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4. 如图29.2-6,在$\odot O$中,点P在弦AB上,CD是过点P的直径.有下列条件:
①$AP=\frac{1}{2}AB$;②$OP=PC$;③$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$;
④$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.其中,能得到$CD ⊥ AB$的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$AP=\frac{1}{2}AB$;②$OP=PC$;③$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$;
④$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.其中,能得到$CD ⊥ AB$的有(
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. C
解析
【分析】
这道题考查垂径定理及其推论的应用，解题时我们逐个分析给出的4个条件，结合垂径定理及相关推论，判断每个条件能否推导出直径CD与弦AB垂直，最后统计符合要求的条件个数即可。
【解析】
我们结合垂径定理及推论逐个判断：
垂径定理相关推论：1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；2. 平分弦所对的任意一条弧的直径，垂直于这条弦。
1. 条件①：$AP=\frac{1}{2}AB$，说明P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，根据“平分弦（非直径）的直径垂直于弦”，可得$CD⊥ AB$，符合要求；
2. 条件②：$OP=PC$，仅能说明P是半径OC的中点，过点P可画出无数条弦AB，无法保证AB与CD垂直，不符合要求；
3. 条件③：$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即直径CD平分弦AB所对的劣弧，根据“平分弦所对的弧的直径垂直于弦”，可得$CD⊥ AB$，符合要求；
4. 条件④：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，即直径CD平分弦AB所对的优弧，同理可得$CD⊥ AB$，符合要求。
综上，①③④共3个条件能得到$CD⊥ AB$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对垂径定理推论的理解和应用，解题的关键是准确掌握推论的适用条件，避免混淆不同条件下的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
这道题考查垂径定理及其推论的应用，解题时我们逐个分析给出的4个条件，结合垂径定理及相关推论，判断每个条件能否推导出直径CD与弦AB垂直，最后统计符合要求的条件个数即可。
【解析】
我们结合垂径定理及推论逐个判断：
垂径定理相关推论：1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；2. 平分弦所对的任意一条弧的直径，垂直于这条弦。
1. 条件①：$AP=\frac{1}{2}AB$，说明P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，根据“平分弦（非直径）的直径垂直于弦”，可得$CD⊥ AB$，符合要求；
2. 条件②：$OP=PC$，仅能说明P是半径OC的中点，过点P可画出无数条弦AB，无法保证AB与CD垂直，不符合要求；
3. 条件③：$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即直径CD平分弦AB所对的劣弧，根据“平分弦所对的弧的直径垂直于弦”，可得$CD⊥ AB$，符合要求；
4. 条件④：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，即直径CD平分弦AB所对的优弧，同理可得$CD⊥ AB$，符合要求。
综上，①③④共3个条件能得到$CD⊥ AB$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对垂径定理推论的理解和应用，解题的关键是准确掌握推论的适用条件，避免混淆不同条件下的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
5. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一. 图29.2-8是从正面看到的一个“老碗”(图29.2-7)的形状示意图. $\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径OA为(
A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
A
).A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
答案
5. A
解析
【分析】
本题是结合生活场景的圆的计算类题目，可按以下思路求解：第一步，根据弧中点的性质结合垂径定理，得出OD垂直平分AB，即可求出AC的长度；第二步，设圆O的半径为r，用含r的代数式表示出线段OC的长度；第三步，在直角三角形OAC中运用勾股定理列方程，解方程即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：$\because$ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，因此$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开等式右侧：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项合并同类项得：$16r=208$，
解得：$r=13$，即$OA=13\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是结合生活场景的圆的计算类题目，可按以下思路求解：第一步，根据弧中点的性质结合垂径定理，得出OD垂直平分AB，即可求出AC的长度；第二步，设圆O的半径为r，用含r的代数式表示出线段OC的长度；第三步，在直角三角形OAC中运用勾股定理列方程，解方程即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：$\because$ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，因此$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开等式右侧：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项合并同类项得：$16r=208$，
解得：$r=13$，即$OA=13\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图29.2-9,是一个单心圆曲隧道的截面,若隧道单心圆的半径OA为5 m,净高CD为8 m,则此隧道路面AB宽为
8
m. 答案
6. 8
