登录
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k - 5)x - 3k + 6 = 0$恰有一个根为负数，则$k$的取值范围为
$k＞2$
。答案
10. $k＞2$
解析
【分析】
本题可先通过因式分解法求解一元二次方程的两个根，观察到其中一个根为固定正数3，结合题目“恰有一个根为负数”的要求，只需保证另一个根为负数即可，据此列不等式求解就能得到k的取值范围。
【解析】
首先对一元二次方程左边的二次三项式进行十字相乘因式分解：
$\begin{aligned}x^2 + (k - 5)x - 3k + 6&=0\\(x - 3)(x + k - 2)&=0\end{aligned}$
解得方程的两个根为：$x_1=3$，$x_2=2 - k$。
已知$x_1=3$是正数，要使方程恰有一个根为负数，只需另一个根$x_2＜0$，即：
$2 - k ＜ 0$
解得$k＞2$。
【答案】
$k＞2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根，解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是通过因式分解快速得到方程的两个实根，避免了使用判别式、韦达定理的复杂计算，只需根据根的正负要求列出不等式即可求解，侧重对基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题可先通过因式分解法求解一元二次方程的两个根，观察到其中一个根为固定正数3，结合题目“恰有一个根为负数”的要求，只需保证另一个根为负数即可，据此列不等式求解就能得到k的取值范围。
【解析】
首先对一元二次方程左边的二次三项式进行十字相乘因式分解：
$\begin{aligned}x^2 + (k - 5)x - 3k + 6&=0\\(x - 3)(x + k - 2)&=0\end{aligned}$
解得方程的两个根为：$x_1=3$，$x_2=2 - k$。
已知$x_1=3$是正数，要使方程恰有一个根为负数，只需另一个根$x_2＜0$，即：
$2 - k ＜ 0$
解得$k＞2$。
【答案】
$k＞2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根，解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是通过因式分解快速得到方程的两个实根，避免了使用判别式、韦达定理的复杂计算，只需根据根的正负要求列出不等式即可求解，侧重对基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 -4x -7=0$；
(2) $x(2x -4)=5 -8x$；
(3) $x^2 -2\sqrt{3}x +2=0$；
(4) $x^2 - \frac{x^2 -x}{2} = \frac{1}{2}$；
(5) $-3x^2 -5x +2=0$；
(6) $(x+3)^2 + (x-1)^2=2$；
(1) $x^2 -4x -7=0$；
(2) $x(2x -4)=5 -8x$；
(3) $x^2 -2\sqrt{3}x +2=0$；
(4) $x^2 - \frac{x^2 -x}{2} = \frac{1}{2}$；
(5) $-3x^2 -5x +2=0$；
(6) $(x+3)^2 + (x-1)^2=2$；
答案
11. (1) $x_1=2+\sqrt{11},x_2=2-\sqrt{11}$
(2) $x_1=-1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) $x_1=-2,x_2=\frac{1}{3}$
(6) 无实数根
(2) $x_1=-1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) $x_1=-2,x_2=\frac{1}{3}$
(6) 无实数根
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，计算过程中需注意符号不要出错。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x -7=0$为一般形式，其中$a=1,b=-4,c=-7$。
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×(-7)=16+28=44＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=2\pm\sqrt{11}$。
(2) 整理方程：展开左边得$2x^2-4x=5-8x$，移项合并同类项得$2x^2+4x-5=0$，其中$a=2,b=4,c=-5$。
判别式$\Delta=4^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{4}=-1\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3) 方程$x^2 -2\sqrt{3}x +2=0$为一般形式，其中$a=1,b=-2\sqrt{3},c=2$。
判别式$\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4×1×2=12-8=4＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{2\sqrt{3}\pm2}{2}=\sqrt{3}\pm1$。
(4) 整理方程：两边同乘2去分母得$2x^2-(x^2-x)=1$，化简得$x^2+x-1=0$，其中$a=1,b=1,c=-1$。
判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$。
(5) 整理方程：两边同乘$-1$得$3x^2+5x-2=0$，其中$a=3,b=5,c=-2$。
判别式$\Delta=5^2-4×3×(-2)=25+24=49＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$，计算得$x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},x_2=\frac{-12}{6}=-2$。
(6) 整理方程：展开平方得$x^2+6x+9+x^2-2x+1=2$，合并同类项移项得$2x^2+4x+8=0$，两边同除以2得$x^2+2x+4=0$，其中$a=1,b=2,c=4$。
判别式$\Delta=2^2-4×1×4=4-16=-12＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{11},x_2=2-\sqrt{11}$
(2) $x_1=-1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) $x_1=-2,x_2=\frac{1}{3}$
(6) 无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解，计算时要注意符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，计算过程中需注意符号不要出错。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x -7=0$为一般形式，其中$a=1,b=-4,c=-7$。
