1. 定义:顶点在圆心的角叫作.

1. 圆心角

【分析】
这是一道基础概念识记类题目，解题核心是回忆与圆相关的角的定义内容。我们学习圆的相关概念时，明确对顶点位置在圆心的角有专门的定义命名，直接对应定义内容填写即可，不需要额外计算或复杂推理。
【解析】
根据数学定义：顶点在圆心，且两边都和圆相交的角叫做圆心角。题干给出的“顶点在圆心的角”完全符合圆心角的定义特征，因此此处应填写圆心角。
【答案】
圆心角
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重考查对课本基础定义的记忆掌握情况，只要熟记相关概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 对称性:圆是图形，就是它的对称中心。

2. 中心对称 圆心

【分析】
拿到这道题首先明确考查的是中心对称图形的相关概念与圆的对称性质，解题思路如下：第一步先回忆中心对称图形的判定规则：平面内一个图形绕某一点旋转180°后，若旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，对应的点就是对称中心；第二步结合圆的特征验证：圆绕圆心旋转任意角度都能和原图形重合，旋转180°也满足重合要求，因此可对应得出结论。
【解析】
1. 首先明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一个固定点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个固定点就是它的对称中心。
2. 对圆的对称性进行验证：将圆绕圆心旋转180°后，旋转得到的圆与原圆完全重合，符合中心对称图形的判定要求，因此圆是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。
【答案】
中心对称；圆心
【知识点】
中心对称图形的概念；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对中心对称图形定义的掌握以及圆的对称性质的理解，只要熟记相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别.

解：相等

【分析】
这道题考查弧、弦、圆心角关系定理的识记，解题时只需回忆该定理的完整内容即可。该定理的前提为“在同圆或等圆中”，核心结论是两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中，只要有一组量相等，其余对应的各组量都满足相等的关系，直接对应填空即可。
【解析】
根据圆的弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，因此此处填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
弧、弦、圆心角的关系；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对教材核心定理内容的记忆，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

例 如图29.2-14，在$\odot O$中，C，D是直径AB上的两点，且$AC=BD$，$MC ⊥ AB$，$ND ⊥ AB$，点M，N在$\odot O$上。
(1) 求证：$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) 若C，D分别为OA，OB的中点，则$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立吗？
解 (1) 如图29.2-15，连接OM，ON。
$\because AC=BD$，
$OA=OB$，
$\therefore OC=OD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ ODN$中，$MO=NO$，$OC=OD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM ≌ \mathrm{Rt}△ ODN(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ COM=∠ DON$。
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) $\because C,D$分别为$OA,OB$的中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OM$，$OD=\frac{1}{2}ON$。
$\therefore ∠ CMO=∠ DNO=30°$。
$\therefore ∠ MOA=∠ NOB=60°$，$∠ NOM=60°$。
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立。
方法感悟 在同圆或等圆中，由弧相等可推出所对的圆心角相等，所对的弦相等；由一段弧是另外一段弧的两倍，可推出第一段弧所对的圆心角是第二段弧所对圆心角的两倍，但是弦则没有此倍数关系。

