16 - 2x) = 80$
C.$( \frac{1}{2} × 28 - 2x )(16 - 2x) = 80$
D.$\frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
D
）。 A.$(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
B.$(28 - 2 × 2x)(16 - 2x) = 80$
C.$( \frac{1}{2} × 28 - 2x )(16 - 2x) = 80$
D.$\frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这个列方程的问题，首先需要明确折叠后长方体盒子底面的长、宽与原矩形参数、盒子高x的对应关系：第一步，盒子的高就是裁去的小矩形的短边长，为x cm；第二步，分析底面的宽：原矩形宽16cm，上下各裁去1个长度为x的边，因此底面宽为(16-2x)cm；第三步，分析底面的长：原矩形长28cm，左右各裁去1个长度为x的边后剩余长度为(28-2x)cm，因为盒子是有盖的，剩余长度要平分给底面和盖子，因此底面长为$\frac{28-2x}{2}$cm；最后结合底面积为80cm²，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设该盒子的高为x cm。
1. 推导底面宽：原矩形宽为16 cm，上下各裁去长度为x的边，因此盒子底面的宽为$\boldsymbol{(16-2x)}$ cm；
2. 推导底面长：原矩形长为28 cm，左右各裁去长度为x的边后，剩余长度为$(28-2x)$ cm，因盒子有盖，剩余长度平分给底面和盒盖，因此盒子底面的长为$\boldsymbol{\frac{28-2x}{2}}$ cm；
3. 根据“长方体底面积=底面长×底面宽=80 cm²”，代入得方程：
$\frac{28-2x}{2} · (16-2x) = 80$
整理后为：
$\frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程几何应用
2. 矩形面积公式
3. 折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程解决几何问题的常见题型，解题核心是准确梳理折叠前后各边的数量关系，尤其要注意“有盖”这个限制条件，避免忽略该条件误选A选项。
【难度系数】
0.6
要解决这个列方程的问题，首先需要明确折叠后长方体盒子底面的长、宽与原矩形参数、盒子高x的对应关系：第一步，盒子的高就是裁去的小矩形的短边长，为x cm；第二步，分析底面的宽：原矩形宽16cm，上下各裁去1个长度为x的边，因此底面宽为(16-2x)cm；第三步，分析底面的长：原矩形长28cm，左右各裁去1个长度为x的边后剩余长度为(28-2x)cm，因为盒子是有盖的，剩余长度要平分给底面和盖子，因此底面长为$\frac{28-2x}{2}$cm；最后结合底面积为80cm²，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设该盒子的高为x cm。
1. 推导底面宽：原矩形宽为16 cm，上下各裁去长度为x的边，因此盒子底面的宽为$\boldsymbol{(16-2x)}$ cm；
2. 推导底面长：原矩形长为28 cm，左右各裁去长度为x的边后，剩余长度为$(28-2x)$ cm，因盒子有盖，剩余长度平分给底面和盒盖，因此盒子底面的长为$\boldsymbol{\frac{28-2x}{2}}$ cm；
3. 根据“长方体底面积=底面长×底面宽=80 cm²”，代入得方程：
$\frac{28-2x}{2} · (16-2x) = 80$
整理后为：
$\frac{1}{2}(28 - 2x)(16 - 2x) = 80$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程几何应用
2. 矩形面积公式
3. 折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程解决几何问题的常见题型，解题核心是准确梳理折叠前后各边的数量关系，尤其要注意“有盖”这个限制条件，避免忽略该条件误选A选项。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=7 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.当四边形APQC的面积为13 cm²时,则点P运动的时间是
3
s.答案
6. 3
解析
【分析】
要计算点P的运动时间，首先观察到四边形APQC是不规则图形，其面积可通过△ABC的面积减去△PBQ的面积间接求解。首先设运动时间为t s，先求出△ABC的总面积，再用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，进而表示出△PBQ的面积，根据四边形面积为13cm²列一元二次方程求解，最后结合点Q的运动范围对解出的根进行取舍即可。
【解析】
设点P运动的时间为t s。
首先计算△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，AB=8cm，BC=7cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 7 = 28\ \mathrm{cm}^2$
由题意得：AP = t cm，BQ = 2t cm
∴PB = AB - AP = (8 - t) cm
则△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (8 - t) × 2t = t(8 - t)\ \mathrm{cm}^2$
根据四边形APQC的面积为13cm²，可列方程：
$28 - t(8 - t) = 13$
整理得：$t^2 - 8t + 15 = 0$
因式分解得：$(t - 3)(t - 5) = 0$
解得：$t_1=3$，$t_2=5$
∵点Q移动到点C即停止，运动最大时间为$7÷2=3.5\ \mathrm{s}$
∴t=5不符合题意，舍去
即t=3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用，三角形面积公式，动点问题处理
【点评】
