1. 将用配方法解一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的过程补充完整：因为$a≠0$，所以可在方程两边都除以$a$，得。移项，得。配方，得。即。当$b^2-4ac$ $0$时，$x+$ $=$ 。$x=$。当$b^2-4ac$ $0$时，方程。

1. $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，$x^{2}+2· x· \frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$，$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$，$≥$，$\frac{b}{2a}$，$\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$＜$，无实数根

【分析】
本题考查用配方法推导一元二次方程求根公式的完整步骤，解题时按照配方法的固定逻辑逐步推导即可：第一步先将二次项系数化为1，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$即可；第二步移项，把含未知数的项留在左边，常数项移到等号右侧；第三步配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；第四步整理等式右侧的代数式，得到完全平方式的最简形式；第五步根据平方根的意义，只有完全平方式的右侧是非负数时，才能开平方求解，因此要根据判别式$b^2-4ac$的符号分类讨论：当$b^2-4ac≥0$时，直接开平方移项即可得到求根公式；当$b^2-4ac＜0$时，负数没有平方根，因此方程没有实数根。
【解析】
1. 因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，得$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项，将常数项移到等号右侧，得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方，等式两边同时加上一次项系数$\frac{b}{a}$一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^{2}+2· x· \frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$；
4. 左边写成完全平方式，右边通分化简，得$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$；
5. 根据平方根的性质，只有被开方数非负时才能开平方，因此当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，移项得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
6. 当$b^2-4ac＜0$时，$\frac{b²-4ac}{4a²}$是负数，没有实数平方根，因此方程无实数根。
【答案】
$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，$x^{2}+2· x· \frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$，$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$，$≥$，$\frac{b}{2a}$，$\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$＜$，无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程，求根公式推导，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求根公式的推导过程，核心考查配方法的基本步骤和分类讨论思想，熟练掌握该推导过程是灵活运用求根公式解方程的基础，需要牢记配方法“化1、移项、配方、化简、开方”的固定流程。
【难度系数】
0.7

2. 将方程$2x^2 + x = 6$化为一般形式是$\underline{2x^2 + x - 6 = 0}$，其中$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{-6}$，则$b^2 -4ac=\underline{49}$，用求根公式可得$x_1=\underline{\frac{3}{2}}$，$x_2=\underline{-2}$。

2. $2x^2+x-6=0$，$2$，$1$，$-6$，$49$，$-2$，$\frac{3}{2}$

【分析】
解题思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），第一步先将原方程移项，把常数项移到等号左侧，化为一般形式；再对应一般形式确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意取值要带原符号；接下来将$a、b、c$代入判别式$b^2-4ac$计算数值；最后把相关数值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，分别计算取正负号时的根即可。
【解析】
1. 化为一般形式：将方程$2x^2+x=6$移项，把右侧的6移到左侧，得到$2x^2+x-6=0$，即为一元二次方程的一般形式。
2. 确定各项系数：对比一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-6$。
3. 计算判别式：将$a、b、c$代入$b^2-4ac$得：$1^2-4×2×(-6)=1+48=49$。
4. 用求根公式计算根：
把数值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$
当取减号时：$x=\frac{-1-7}{4}=-2$
当取加号时：$x=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$2x^2+x-6=0$；$2$；$1$；$-6$；$49$；$-2$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；求根公式法解方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程的基本概念和求根公式的应用，解题时要注意常数项的符号，代入公式计算时需避免符号出错。
【难度系数】
0.9

3. 若一元二次方程的根为 $ x = $$ $，则该一元二次方程可以为 。

3. $2x^2-7x-4=0$

【分析】
解题时要结合一元二次方程的求根公式反向推导方程系数：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题目给出的根的表达式和求根公式的结构逐一比对，分别对应求出$a、b、c$的取值，再代入一元二次方程的一般式即可得到所求方程。
【解析】
设所求一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\frac{7\pm\sqrt{49-4×2×(-4)}}{2×2}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×2$，解得$a=2$；
2. 对比分子的常数项：$-b=7$，解得$b=-7$；
3. 对比根号内的常数项：$c=-4$；
将$a=2$、$b=-7$、$c=-4$代入一般式，可得方程为$2x^2-7x-4=0$。
【答案】
$2x^2-7x-4=0$
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题核心是利用求根公式的结构反推方程系数，只要熟练掌握求根公式的组成，逐项对应就能快速求解，是对一元二次方程基本概念的直接考查。
【难度系数】
0.7

