1. [2025郑州金水区期末]杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣,通过研究缝在衣服内部标签上的内容,得到了以下结论:
①毛衣的总质量为200 g;
②毛衣的成分:绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维;
③绵羊毛和腈纶的含量占20%,锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍,聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少1 g。
请你求出这件毛衣中绵羊毛和腈纶的质量。

解:设这件毛衣中绵羊毛的质量为x g,腈纶的质量为y g,则锦纶的质量为5x g,聚酯纤维的质量为(2y-1)g,
根据题意,得$\begin{cases} x+y=200×20\%, \\ x+y+5x+2y-1=200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=27, \\ y=13, \end{cases}$
所以这件毛衣中绵羊毛的质量为27 g,腈纶的质量为13 g。

2. [2025台州期末]两位同学设计一款填数游戏,根据如图所示信息解决问题。

(1)求$a,b$之间的数量关系；
(2)求$c$的值。

解:(1)根据题意,得$a-2+4=b-4+8$,
所以$a = b + 2$。
(2)根据题意,得$(-2)^2 +4^2 +a^2 =8^2 + (-4)^2 +b^2$,
所以$a^2=60 + b^2$,
因为$a = b + 2$,所以$(b+2)^2=60 + b^2$,
解得$b=14$,所以$a=16$,又因为$-2+4=c+b$,
所以$c=2 - b=2 -14=-12$。(先确定a,b之间的数量关系,然后得到b的值,进而得到a的值,最后求得c的值)

3. [2026济南历下区期中]问题解决策略:逐步确定。
【问题】中秋佳节灯笼俏,灯笼齐挂亮堂堂,三三数时能数尽,五五数时剩两盏,七七数时刚刚好。求最少的灯笼数量。
【理解问题】
灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件:①三三数时能数尽,则所求灯笼的数量能被3整除;②五五数时剩两盏,则所求灯笼的数量除以,余数是;③七七数时刚刚好,则所求灯笼的数量能被7整除。
【拟定计划】
设灯笼的数量为$x$($x$为正整数),需满足的3个条件可表述为①$x=3k$($k$为正整数);②$x=5m+2$($m$为非负整数);③$x=$ ______ (用含$n$的代数式表示,$n$为正整数)。由①和③可得$x$能被21整除,即$x=21p$($p$为正整数)。根据以上分析,得到$\begin{cases}x=5m+2, \\ x=21p,\end{cases}$因此$5m=21p-2$,且$m$为非负整数,所以“$21p - 2$”一定能被5整除。
【实施计划】
(1)补全上面的三个空格,并求出最少的灯笼数量。
(2)若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”,请直接写出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值:。

解:(1)5 2 7n
由[拟定计划]可知,$x=21p,21p-2$一定能被5整除,
所以21p的个位数是2或7,
当p=1时,不符合题意,
当p=2时,$21p-2=40$,能被5整除,此时$x=21p=21×2=42$,
即最少有42盏灯笼。
(2)357
根据题意,得$\begin{cases} x=5m+2, \\ x=21p, \\ x=8q-3, \end{cases}$ 整理,得$5m=21p-2,8q=21p+3$,
因为$5m=21p-2$,所以$21p-2$是5的倍数,则21p的个位数是2或7,所以p=1,3,4,5,6不符合题意,
当p=2时,$21×2+3=45$,不是8的倍数,不符合题意,
当p=7时,$21×7+3=150$,不是8的倍数,不符合题意,
当p=8,9,10,11不符合题意,
当p=12时,$21×12+3=255$,不是8的倍数,不符合题意,
当p=13,14,15,16不符合题意,
当p=17时,$21×17+3=360$,是8的倍数,符合题意,
此时$x=21×17=357$,所以满足所有条件的灯笼数量的最小值是357。