3. 如图29.2-27,已知CD为$\odot O$的直径,过点D的弦$DE// OA,∠D=50°$,则$∠C$的度数是().

A.$25°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$50°$

3. A

【分析】
解题时先根据已知的平行条件，利用平行线的内错角相等求出圆心角∠AOD的度数，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。首先第一步：看到DE//OA，想到平行线的性质，得到∠AOD和∠D相等；第二步：明确∠C是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，利用圆周角定理计算即可。
【解析】
解：
∵ DE//OA，∠D=50°
∴ ∠AOD = ∠D = 50°（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠C是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，∠AOD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠C = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础题，考查平行线性质和圆周角定理的综合运用，解题的关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图29.2-28，$\odot A$过原点O分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在$\odot A$上，已知$∠ B=30°$，$\odot A$的半径为2，则圆心A的坐标是().

A.$(\sqrt{3},1)$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{2},1)$
D.$(1,\sqrt{2})$

4. A

【分析】
解题时首先利用圆周角的性质确定直径：90°的圆周角对应的弦是直径，因此连接CD后可确定CD是⊙A的直径；再根据同弧所对的圆周角相等，得到Rt△COD中∠OCD的度数；结合直径长度求出C、D两点的坐标，最后因为圆心是直径的中点，用中点坐标公式即可求出圆心A的坐标。
【解析】
1. 连接CD
∵ ∠COD=90°，O、C、D均在⊙A上，
∴ CD是⊙A的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），已知⊙A半径为2，因此$CD=2×2=4$。
2. 求∠OCD的度数
∵ ∠OCD和∠B都是弧OD所对的圆周角，
∴ $∠ OCD=∠ B=30°$（同弧所对的圆周角相等）。
3. 计算C、D点坐标
在Rt△COD中，$∠ COD=90°$，$∠ OCD=30°$，$CD=4$：
$OD=CD·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$，故D点坐标为$(0,2)$；
$OC=CD·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，故C点坐标为$(2\sqrt{3},0)$。
4. 求圆心A的坐标
∵ A是直径CD的中点，根据中点坐标公式：
A点横坐标为$\frac{2\sqrt{3}+0}{2}=\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，即$A(\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，中点坐标公式
【点评】
本题是几何与平面坐标结合的基础题型，解题关键是通过圆周角性质确定直径，将圆的条件转化为直角三角形的边角关系，进而求出坐标，整体逻辑清晰，对基础性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7

5. 如图29.2-29，$AB=BC=CD$，$AD$为$\odot O$的弦，$∠ BAD=50°$，则$∠ AED$等于（）.

A.$75°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

5. A

【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：1.同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；2.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。首先由已知∠BAD的度数，求出它所对的弧BD的度数；再结合AB=BC=CD的条件，得到弧AB、弧BC、弧CD的度数相等，算出每段弧的度数；然后确定∠AED所对的弧的总度数，最后利用圆周角定理计算∠AED的度数即可。
【解析】
解：1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，已知∠BAD=50°，∠BAD所对的弧为弧BD，因此弧BD的度数为：$2×50°=100°$。
2. 因为在$\odot O$中，$AB=BC=CD$，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 又因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=100°$，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=50°$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=50°$。
4. ∠AED为圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$，该弧的总度数为$50°×3=150°$。
5. 因此$∠ AED=\frac{1}{2}×150°=75°$。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心考查弦、弧、圆周角三者之间的转化关系，解题的关键是准确找到圆周角对应的弧，再结合已知条件逐步推导，熟练掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7

6. 如图29.2 - 30，把一个量角器放置在∠BOC 的上面，根据量角器的读数确定∠BAC 的度数是。

6. $20°$

【分析】
首先观察图形可知，量角器的圆心为O，点A、B、C均在以O为圆心的圆上，其中∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需先正确读取量角器上∠BOC的度数，再除以2即可求出∠BAC的度数。
【解析】
1. 读取量角器刻度：射线OC与量角器外圈0刻度线重合，射线OB对应外圈40°刻度，因此可得$∠ BOC=40°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，$∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，因此：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理；量角器的读数
【点评】
本题结合量角器读数考查圆周角定理的基础应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，读数时注意区分量角器的内外圈刻度，属于基础题型。
【难度系数】
0.75