4. 下列方程中，最适合用公式法求解的是 （）

A.$3x^2 - \frac{1}{3}=0$
B.$9x^2-(x+2)^2=0$
C.$3x(x+2)=x+2$
D.$-2x^2 + 2\sqrt{2}x +1=0$

4. D

【分析】
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先要明确一元二次方程各解法的适用场景：直接开平方法适合形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；因式分解法适合方程左边能分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况；公式法是一元二次方程的通用解法，更适合难以用直接开平方法、因式分解法快速求解的方程。我们只需逐个分析每个选项最适合的解法，排除用其他解法更简便的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. $3x^2-\frac{1}{3}=0$，移项得$x^2=\frac{1}{9}$，符合直接开平方法的特征，用直接开平方法最简便，不符合要求；
B. $9x^2-(x+2)^2=0$，左边是平方差的形式，可利用平方差公式因式分解为$(3x-x-2)(3x+x+2)=0$，用因式分解法最简便，不符合要求；
C. $3x(x+2)=x+2$，移项后提取公因式$(x+2)$，可得$(x+2)(3x-1)=0$，用因式分解法最简便，不符合要求；
D. $-2x^2 + 2\sqrt{2}x +1=0$，方程难以通过直接开平方法、因式分解法快速求解，最适合用公式法代入计算，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法的适用条件
【点评】
本题考查一元二次方程不同解法的适用场景，解题时要先观察方程的结构特征，优先选择更简便的解法，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8

5. 方程$x^2 - x = -1$的一个根是 （）

A.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
D.无实数根

5. D

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，根据$\Delta$的符号即可判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。本题先移项整理方程，再代入判别式计算即可得出结论。
【解析】
先将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x + 1 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$，
代入根的判别式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式基础应用的考查，解题核心是先将方程化为标准形式，准确确定各项系数后代入判别式计算即可，解题时注意不要弄错常数项的符号。
【难度系数】
0.8

6. 把$\sqrt{2}+\sqrt{3}x=(\sqrt{3}+x)^2$化成$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式后，可得$a=$，$b=$，$c=$。

6. $1$，$\sqrt{3}$，$3-\sqrt{2}$

【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题思路如下：第一步先利用完全平方公式展开方程右侧的平方项；第二步将所有项移到等号的同一侧，移项时注意变号；第三步合并同类项，最终整理成一般形式后，对应$x^2$的系数就是$a$，$x$的系数就是$b$，常数项就是$c$。
【解析】
首先写出原方程：
$\sqrt{2}+\sqrt{3}x=(\sqrt{3}+x)^2$
第一步，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开右侧：
$(\sqrt{3}+x)^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}× x + x^2 = 3 + 2\sqrt{3}x + x^2$
第二步，将左侧所有项移到等号右侧，移项得：
$0 = x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 - \sqrt{2} - \sqrt{3}x$
第三步，合并同类项：
$x^2 + (2\sqrt{3}-\sqrt{3})x + (3-\sqrt{2}) = 0$
即$x^2 + \sqrt{3}x + (3-\sqrt{2}) = 0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得对应系数。
【答案】
$1$，$\sqrt{3}$，$3-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是正确展开完全平方，移项时注意符号变化，合并同类项时同类项的系数计算要准确。
【难度系数】
0.8

7. 利用公式法解得一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$的两个根为$a$，$b$，且$a＞b$，则$a$的值为（）