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：⊙O的半径OA=5m，根据同圆半径相等可得OC=5m，已知净高CD=8m，先计算出线段OD的长度；再观察到CD垂直于弦AB，符合垂径定理的应用条件，可得AB=2AD，最后在直角三角形OAD中利用勾股定理求出AD的长度，即可算出AB的宽度。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OC=OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=CD-OC=8-5=3m，
又
∵CD⊥AB，根据垂径定理可知CD平分AB，即AB=2AD，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$，
∴$AB=2AD=2×4=8\mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础应用题，核心是利用垂径定理将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，解题关键是先求出圆心到弦的距离OD的长度，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
解题时先梳理已知条件：⊙O的半径OA=5m，根据同圆半径相等可得OC=5m，已知净高CD=8m，先计算出线段OD的长度；再观察到CD垂直于弦AB，符合垂径定理的应用条件，可得AB=2AD，最后在直角三角形OAD中利用勾股定理求出AD的长度，即可算出AB的宽度。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OC=OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=CD-OC=8-5=3m，
又
∵CD⊥AB，根据垂径定理可知CD平分AB，即AB=2AD，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$，
∴$AB=2AD=2×4=8\mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础应用题，核心是利用垂径定理将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，解题关键是先求出圆心到弦的距离OD的长度，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
7. 如图29.2 - 10，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，若$CD = 8$，$∠ D = 60°$，则$\odot O$的半径为
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
。答案
7. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用垂径定理，由直径AB垂直弦CD可得到DE的长度；再在Rt△ADE中结合∠D的度数求出∠A的度数；接着连接OD，利用圆周角定理得到圆心角∠DOE的度数；最后在Rt△ODE中利用三角函数即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，CD=8
∴根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠D=60°
∴∠A=90°-∠D=30°
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为∠A，圆心角为∠BOD
∴∠BOD=2∠A=60°
在Rt△ODE中，∠DEO=90°，∠DOE=60°，DE=4
∴$\sin∠ DOE=\frac{DE}{OD}$，即$\sin60°=\frac{4}{OD}$
∴$OD=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
即⊙O的半径为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形计算的结合题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再结合特殊角的三角函数值求解半径，难度适中，能较好考查对圆基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用垂径定理，由直径AB垂直弦CD可得到DE的长度；再在Rt△ADE中结合∠D的度数求出∠A的度数；接着连接OD，利用圆周角定理得到圆心角∠DOE的度数；最后在Rt△ODE中利用三角函数即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接OD
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，CD=8
∴根据垂径定理，$DE=\frac{1}{2}CD=4$
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠D=60°
∴∠A=90°-∠D=30°
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为∠A，圆心角为∠BOD
∴∠BOD=2∠A=60°
在Rt△ODE中，∠DEO=90°，∠DOE=60°，DE=4
∴$\sin∠ DOE=\frac{DE}{OD}$，即$\sin60°=\frac{4}{OD}$
∴$OD=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
即⊙O的半径为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质与直角三角形计算的结合题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再结合特殊角的三角函数值求解半径，难度适中，能较好考查对圆基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
8. 筒车(图29.2-11)是利用水流冲击水轮转动的农业灌溉机械.据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造.如图29.2-12,筒车盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且当圆被水面截得的弦AB为6 m时,水面下盛水筒的最大深度为1 m(即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m时,则水面上涨的高度为多少米?
(1)求该圆的半径.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m时,则水面上涨的高度为多少米?
答案
8. (1)如答图20
,过点$O$作$OD ⊥ AB$ 于点 $C$,交$\odot O$于点 $D$.由题意可知 $CD =1\ \mathrm{m},AB=6\ \mathrm{m},OC⊥AB$,$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$. 设圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$, 即 $OA=OD=r\ \mathrm{m}$, 则 $OC=(r-1)\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$OC^2+AC^2=OA^2$,$\therefore (r-1)^2+3^2=r^2$. 解得 $r=5$. 故该圆的半径为 5 m.
