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1. 定义:顶点在
圆上
并且两边都与圆相交
的角叫作圆周角。答案
1. 圆上 相交
解析
【分析】
本题考查圆周角定义的识记，解题时需明确圆周角要同时满足两个核心条件：一是顶点的位置要求，二是角的两条边与圆的位置关系要求，直接对应教材中圆周角的定义内容填写即可。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。因此第一个空填写“圆上”，第二个空填写“相交”。
【答案】
圆上 相交
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材核心定义的记忆，只要熟练掌握相关概念内容即可快速作答，是常见的基础送分题型。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定义的识记，解题时需明确圆周角要同时满足两个核心条件：一是顶点的位置要求，二是角的两条边与圆的位置关系要求，直接对应教材中圆周角的定义内容填写即可。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。因此第一个空填写“圆上”，第二个空填写“相交”。
【答案】
圆上 相交
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材核心定义的记忆，只要熟练掌握相关概念内容即可快速作答，是常见的基础送分题型。
【难度系数】
0.9
2. 性质：
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
（2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角。②半圆（或直径）所对的圆周角是，$90°$的圆周角所对的弦是。
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半
。（2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角。②半圆（或直径）所对的圆周角是，$90°$的圆周角所对的弦是。
答案
2.（1）一半
解析
【分析】
本题是对圆周角相关基础性质的考查，解题时只需回忆教材中圆周角定理及其推论的标准表述，对应空缺位置逐一填写即可，属于概念识记类题型，无需复杂推导，熟练记忆相关知识点就能快速答对。
【解析】
（1）根据圆周角定理的内容，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此此处填“一半”；
（2）根据圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，因此此处填“相等”；
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，$90°$的圆周角所对的弦是直径，因此两处依次填“直角”、“直径”。
【答案】
（1）一半；（2）①相等；②直角，直径
【知识点】
圆周角定理、圆周角定理的推论
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆周角相关性质的记忆掌握程度，相关性质是解决圆类几何题的核心基础，需要熟练背诵并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题是对圆周角相关基础性质的考查，解题时只需回忆教材中圆周角定理及其推论的标准表述，对应空缺位置逐一填写即可，属于概念识记类题型，无需复杂推导，熟练记忆相关知识点就能快速答对。
【解析】
（1）根据圆周角定理的内容，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此此处填“一半”；
（2）根据圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，因此此处填“相等”；
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，$90°$的圆周角所对的弦是直径，因此两处依次填“直角”、“直径”。
【答案】
（1）一半；（2）①相等；②直角，直径
【知识点】
圆周角定理、圆周角定理的推论
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆周角相关性质的记忆掌握程度，相关性质是解决圆类几何题的核心基础，需要熟练背诵并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
例 如图29.2-24所示，AB，CD是$\odot O$的两条弦，延长AB，CD交于点P，连接AD，BC交于点E.$∠ P=30°$，$∠ ABC=50°$，求$∠ A$的度数.
图29.2-24
解 $\because ∠ ABC$为$△ BCP$的外角，
$\therefore ∠ ABC=∠ P+∠ C.$
$\because ∠ ABC=50°,∠ P=30°,$
$\therefore ∠ C=20°.$
在$\odot O$中，$∠ A$和$∠ C$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}.$
$\therefore ∠ A=∠ C.$
$\therefore ∠ A=20°.$
方法感悟 在同圆中，一段弧所对的圆心角只有1个，但是所对的圆周角有无数个，这些圆周角虽然位置不一样，但是其大小都是这段弧所对圆心角的一半.这个定理可以用来求角的度数，也可以用来证明角相等.
图29.2-24
解 $\because ∠ ABC$为$△ BCP$的外角，
$\therefore ∠ ABC=∠ P+∠ C.$
$\because ∠ ABC=50°,∠ P=30°,$
$\therefore ∠ C=20°.$
在$\odot O$中，$∠ A$和$∠ C$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}.$
$\therefore ∠ A=∠ C.$
$\therefore ∠ A=20°.$
方法感悟 在同圆中，一段弧所对的圆心角只有1个，但是所对的圆周角有无数个，这些圆周角虽然位置不一样，但是其大小都是这段弧所对圆心角的一半.这个定理可以用来求角的度数，也可以用来证明角相等.