本题属于几何动点与方程结合的基础题型，解题的核心是用间接法将不规则图形的面积转化为两个规则三角形面积的差，同时要注意结合动点的运动限制条件对方程的根进行检验，排除不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
要计算点P的运动时间，首先观察到四边形APQC是不规则图形，其面积可通过△ABC的面积减去△PBQ的面积间接求解。首先设运动时间为t s，先求出△ABC的总面积，再用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，进而表示出△PBQ的面积，根据四边形面积为13cm²列一元二次方程求解，最后结合点Q的运动范围对解出的根进行取舍即可。
【解析】
设点P运动的时间为t s。
首先计算△ABC的面积：
∵∠ABC=90°，AB=8cm，BC=7cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 7 = 28\ \mathrm{cm}^2$
由题意得：AP = t cm，BQ = 2t cm
∴PB = AB - AP = (8 - t) cm
则△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (8 - t) × 2t = t(8 - t)\ \mathrm{cm}^2$
根据四边形APQC的面积为13cm²，可列方程：
$28 - t(8 - t) = 13$
整理得：$t^2 - 8t + 15 = 0$
因式分解得：$(t - 3)(t - 5) = 0$
解得：$t_1=3$，$t_2=5$
∵点Q移动到点C即停止，运动最大时间为$7÷2=3.5\ \mathrm{s}$
∴t=5不符合题意，舍去
即t=3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用，三角形面积公式，动点问题处理
【点评】
本题属于几何动点与方程结合的基础题型，解题的核心是用间接法将不规则图形的面积转化为两个规则三角形面积的差，同时要注意结合动点的运动限制条件对方程的根进行检验，排除不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
7.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为$1.6 m^2.$已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度.
答案
7. 0.2 m
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的应用题，解题思路如下：首先，设花边的宽度为未知数x，由于花边在床单四周都有，因此剩下部分也是矩形，它的长等于原床单长减去左右两侧花边的总宽度2x，宽等于原床单宽减去上下两侧花边的总宽度2x；其次，根据“剩下部分面积为1.6m²”的条件，结合矩形面积公式列出一元二次方程；最后求解方程，结合实际边长为正数的要求舍去不符合题意的解，即可得到花边宽度。
【解析】
解：设花边的宽度为$x\ \mathrm{m}$，根据题意可知剩下部分矩形的长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(1.4-2x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积公式列方程得：
$(2-2x)(1.4-2x)=1.6$
展开并整理方程：
$2.8 - 4x - 2.8x + 4x^2 = 1.6$
$4x^2 - 6.8x + 1.2 = 0$
两边同除以4化简得：
$x^2 - 1.7x + 0.3 = 0$
两边同乘10消去小数得：
$10x^2 - 17x + 3 = 0$
用公式法（或因式分解法）解得：
$x_1=0.2,\quad x_2=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$2-2x=2-3=-1＜0$，不符合实际边长为正的要求，故舍去；
当$x=0.2$时，$2-2x=1.6＞0$，$1.4-2x=1＞0$，符合题意。
【答案】
$0.2\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题的核心是准确找到等量关系，正确表示出剩余矩形的长和宽，求解后务必结合实际意义检验解的合理性，避免出现不符合现实情况的错误解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的应用题，解题思路如下：首先，设花边的宽度为未知数x，由于花边在床单四周都有，因此剩下部分也是矩形，它的长等于原床单长减去左右两侧花边的总宽度2x，宽等于原床单宽减去上下两侧花边的总宽度2x；其次，根据“剩下部分面积为1.6m²”的条件，结合矩形面积公式列出一元二次方程；最后求解方程，结合实际边长为正数的要求舍去不符合题意的解，即可得到花边宽度。
【解析】
解：设花边的宽度为$x\ \mathrm{m}$，根据题意可知剩下部分矩形的长为$(2-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(1.4-2x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积公式列方程得：
$(2-2x)(1.4-2x)=1.6$
展开并整理方程：
$2.8 - 4x - 2.8x + 4x^2 = 1.6$
$4x^2 - 6.8x + 1.2 = 0$
两边同除以4化简得：
$x^2 - 1.7x + 0.3 = 0$
两边同乘10消去小数得：
$10x^2 - 17x + 3 = 0$
用公式法（或因式分解法）解得：
$x_1=0.2,\quad x_2=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$2-2x=2-3=-1＜0$，不符合实际边长为正的要求，故舍去；
当$x=0.2$时，$2-2x=1.6＞0$，$1.4-2x=1＞0$，符合题意。
【答案】
$0.2\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题的核心是准确找到等量关系，正确表示出剩余矩形的长和宽，求解后务必结合实际意义检验解的合理性，避免出现不符合现实情况的错误解。
【难度系数】
0.7