(2)如答图20
,设水面升到 $EF$ 的位置,则 $EF// AB$,$OD$ 与 $EF$ 相交于点 $G$, 连接 $OE$. $\because OD⊥EF$,$\therefore EG=FG=\frac{1}{2}EF=4\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ EOG$ 中, $OE=5\ \mathrm{m},EG=4\ \mathrm{m}$,$\therefore OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=3\ \mathrm{m}$. $\therefore CG=OC-OG=4-3=1\ \mathrm{m}$, 即水面上涨的高度为1 m.解析
【分析】
(1) 求解圆的半径，已知弦长和水面下圆的最大深度，首先考虑用垂径定理解决圆中弦的相关计算：过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦，又能和半径、弦长的一半构成直角三角形。作辅助线$OD⊥ AB$，可得$AC=3\mathrm{m}$，设圆的半径为$r$，则$OC=(r-1)\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中利用勾股定理列方程，即可求出半径。
(2) 水面上涨后弦长变为8m，同理对新的弦$EF$运用垂径定理，构造$\mathrm{Rt}△ EOG$，求出此时圆心到新弦的距离$OG$，对比原来圆心到原弦的距离$OC$，二者的差值就是水面上涨的高度。
【解析】
(1) 如答图20，过点$O$作$OD ⊥ AB$ 于点 $C$，交$\odot O$于点 $D$。
由题意得$CD =1\ \mathrm{m},AB=6\ \mathrm{m}$，$\because OC⊥AB$，根据垂径定理：
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$。
设圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得$OC^2+AC^2=OA^2$，
代入得：$(r-1)^2+3^2=r^2$，
展开整理得：$r^2-2r+1+9=r^2$，解得 $r=5$。
(2) 如答图20，设水面上涨至$EF$位置，$EF// AB$，$OD$交$EF$于点$G$，连接$OE$。
$\because OD⊥EF$，根据垂径定理：
$\therefore EG=FG=\frac{1}{2}EF=4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EOG$中，$OE=5\ \mathrm{m},EG=4\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$。
由(1)得原$OC=r-1=5-1=4\ \mathrm{m}$，
则水面上涨高度$CG=OC-OG=4-3=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 该圆的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 水面上涨的高度为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代灌溉工具筒车为背景，结合实际生活考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理用方程思想求解，既体现了数学的实际应用价值，也要求学生准确对应线段的实际意义，避免混淆长度关系。
【难度系数】
0.7
(1) 求解圆的半径，已知弦长和水面下圆的最大深度，首先考虑用垂径定理解决圆中弦的相关计算：过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦，又能和半径、弦长的一半构成直角三角形。作辅助线$OD⊥ AB$，可得$AC=3\mathrm{m}$，设圆的半径为$r$，则$OC=(r-1)\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中利用勾股定理列方程，即可求出半径。
(2) 水面上涨后弦长变为8m，同理对新的弦$EF$运用垂径定理，构造$\mathrm{Rt}△ EOG$，求出此时圆心到新弦的距离$OG$，对比原来圆心到原弦的距离$OC$，二者的差值就是水面上涨的高度。
【解析】
(1) 如答图20
，过点$O$作$OD ⊥ AB$ 于点 $C$，交$\odot O$于点 $D$。由题意得$CD =1\ \mathrm{m},AB=6\ \mathrm{m}$，$\because OC⊥AB$，根据垂径定理：
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$。
设圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得$OC^2+AC^2=OA^2$，
代入得：$(r-1)^2+3^2=r^2$，
展开整理得：$r^2-2r+1+9=r^2$，解得 $r=5$。
(2) 如答图20
，设水面上涨至$EF$位置，$EF// AB$，$OD$交$EF$于点$G$，连接$OE$。$\because OD⊥EF$，根据垂径定理：
$\therefore EG=FG=\frac{1}{2}EF=4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EOG$中，$OE=5\ \mathrm{m},EG=4\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$。
由(1)得原$OC=r-1=5-1=4\ \mathrm{m}$，
则水面上涨高度$CG=OC-OG=4-3=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 该圆的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 水面上涨的高度为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题以我国古代灌溉工具筒车为背景，结合实际生活考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理用方程思想求解，既体现了数学的实际应用价值，也要求学生准确对应线段的实际意义，避免混淆长度关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图29.2-13，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D。若$AB=8$，$OC=5$，则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
A
）。A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先观察到半径OC垂直弦AB，可先运用垂径定理得到弦AB的一半长度；再根据圆的半径处处相等，得到直角三角形OAD的斜边OA的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆半径的性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，结合勾股定理完成计算，解题时注意构造半径与半弦、弦心距组成的直角三角形是常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到半径OC垂直弦AB，可先运用垂径定理得到弦AB的一半长度；再根据圆的半径处处相等，得到直角三角形OAD的斜边OA的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆半径的性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边，结合勾股定理完成计算，解题时注意构造半径与半弦、弦心距组成的直角三角形是常用技巧。
【难度系数】
0.8