7. D

【分析】
本题考查用公式法求解一元二次方程的较大根，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），先从给定方程中提取二次项系数$A$、一次项系数$B$、常数项$C$，注意不要与题干中表示根的$a、b$混淆；其次计算判别式$\Delta=B^2-4AC$，确认方程有两个不等实根；最后代入求根公式，因要求较大的根$a$，故取带加号的根，化简后匹配选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$，各项系数为：二次项系数$A=3$，一次项系数$B=-11$，常数项$C=-1$。
1. 计算判别式：
$\Delta = B^2-4AC = (-11)^2 - 4×3×(-1) = 121 + 12 = 133 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$得：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$
3. 由$a＞b$可知，$a$为较大的根，即取加号的根：$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意区分方程系数和题干中表示根的字母，计算判别式和求根时要注意符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8

8. 一元二次方程$x^2 -6\sqrt{7}x +38=0$的较小实数根应在 （）

A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间

8. B

【分析】
要确定一元二次方程较小实数根的范围，解题思路分为三步：第一步，利用一元二次方程求根公式求出两个根的表达式；第二步，判断出较小的根；第三步，通过估算无理数$\sqrt{7}$的取值范围，代入较小根的表达式推导其所在区间即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -6\sqrt{7}x +38=0$，其中$a=1$，$b=-6\sqrt{7}$，$c=38$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6\sqrt{7})^2 - 4×1×38 = 36×7 - 152 = 252 - 152 = 100$
2. 代入求根公式求根：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6\sqrt{7}\pm\sqrt{100}}{2} = \frac{6\sqrt{7}\pm10}{2} = 3\sqrt{7}\pm5$
因此两个根为$x_1=3\sqrt{7}+5$，$x_2=3\sqrt{7}-5$，显然$x_2$是较小的实数根。
3. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$2.6^2=6.76＜7$，$2.7^2=7.29＞7$，进一步验证得$2.64^2=6.9696＜7$，$2.65^2=7.0225＞7$，所以$2.64＜\sqrt{7}＜2.65$。
4. 推导较小根的范围：
不等式两边同乘3得：$7.92＜3\sqrt{7}＜7.95$，
两边同时减5得：$2.92＜3\sqrt{7}-5＜2.95$，
即较小实根在2和3之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式 2. 无理数估算
【点评】
本题将一元二次方程求解和无理数估算结合考查，解题核心是先准确得到根的表达式，再利用相邻整数的平方数估算无理数的取值范围，进而确定根所在区间，掌握基础公式和估算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F. 设AB=a，AD=b，则方程$x^2 + 2ax = b^2$的一个正根是（）

A.DF的长
B.BE的长
C.EF的长
D.BD的长

9. A

【分析】
解题可分三步进行：第一步先通过配方法求解给定一元二次方程的正根，得到根的表达式；第二步利用长方形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再结合作图规则得到BF、DE的长度；第三步计算各选项对应线段的长度，和方程正根对比即可得出结果。
【解析】
1. 求解一元二次方程的正根：
对$x^2 + 2ax = b^2$配方，得$x^2 + 2ax + a^2 = a^2 + b^2$，即$(x+a)^2 = a^2 + b^2$。
因为x为正根，所以$x+a＞0$，开方得$x+a=\sqrt{a^2 + b^2}$，解得正根$x=\sqrt{a^2 + b^2}-a$。
2. 计算几何线段长度：
长方形ABCD中$∠ BAD=90°$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2 + b^2}$。
根据作图规则，以B为圆心AB为半径作弧交BD于F，故$BF=AB=a$；以D为圆心AD为半径作弧交BD于E，故$DE=AD=b$。
3. 对比选项：
DF的长为$BD-BF=\sqrt{a^2 + b^2}-a$，和方程正根一致；
BE的长为$BD-DE=\sqrt{a^2 + b^2}-b$，不符合；
EF的长为$BF+DE-BD=a+b-\sqrt{a^2 + b^2}$，不符合；
BD的长为$\sqrt{a^2 + b^2}$，不符合。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是代数与几何的结合题，考查数形结合思想，只要熟练掌握一元二次方程的解法、勾股定理和圆半径相等的性质，就能快速找到对应关系求解。
【难度系数】
0.7