图29.2-14

图29.2-15

【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明两个弧对应的圆心角$∠AOM=∠BON$即可。我们可以连接半径$OM$、$ON$构造直角三角形，结合已知$AC=BD$和半径相等推出$OC=OD$，再用HL定理证明两个直角三角形全等，即可得到对应圆心角相等，进而推出弧相等。
(2) 判断三段弧是否相等，只需证明三个弧对应的圆心角都相等即可。已知C、D是OA、OB中点，可得直角三角形中直角边长度为斜边（半径）的一半，根据直角三角形的性质可推出$∠OMC=∠OND=30°$，进而算出三个圆心角都为60°，即可判定三段弧相等。
【解析】
(1) 证明：连接$OM$、$ON$，
$\because OA、OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，
又$\because AC=BD$，$\therefore OA-AC=OB-BD$，即$OC=OD$，
$\because MC⊥AB$，$ND⊥AB$，$\therefore ∠OCM=∠ODN=90°$，
在$\mathrm{Rt}△OCM$和$\mathrm{Rt}△ODN$中：
$\{\begin{array}{l}OC=OD\\ OM=ON\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△OCM≌\mathrm{Rt}△ODN(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠COM=∠DON$，即$∠AOM=∠BON$，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) 解：成立，理由如下：
$\because C$是$OA$中点，$OM=OA$，$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OM$，
在$\mathrm{Rt}△OCM$中，$∠OCM=90°$，$OC=\frac{1}{2}OM$，
$\therefore ∠OMC=30°$，$\therefore ∠AOM=90°-30°=60°$，
同理可得$∠BON=60°$，
$\therefore ∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠AOM=∠MON=∠BON=60°$，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，证明见解析；
(2) 成立。
【知识点】
弧与圆心角的关系，直角三角形全等判定，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是合理连接半径构造辅助线，利用全等三角形和特殊直角三角形的性质求出圆心角的关系，进而判定弧的等量关系，能帮助学生巩固同圆中弧、圆心角的对应关系这一核心知识点。
【难度系数】
0.8

1. 如图29.2-16，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ A = 30°$，则$∠ B=(\quad)$。

A.$150°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$15°$

B

【分析】
解题时首先结合圆的性质分析已知条件：同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可推出$AB=AC$，即可判断$△ ABC$为等腰三角形；再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为$180°$，代入已知的$∠ A=30°$就能计算出$∠ B$的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴ 由同圆中等弧对等弦可得：$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
∵ 三角形内角和为$180°$，$∠ A=30°$
∴ $∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，将圆的基本性质和三角形的性质结合考查，解题关键是由弧相等推出三角形是等腰三角形，掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 如图29.2-17,在$\odot O$中,已知$AD=BC$,则AB与CD的大小关系是().

A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定

图29.2-17

2. B

【分析】
要判断弦AB与CD的大小关系，可借助同圆中弦与弧的对应关系推导：首先由已知弦AD=BC，可得二者所对的劣弧相等；再给这两段相等的弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$相等；最后根据等弧对等弦，就能得出AB和CD的大小关系。
【解析】
在$\odot O$中：
∵ 弦$AD=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
∴ $AB=CD$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
B
【知识点】
弦弧对等关系，弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用题，解题核心是利用公共弧完成已知条件到待求结论的转换，掌握同圆中弦和弧的对等转换规律即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图29.2-18，在$5×5$正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是().

A.$45°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$90°$

3. D

【分析】
要确定弧AC所对的圆心角，首先需要找到圆弧的圆心：根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，因此只需作出AB、BC两条弦的垂直平分线，交点即为圆心；再连接圆心与A、C两点，通过勾股定理逆定理判断圆心角的度数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系：
1. 确定三点坐标：$A(1,3)$，$B(3,3)$，$C(4,2)$。
2. 作AB的垂直平分线：AB为水平线段，中点横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
3. 作BC的垂直平分线：BC的斜率为$\frac{2-3}{4-3}=-1$，故其垂直平分线的斜率为1；BC中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{3+2}{2})=(3.5,2.5)$，可得BC垂直平分线的解析式为$y-2.5=x-3.5$，整理得$y=x-1$。
4. 求圆心坐标：联立$\begin{cases}x=2\\y=x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$，即圆心$O(2,1)$。
5. 求圆心角度数：由勾股定理得：
$OA^2=(2-1)^2+(1-3)^2=1+4=5$，
$OC^2=(4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5$，
$AC^2=(4-1)^2+(2-3)^2=9+1=10$，
因此$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ AOC$是直角三角形，$∠ AOC=90°$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、垂直平分线的性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题是网格与圆结合的典型题型，解题核心是利用垂径定理推论确定圆心位置，再结合勾股定理逆定理判断角度，对学生的作图能力和几何定理综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7