4. 结合图29.2-19，给出的相应推理中，其中正确的是（）。

(1) $\because AB=AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
(2) $\because ∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。

(3) $\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
$\therefore AB=CD$。

(4) $\because AB=CD$，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD$。
图29.2-19
A. (1)(2)
B. (3)(4)
C. (1)(3)
D. (2)(3)

4. C

【分析】
解决本题的核心是牢记弦、弧、圆心角的相等关系成立的前提：必须在同圆或等圆中，缺少这个前提结论不成立。我们逐个分析4个推理：首先判断每个推理涉及的线段、角、弧是否在同一个圆或相等的圆中，再结合对应定理判断是否正确。
(1)中AB和AC是同一个圆的两条弦，满足同圆前提，等弦可推出等弧；(2)中两个圆心角属于半径不同的两个圆，不满足前提，结论不成立；(3)中两条弧属于同一个圆，等弧减去公共弧所得的弧仍相等，同圆中等弧可推出等弦；(4)中两条弦属于半径不同的两个圆，不满足前提，结论不成立。
【解析】
根据同圆或等圆中弦、弧、圆心角的对应关系逐一判断：
1. 推理(1)：AB、AC是同圆中的弦，已知$AB=AC$，根据“同圆中等弦对等弧”，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，推理正确。
2. 推理(2)：$∠ AOB$和$∠ COD$分别属于两个半径不同的圆，不满足“同圆或等圆”的前提，即使圆心角相等，对应的弧长度也不相等，推理错误。
3. 推理(3)：$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BC}$是同圆中的弧，已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再根据“同圆中等弧对等弦”，可得$AB=CD$，推理正确。
4. 推理(4)：AB、CD分别属于两个半径不同的圆，不满足“同圆或等圆”的前提，即使弦长度相等，对应的圆心角也不一定相等，推理错误。
综上，正确的推理是(1)(3)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
弦弧圆心角的关系、弧的和差运算
【点评】
本题的易错点是容易忽略弦、弧、圆心角相等关系成立的“同圆或等圆”前提，盲目套用定理导致错选。解题时要先观察图形是否满足前提条件，再结合定理推导。
【难度系数】
0.7

5. 如图29.2-20，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，点B'是点B关于MN所在直线的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长为().

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

5. B

【分析】
要计算AB'的长度，可先连接OB'，结合已知条件求出圆心角∠AOB'的度数，再利用圆的半径相等，借助勾股定理计算线段长即可。首先利用三等分点的性质求出∠AON的度数，再由弧中点的性质得到∠BON的度数，结合轴对称的性质推出∠B'ON的度数，最终得到∠AOB'的度数后求解。
【解析】
连接OB'，
∵ MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，
∴ ∠AON = $\frac{1}{3}$×180° = 60°，
∵ 点B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠AON = 30°，
∵ 点B'是点B关于MN所在直线的对称点，
∴ ∠B'ON = ∠BON = 30°，
∴ ∠AOB' = ∠AON + ∠B'ON = 60° + 30° = 90°，
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA = OB' = 1，
在Rt△AOB'中，由勾股定理得：
$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题的核心是将求弦长的问题转化为在直角三角形中利用勾股定理计算的问题，解题时要熟练掌握圆的相关性质，能准确转化弧与圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.7

6. 已知$\odot O$的一条弦AB把圆的周长分成$1:5$的两个部分，则弦AB所对的圆心角的度数为。

【分析】
解题时首先明确整个圆周对应的圆心角为360°，同圆中弧长的比等于其所对圆心角的度数比。已知弦AB把周长分为1:5的两部分，说明弦AB所对的劣弧占总周长的$\frac{1}{1+5}$，对应的圆心角也占周角的$\frac{1}{6}$，用周角乘以该占比即可求出结果。
【解析】
解：
∵整个圆的周角度数为360°，
弦AB把圆的周长分成1:5的两部分，且同圆中弧长之比等于对应圆心角的度数之比，
∴弦AB所对的劣弧对应的圆心角占周角的比例为$\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$，
则弦AB所对的圆心角的度数为$360°×\frac{1}{6}=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，周角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握弧长和对应圆心角的比例关系，解题时注意区分弦所对的圆心角一般指劣弧对应的小于等于180°的角。
【难度系数】
0.9

7. 如图29.2-21，AB是$\odot O$的直径，$PA=PB$，$∠ P=60°$，则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数是。

解：连接OC、OD。
∵ $PA=PB$，$∠ P=60°$，
∴ $△ PAB$是等边三角形，
∴ $∠ A=∠ B=60°$。
∵ $OA$、$OC$、$OD$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，$OD=OB$，
∴ $△ OAC$和$△ OBD$都是等边三角形，
∴ $∠ AOC=60°$，$∠ BOD=60°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ COD = 180° - ∠ AOC - ∠ BOD = 180° - 60° - 60° = 60°$，
即$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数是$\boldsymbol{60°}$。