答案
解：
∵ ∠ABC为△BCP的外角，
∴ ∠ABC = ∠P + ∠C。
∵ ∠ABC = 50°，∠P = 30°，
∴ ∠C = 50° - 30° = 20°。
在⊙O中，∠A和∠C所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = 20°。
∵ ∠ABC为△BCP的外角，
∴ ∠ABC = ∠P + ∠C。
∵ ∠ABC = 50°，∠P = 30°，
∴ ∠C = 50° - 30° = 20°。
在⊙O中，∠A和∠C所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = 20°。
解析
【分析】
要求∠A的度数，首先根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，∠A和∠C都对应弧$\overset{\frown}{BD}$，所以只需先求出∠C的度数即可；观察图形可知∠ABC是△BCP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠ABC和∠P的度数，就可以计算出∠C的度数，进而得到∠A的度数。
【解析】
∵ ∠ABC为△BCP的外角，
∴ ∠ABC = ∠P + ∠C。
∵ ∠ABC = 50°，∠P = 30°，
∴ ∠C = 50° - 30° = 20°。
在⊙O中，∠A和∠C所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形外角性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的突破口是利用同弧所对圆周角相等实现角度的转化，再结合三角形外角性质求解，解题时要准确识别图形中对应的弧和角，避免混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，首先根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，∠A和∠C都对应弧$\overset{\frown}{BD}$，所以只需先求出∠C的度数即可；观察图形可知∠ABC是△BCP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠ABC和∠P的度数，就可以计算出∠C的度数，进而得到∠A的度数。
【解析】
∵ ∠ABC为△BCP的外角，
∴ ∠ABC = ∠P + ∠C。
∵ ∠ABC = 50°，∠P = 30°，
∴ ∠C = 50° - 30° = 20°。
在⊙O中，∠A和∠C所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形外角性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的突破口是利用同弧所对圆周角相等实现角度的转化，再结合三角形外角性质求解，解题时要准确识别图形中对应的弧和角，避免混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
1. 如图29.2-25所示，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$∠ B=50°$，则$∠ A$等于（
图29.2-25
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$40°$
D
）。图29.2-25
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知AB是⊙O的直径，首先回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此可判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B的度数，就能计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠A + ∠B = 90°，
已知∠B=50°，
∴∠A = 90° - 50° = 40°。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角是直角这一性质，结合三角形内角的相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知AB是⊙O的直径，首先回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此可判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B的度数，就能计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠A + ∠B = 90°，
已知∠B=50°，
∴∠A = 90° - 50° = 40°。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角是直角这一性质，结合三角形内角的相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图29.2-26，AB是$\odot O$的直径，$∠ C=20°$，则$∠ BOC$的度数是(
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
A
).A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形，OA、OC均为$\odot O$的半径，因此长度相等，可推出$△ OAC$为等腰三角形，得到$∠ OAC=∠ C$。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，或者利用三角形外角的性质，即可求出$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：$\because$OA、OC都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore △ OAC$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OAC=∠ C=20°$。
$\because ∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，$∠ OAC$是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOC=2∠ OAC=2×20°=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础题型，将圆的性质和等腰三角形性质结合考察，解题关键是识别同弧对应的圆心角和圆周角，计算过程简单，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形，OA、OC均为$\odot O$的半径，因此长度相等，可推出$△ OAC$为等腰三角形，得到$∠ OAC=∠ C$。再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，或者利用三角形外角的性质，即可求出$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：$\because$OA、OC都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore △ OAC$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OAC=∠ C=20°$。
$\because ∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，$∠ OAC$是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOC=2∠ OAC=2×20°=40°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础题型，将圆的性质和等腰三角形性质结合考察，解题关键是识别同弧对应的圆心角和圆周角，计算过程简单，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
