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1. [2026天津期中]下列方程中，是三元一次方程的是（
A.$\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = y + 5x$
B.$3x + 1 = 2xy$
C.$\frac{1}{5}x = y^2 + 1$
D.$x + y = z$
D
）A.$\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = y + 5x$
B.$3x + 1 = 2xy$
C.$\frac{1}{5}x = y^2 + 1$
D.$x + y = z$
答案
1 D
2. 下列方程组中,是三元一次方程组的是 (
A.$\begin{cases} x^2 - y =1, \\ y + z =0, \\ xz=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y =1, \\ \dfrac{1}{y} + z =2, \\ \dfrac{1}{z} + x =6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a + b + c + d =1, \\ a - c =2, \\ b - d =3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} m + n =18, \\ n + t =12, \\ t + m =0 \end{cases}$
D
)A.$\begin{cases} x^2 - y =1, \\ y + z =0, \\ xz=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y =1, \\ \dfrac{1}{y} + z =2, \\ \dfrac{1}{z} + x =6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a + b + c + d =1, \\ a - c =2, \\ b - d =3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} m + n =18, \\ n + t =12, \\ t + m =0 \end{cases}$
答案
2 D A项$x^2 - y = 1$与$xz = 2$中,$x^2,xz$的次数为2,故A项不是三元一次方程组;B项中$\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$不是整式,故B项不是三元一次方程组;C项中有四个未知数,故C项不是三元一次方程组。
3. 下列四组数值中，是方程组
$\begin{cases}a + b + c = 0, \\2a - b + c = -5, \\3a - b - c = -4\end{cases}$的解的是 （ ）
A.$\begin{cases}a = 0, \\b = 1, \\c = -1\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = -1, \\b = 2, \\c = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = -1, \\b = 1, \\c = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1, \\b = -2, \\c = 3\end{cases}$
$\begin{cases}a + b + c = 0, \\2a - b + c = -5, \\3a - b - c = -4\end{cases}$的解的是 （ ）
A.$\begin{cases}a = 0, \\b = 1, \\c = -1\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = -1, \\b = 2, \\c = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = -1, \\b = 1, \\c = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1, \\b = -2, \\c = 3\end{cases}$
答案
3 B
4. [2025 邯郸永年区期末] 三元一次方程组 $\begin{cases}2a + b - 3c = 19, \\4a + 2b + c = 3, \\a - b + c = 0\end{cases}$ 消去未知数$c$后，所得二元一次方程组是 ( )
课时检测 拍批+错题本
A.$\begin{cases}5a - 2b = 19, \\a + b = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2a + b = 4, \\3a + b = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b = 1, \\3a - 2b = 19\end{cases}$
D.$\begin{cases}3a + b = 3, \\5a - 2b = 19\end{cases}$
课时检测 拍批+错题本
A.$\begin{cases}5a - 2b = 19, \\a + b = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}2a + b = 4, \\3a + b = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}a + b = 1, \\3a - 2b = 19\end{cases}$
D.$\begin{cases}3a + b = 3, \\5a - 2b = 19\end{cases}$
答案
4 A $\begin{cases}2a + b - 3c = 19, ①\\4a + 2b + c = 3, ②\\a - b + c = 0, ③\end{cases}$ ② - ③,得$3a + 3b = 3$,即$a + b = 1$,③$×3 + ①$,得$5a - 2b = 19$,所以消去未知数$c$后,所得二元一次方程组是$\begin{cases}5a - 2b = 19, \\a + b = 1。\end{cases}$
5. [2026娄底期末] 已知$\begin{cases}x + y = 2, \\ y + z = 3, \\ z + x = 7,\end{cases}$则$x + y + z$的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
5 B 三个方程相加,得$2(x + y + z) = 12$,所以$x + y + z = 6$。
6. 解方程组：$\begin{cases} x + y + z = 10, \\ 2x + 3y + z = 17, \\ 3x + 2y - z = 8。 \end{cases}$
答案
6 解:$\begin{cases} x + y + z = 10, ①\\ 2x + 3y + z = 17, ②\\ 3x + 2y - z = 8, ③\end{cases}$
② - ①,得$x + 2y = 7$,④
② + ③,得$5x + 5y = 25$,即$x + y = 5$,⑤
④ - ⑤,得$y = 2$,
将$y = 2$代入⑤,得$x = 3$,
将$x = 3,y = 2$代入①,得$z = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\y = 2, \\z = 5。\end{cases}$
② - ①,得$x + 2y = 7$,④
② + ③,得$5x + 5y = 25$,即$x + y = 5$,⑤
④ - ⑤,得$y = 2$,
将$y = 2$代入⑤,得$x = 3$,
将$x = 3,y = 2$代入①,得$z = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\y = 2, \\z = 5。\end{cases}$
7. 甲、乙、丙三个数的和为25，甲、乙两数之和比丙数大5，乙数比丙数小3。若设甲数为x，乙数为y，丙数为z，则可列方程组为。
答案
7 $\begin{cases}x + y + z = 25, \\x + y = z + 5, \\y = z - 3\end{cases}$
变式 甲、乙、丙三个数的和为29，甲数比乙数大5，乙数的$\frac{1}{3}$等于丙数的$\frac{1}{2}$，则甲数、乙数、丙数分别为
14,9,6
。答案
变式 14,9,6 设甲数为$x$,乙数为$y$,丙数为$z$,由题意,得$\begin{cases}x + y + z = 29, \\x - y = 5, \\\frac{1}{3}y = \frac{1}{2}z,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 14, \\y = 9, \\z = 6。\end{cases}$
8. 买3本练习本、2支笔、7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本、同样的笔4支、同样的橡皮9块共用了43元。如果买同样的练习本、笔、橡皮分别为5本、5支、5块，那么总共需要
40
元。答案
8 40 设练习本每本$x$元,笔每支$y$元,橡皮每块$z$元,由题意,得$\begin{cases}3x + 2y + 7z = 27, ①\\5x + 4y + 9z = 43, ②\end{cases}$
② - ①,得$2x + 2y + 2z = 16$,所以$x + y + z = 8$,所以$5x + 5y + 5z = 5(x + y + z) = 5 × 8 = 40$。
② - ①,得$2x + 2y + 2z = 16$,所以$x + y + z = 8$,所以$5x + 5y + 5z = 5(x + y + z) = 5 × 8 = 40$。