【分析】
要求$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，首先需要连接OC、OD得到目标圆心角$∠ COD$，再逐步推导该角的度数：第一步，根据已知$PA=PB$且$∠ P=60°$，可判定$△ PAB$是等边三角形，得到$∠ A$、$∠ B$的度数；第二步，结合圆的半径相等的性质，可推出$△ OAC$和$△ OBD$都是等边三角形，得到$∠ AOC$和$∠ BOD$的度数；第三步，利用平角$∠ AOB=180°$，减去两个已知角的度数即可得到$∠ COD$的度数。
【解析】
连接OC、OD。
∵ $PA=PB$，$∠ P=60°$，
∴ $△ PAB$是等边三角形，
∴ $∠ A=∠ B=60°$。
∵ $OA$、$OC$、$OD$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，$OD=OB$，
∴ $△ OAC$和$△ OBD$都是等边三角形，
∴ $∠ AOC=60°$，$∠ BOD=60°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ COD = 180° - ∠ AOC - ∠ BOD = 180° - 60° - 60° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆的基本性质；圆心角定义
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是通过连接半径构造等边三角形，再结合平角的性质求解圆心角，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

8. 如图29.2-22,在$\odot O$中, $AC=2\overset{\frown}{AB}$,试判断AC与2AB的大小关系,并说明理由.
解:$AC=2AB$.
理由如下:
∵在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的弦相等,
∴当$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$时,$AC=2AB$.
以上解答是否正确?若不正确,请改正.

图29.2-22

不正确．应该是2AB＞AC.理由如下:连接BC,
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AB=BC.显然,AB+BC＞AC,
∴2AB＞AC

【分析】
原解答的错误在于默认弧长的倍数关系等价于对应弦长的倍数关系，这一推导不符合圆的性质。解题时首先根据$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，可将$\overset{\frown}{AC}$拆分为两段相等的弧$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对等弦可得$AB=BC$，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即可判断AC与2AB的大小关系。
【解析】
原解答不正确，正确推导如下：
连接$BC$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
根据同圆中等弧所对的弦相等，可得$AB=BC$，
在$△ ABC$中，由三角形三边关系可知$AB+BC＞AC$，
将$BC$替换为$AB$，可得$2AB＞AC$。
【答案】
原解答不正确，正确结论为$\boldsymbol{2AB＞AC}$，理由见上述解析。
【知识点】
弧与弦的关系；三角形三边关系
【点评】
本题的常见误区是直接将弧的倍数关系套用到弦的长度关系上，解题时要注意结合圆的基本性质和几何图形的相关定理综合分析，避免思维定式。
【难度系数】
0.65

9. 如图29.2-23，AB是$\odot O$的直径，$AD⊥ AB$于点A，OD交$\odot O$于点C，$AE⊥ OD$于点E，交$\odot O$于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点.若$CD=4$，则$PE+PF$的最小值是（）.

A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$

9. C

【分析】
要解决PE+PF的最小值问题，首先需结合圆的性质求出圆的半径，再利用“将军饮马”模型找对称点转化线段求和。第一步：先根据垂径定理和F是弧BC中点，推出三段弧相等，得到∠AOC=60°；第二步：结合直角三角形30°角性质列方程求半径；第三步：作F关于AB的对称点，利用对称转化PF为PF'，当E、P、F'共线时PE+PF最小，计算该线段长度即可。
【解析】
1. 求圆心角及半径：
∵ AE⊥OD，OD过圆心O，根据垂径定理，得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵ F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，三段弧和为半圆180°，故每段弧对应圆心角为60°，即$∠ AOC=60°$。
设$\odot O$半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$。
∵ $AD⊥ AB$，
∴ $△ OAD$是直角三角形，$∠ OAD=90°$，$∠ AOD=60°$，
∴ $∠ D=30°$，
直角三角形中30°角对的直角边等于斜边一半，故$OD=2OA$，即$r+4=2r$，解得$r=4$。
2. 求OE长度：
在$Rt△ AOE$中，$∠ AEO=90°$，$∠ AOE=60°$，
∴ $∠ OAE=30°$，故$OE=\frac{1}{2}OA=2$。
3. 求PE+PF最小值：
作点F关于AB的对称点$F'$，根据圆的对称性，$F'$在$\odot O$上，$OF'=OF=4$，且$∠ F'OB=∠ FOB=60°$，
故$∠ COF'=∠ AOC + (180°-∠ F'OB)=60°+120°=180°$，即E、O、$F'$三点共线，
此时$PE+PF=PE+PF'≥ EF'$，最小值为$EF'=OE+OF'=2+4=6$。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，最短路径问题，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的弧与圆心角的关系、垂径定理、直角三角形特殊角性质，以及最短路径的转化思想，解题的关键是先推导得到特殊角度求出半径，再利用对称将两条线段和转化为共线时的线段长度求解。
【难度系数】
0.6