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×(-7)=16+28=44＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=2\pm\sqrt{11}$。
(2) 整理方程：展开左边得$2x^2-4x=5-8x$，移项合并同类项得$2x^2+4x-5=0$，其中$a=2,b=4,c=-5$。
判别式$\Delta=4^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{4}=-1\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3) 方程$x^2 -2\sqrt{3}x +2=0$为一般形式，其中$a=1,b=-2\sqrt{3},c=2$。
判别式$\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4×1×2=12-8=4＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{2\sqrt{3}\pm2}{2}=\sqrt{3}\pm1$。
(4) 整理方程：两边同乘2去分母得$2x^2-(x^2-x)=1$，化简得$x^2+x-1=0$，其中$a=1,b=1,c=-1$。
判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}$。
(5) 整理方程：两边同乘$-1$得$3x^2+5x-2=0$，其中$a=3,b=5,c=-2$。
判别式$\Delta=5^2-4×3×(-2)=25+24=49＞0$，代入求根公式得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$，计算得$x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},x_2=\frac{-12}{6}=-2$。
(6) 整理方程：展开平方得$x^2+6x+9+x^2-2x+1=2$，合并同类项移项得$2x^2+4x+8=0$，两边同除以2得$x^2+2x+4=0$，其中$a=1,b=2,c=4$。
判别式$\Delta=2^2-4×1×4=4-16=-12＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{11},x_2=2-\sqrt{11}$
(2) $x_1=-1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) $x_1=-2,x_2=\frac{1}{3}$
(6) 无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解，计算时要注意符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 定义：我们把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 与 $ cx^2 + bx + a = 0 $（$ ac ≠ 0 $，$ a ≠ c $）称为一对“和谐方程”。如 $ 2x^2 +5x -3=0 $ 的“和谐方程”是 $ -3x^2 +5x +2=0 $。
（1）写出一元二次方程 $ x^2 +4x -12=0 $ 的“和谐方程”：
（2）已知一元二次方程 $ x^2 +4x -12=0 $ 的两根为 $ x_1=-6 $，$ x_2=2 $，它的“和谐方程”的两根为 $ x_3= $
（3）已知关于 $ x $ 的方程 $ 2026x^2 +bx -1=0 $ 的两根是 $ x_1=-1 $，$ x_2=\frac{1}{2026} $。请利用（2）中的结论，直接写出关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)^2 -bx +b=2026 $ 的两根。
（1）写出一元二次方程 $ x^2 +4x -12=0 $ 的“和谐方程”：
$-12x^2+4x+1=0$
。（2）已知一元二次方程 $ x^2 +4x -12=0 $ 的两根为 $ x_1=-6 $，$ x_2=2 $，它的“和谐方程”的两根为 $ x_3= $
$-\frac{1}{6}$
，$ x_4= $$\frac{1}{2}$
。根据以上结论，猜想 $ ax^2 +bx +c=0 $ 的两根 $ x_1 $，$ x_2 $ 与其“和谐方程” $ cx^2 +bx +a=0 $ 的两根 $ x_3 $，$ x_4 $ 之间存在的一种特殊关系为互为倒数
，请证明你的结论。（3）已知关于 $ x $ 的方程 $ 2026x^2 +bx -1=0 $ 的两根是 $ x_1=-1 $，$ x_2=\frac{1}{2026} $。请利用（2）中的结论，直接写出关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)^2 -bx +b=2026 $ 的两根。
答案
12. (1) $-12x^2+4x+1=0$
(2) $-\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$，互为倒数；理由如下:解方程$ax^2+bx+c=0$,得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;解方程$cx^2+bx+a=0$,得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$;故$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1$,$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1$,即根的特殊关系为互为倒数
(3) $x_1=0,x_2=2027$(提示:令$x-1=t$,则$(x-1)^2-bx+b=2026$可转化为$t^2-b(t+1)+b=2026$,即$t^2-bt-2026=0$)
(2) $-\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$，互为倒数；理由如下:解方程$ax^2+bx+c=0$,得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;解方程$cx^2+bx+a=0$,得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$;故$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1$,$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1$,即根的特殊关系为互为倒数
(3) $x_1=0,x_2=2027$(提示:令$x-1=t$,则$(x-1)^2-bx+b=2026$可转化为$t^2-b(t+1)+b=2026$,即$t^2-bt-2026=0$)