7. 如图29.2-31，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AC是$\odot O$的直径，点P在$\odot O$上，若$∠ BPC=50°$，则$∠ ACB$的度数是。

7. $40°$

【分析】
解题时先利用圆周角定理找到与已知∠BPC相等的角，再结合直径所对圆周角为直角的性质，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠ACB的度数。第一步：同弧所对的圆周角相等，∠BPC和∠BAC都对应弧BC，因此二者相等；第二步：AC是直径，所以△ABC是直角三角形，∠ABC=90°；第三步：直角三角形两锐角和为90°，代入角度计算即可。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ $∠ BAC = ∠ BPC = 50°$，
∵ AC是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ $∠ ABC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB + ∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ ACB = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类几何题，解题核心是通过同弧对应的圆周角相等完成角度转化，再结合直径的性质构造直角三角形计算角度，熟练掌握圆周角相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 如图29.2-32,C,D是半圆ACB上的两点,点P是直径AB上一点,且满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”.如图29.2-33,若直径AB=6,弦CE⊥AB,$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°,求CD的长.

如答图 21，连接OC,OD.
∵∠CPD 是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”,
∴∠CPD = 90°, ∠APC = ∠BPD,
∴∠APC = ∠BPD = $\frac{180° - ∠ CPD}{2}=45°$.
∵CE⊥AB,直径AB = 6,
∴AB 垂直平分 CE.
∴PC = PE.
∠PEC=∠PCE=$\frac{180° - ∠ CPE}{2}=45°$. 在⊙O 中,∠COD=2∠PEC=90°. 在Rt△COD 中,OC=OD=$\frac{1}{2}AB=3$,
∴$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=3\sqrt{2}$

【分析】
解题需先理解“相望角”的定义：一是∠CPD为相望角的度数，二是∠APC=∠BPD。首先根据相望角为90°，结合平角的性质计算出∠APC=∠BPD=45°；再结合CE⊥AB的条件，利用垂径定理可得AB垂直平分CE，进而推出PC=PE，得到等腰直角三角形CPE，求出圆周角∠PEC的度数；接下来根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角∠COD的度数；最后在Rt△COD中，利用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
如答图 21，连接OC,OD.
∵∠CPD 是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”,
∴∠CPD = 90°, ∠APC = ∠BPD,
∴$∠ APC = ∠ BPD = \frac{180° - ∠ CPD}{2}=45°$.
∵CE⊥AB,直径AB = 6,
∴AB 垂直平分 CE.
∴PC = PE.
$∠ PEC=∠ PCE=\frac{180° - ∠ CPE}{2}=45°$.
在⊙O 中,∠COD=2∠PEC=90°.
在Rt△COD 中,$OC=OD=\frac{1}{2}AB=3$,
∴$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
1.垂径定理 2.圆周角定理 3.勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查圆的相关性质的综合应用，解题关键是准确理解新定义，将新条件转化为常规的角度关系，再结合圆的基本性质和勾股定理求解，能有效考查知识迁移能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图29.2-34，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，$AB⊥ CD$，$∠ ADC=30°$，则$∠ BOC=(\quad)$.

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

C

【分析】
解题时先结合已知条件“直径CD⊥弦AB”，联想垂径定理，可得弧AC与弧BC相等，因此它们对应的圆心角∠BOC和∠AOC相等；再根据已知的圆周角∠ADC=30°，利用圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴根据垂径定理，得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
∵$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ AOC=2∠ ADC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，核心是通过垂径定理得到弧的等量关系，再结合圆周角定理完成角的推导，熟练掌握圆的基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8