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据“和谐方程”的定义，只需将原方程的二次项系数与常数项互换位置，一次项系数保持不变，即可直接写出对应的和谐方程，需满足$ac≠0$的前提条件。
2. 第(2)问：先求解原方程的和谐方程得到两根，将其与原方程的两根对比，可发现互为倒数的关系；证明时可分别写出两个方程的求根公式，计算对应根的乘积为1即可验证结论，也可通过韦达定理辅助推导。
3. 第(3)问：采用换元法，令$t=x-1$，将所求方程变形为“和谐方程”的形式，结合第(2)问得出的两根互为倒数的结论，先求出$t$的取值，再反解得到$x$的值即可。
【解析】
(1) 根据“和谐方程”的定义，将$x^2 +4x -12=0$的二次项系数1和常数项-12互换，一次项系数4不变，可得和谐方程为$-12x^2 +4x +1=0$。
(2) 解和谐方程$-12x^2 +4x +1=0$，整理为$12x^2 -4x -1=0$，因式分解得$(6x+1)(2x-1)=0$，解得$x_3=-\frac{1}{6}$，$x_4=\frac{1}{2}$。
对比原方程两根$x_1=-6$、$x_2=2$，可得$x_1·x_3=1$、$x_2·x_4=1$，猜想特殊关系为：两个方程的对应两根互为倒数。
证明如下：
对于方程$ax^2 +bx +c=0$，由求根公式得两根为$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
对于其和谐方程$cx^2 +bx +a=0$，由求根公式得两根为$x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$；
计算乘积：$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}=\frac{4ac}{4ac}=1$，
同理$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=1$，即两个方程的对应两根互为倒数。
(3) 令$t=x-1$，则$x=t+1$，代入方程$(x-1)^2 -bx +b=2026$得：
$t^2 -b(t+1) +b =2026$，化简得$t^2 -bt -2026=0$，变形为$-t^2 +bt +2026=0$。
已知$2026x^2 +bx -1=0$的两根为$x_1=-1$、$x_2=\frac{1}{2026}$，根据(2)的结论，其和谐方程$-t^2 +bt +2026=0$的两根为原方程两根的倒数，即$t_1=-1$，$t_2=2026$。
结合$t=x-1$，解得$x_1=t_1+1=0$，$x_2=t_2+1=2027$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12x^2+4x+1=0}$
(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{6}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，互为倒数
(3) $\boldsymbol{x_1=0,x_2=2027}$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法，根与系数的关系
【点评】
本题以新定义“和谐方程”为载体设置分层问题，既考查对新定义的理解能力，又考查一元二次方程相关知识的应用，渗透了换元的数学思想，能有效检验知识迁移和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据“和谐方程”的定义，只需将原方程的二次项系数与常数项互换位置，一次项系数保持不变，即可直接写出对应的和谐方程，需满足$ac≠0$的前提条件。
2. 第(2)问：先求解原方程的和谐方程得到两根，将其与原方程的两根对比，可发现互为倒数的关系；证明时可分别写出两个方程的求根公式，计算对应根的乘积为1即可验证结论，也可通过韦达定理辅助推导。
3. 第(3)问：采用换元法，令$t=x-1$，将所求方程变形为“和谐方程”的形式，结合第(2)问得出的两根互为倒数的结论，先求出$t$的取值，再反解得到$x$的值即可。
【解析】
(1) 根据“和谐方程”的定义，将$x^2 +4x -12=0$的二次项系数1和常数项-12互换，一次项系数4不变，可得和谐方程为$-12x^2 +4x +1=0$。
(2) 解和谐方程$-12x^2 +4x +1=0$，整理为$12x^2 -4x -1=0$，因式分解得$(6x+1)(2x-1)=0$，解得$x_3=-\frac{1}{6}$，$x_4=\frac{1}{2}$。
对比原方程两根$x_1=-6$、$x_2=2$，可得$x_1·x_3=1$、$x_2·x_4=1$，猜想特殊关系为：两个方程的对应两根互为倒数。
证明如下：
对于方程$ax^2 +bx +c=0$，由求根公式得两根为$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
对于其和谐方程$cx^2 +bx +a=0$，由求根公式得两根为$x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$；
计算乘积：$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4ac}=\frac{4ac}{4ac}=1$，
同理$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}=1$，即两个方程的对应两根互为倒数。
(3) 令$t=x-1$，则$x=t+1$，代入方程$(x-1)^2 -bx +b=2026$得：
$t^2 -b(t+1) +b =2026$，化简得$t^2 -bt -2026=0$，变形为$-t^2 +bt +2026=0$。
已知$2026x^2 +bx -1=0$的两根为$x_1=-1$、$x_2=\frac{1}{2026}$，根据(2)的结论，其和谐方程$-t^2 +bt +2026=0$的两根为原方程两根的倒数，即$t_1=-1$，$t_2=2026$。
结合$t=x-1$，解得$x_1=t_1+1=0$，$x_2=t_2+1=2027$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12x^2+4x+1=0}$
(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{6}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，互为倒数
(3) $\boldsymbol{x_1=0,x_2=2027}$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法，根与系数的关系
【点评】
本题以新定义“和谐方程”为载体设置分层问题，既考查对新定义的理解能力，又考查一元二次方程相关知识的应用，渗透了换元的数学思想，能有效检验知识迁移和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
