登录
11. 我们可以用因式分解法解一些一元二次方程，同样我们也可以用因式分解法解一些一元二次不等式. 如解一元二次不等式 $x^2 -2x -3＞0$ 的过程如下.
解：$(x-3)(x+1)＞0$,
由两数相乘，同号得正，有$\begin{cases} x-3＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+1＜0. \end{cases}$解得$x＞3$或$x＜-1$,
所以原不等式的解集为 $x＞3$ 或 $x＜-1$.
解下列不等式：
(1) $x^2 -5x -6＜0$；
(2) $(x-1)(x^2 +7x -8)＞0$.
解：$(x-3)(x+1)＞0$,
由两数相乘，同号得正，有$\begin{cases} x-3＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+1＜0. \end{cases}$解得$x＞3$或$x＜-1$,
所以原不等式的解集为 $x＞3$ 或 $x＜-1$.
解下列不等式：
(1) $x^2 -5x -6＜0$；
(2) $(x-1)(x^2 +7x -8)＞0$.
答案
11. (1) 分解因式可得$(x+1)(x-6)＜0$,$\therefore \begin{cases} x+1＞0, \\ x-6＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} x+1＜0, \\ x-6＞0 \end{cases}$,解得$-1＜x＜6$,$\therefore$不等式的解集为$-1＜x＜6$
(2) 由条件可得$(x-1)^2(x+8)＞0$,$\therefore \begin{cases} (x-1)^2＞0, \\ x+8＞0, \end{cases}$或$\begin{cases} (x-1)^2＜0, \\ x+8＜0. \end{cases}$解第一个不等式组得$x＞-8$且$x≠1$,解第二个不等式组无解,$\therefore$不等式的解集为$x＞-8$且$x≠1$
(2) 由条件可得$(x-1)^2(x+8)＞0$,$\therefore \begin{cases} (x-1)^2＞0, \\ x+8＞0, \end{cases}$或$\begin{cases} (x-1)^2＜0, \\ x+8＜0. \end{cases}$解第一个不等式组得$x＞-8$且$x≠1$,解第二个不等式组无解,$\therefore$不等式的解集为$x＞-8$且$x≠1$
解析
【分析】
要解这类不等式，核心思路是利用“两数相乘，同号得正、异号得负”的符号法则，将高次/二次不等式转化为若干个一元一次不等式组求解。具体步骤为：①先对不等式左侧的多项式因式分解，化为几个一次因式乘积的形式；②根据不等式的符号拆分出对应的一元一次不等式组；③分别解每个不等式组，合并有效解集即可。解第(2)问时要注意平方项的非负性，可简化计算，同时要排除使平方项为0的解。
【解析】
(1) 对$x^2 -5x -6$十字相乘法因式分解，得$x^2 -5x -6=(x+1)(x-6)$，原不等式转化为：
$(x+1)(x-6)＜0$
由两数相乘异号得负，可列两组不等式：
$\begin{cases} x+1＞0 \\ x-6＜0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x+1＜0 \\ x-6＞0 \end{cases}$
解第一组不等式得$-1＜x＜6$；第二组不等式无公共解，无解。
因此不等式的解集为$-1＜x＜6$。
(2) 先对$x^2 +7x -8$十字相乘法因式分解，得$x^2 +7x -8=(x+8)(x-1)$，原不等式转化为：
$(x-1)·(x+8)(x-1)＞0$，即$(x-1)^2(x+8)＞0$
由两数相乘同号得正，可列两组不等式：
$\begin{cases} (x-1)^2＞0 \\ x+8＞0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} (x-1)^2＜0 \\ x+8＜0 \end{cases}$
解第一组不等式：$(x-1)^2＞0$即$x≠1$，$x+8＞0$即$x＞-8$，得解集为$x＞-8$且$x≠1$；
第二组不等式中$(x-1)^2＜0$不符合平方的非负性，无解。
因此不等式的解集为$x＞-8$且$x≠1$。
【答案】
(1) $-1＜x＜6$
(2) $x＞-8$且$x≠1$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 一元一次不等式组解法
3. 乘法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移类题型，需要准确理解题目给出的因式分解法解不等式的逻辑，解题关键是正确完成多项式因式分解，再转化为熟悉的一元一次不等式组求解，解题时要注意平方项的非负性，避免漏掉$x≠1$的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解这类不等式，核心思路是利用“两数相乘，同号得正、异号得负”的符号法则，将高次/二次不等式转化为若干个一元一次不等式组求解。具体步骤为：①先对不等式左侧的多项式因式分解，化为几个一次因式乘积的形式；②根据不等式的符号拆分出对应的一元一次不等式组；③分别解每个不等式组，合并有效解集即可。解第(2)问时要注意平方项的非负性，可简化计算，同时要排除使平方项为0的解。
【解析】
(1) 对$x^2 -5x -6$十字相乘法因式分解，得$x^2 -5x -6=(x+1)(x-6)$，原不等式转化为：
$(x+1)(x-6)＜0$
由两数相乘异号得负，可列两组不等式：
$\begin{cases} x+1＞0 \\ x-6＜0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x+1＜0 \\ x-6＞0 \end{cases}$
解第一组不等式得$-1＜x＜6$；第二组不等式无公共解，无解。
因此不等式的解集为$-1＜x＜6$。
(2) 先对$x^2 +7x -8$十字相乘法因式分解，得$x^2 +7x -8=(x+8)(x-1)$，原不等式转化为：
$(x-1)·(x+8)(x-1)＞0$，即$(x-1)^2(x+8)＞0$
由两数相乘同号得正，可列两组不等式：
$\begin{cases} (x-1)^2＞0 \\ x+8＞0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} (x-1)^2＜0 \\ x+8＜0 \end{cases}$
解第一组不等式：$(x-1)^2＞0$即$x≠1$，$x+8＞0$即$x＞-8$，得解集为$x＞-8$且$x≠1$；
第二组不等式中$(x-1)^2＜0$不符合平方的非负性，无解。
因此不等式的解集为$x＞-8$且$x≠1$。
【答案】
(1) $-1＜x＜6$
(2) $x＞-8$且$x≠1$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 一元一次不等式组解法
3. 乘法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移类题型，需要准确理解题目给出的因式分解法解不等式的逻辑，解题关键是正确完成多项式因式分解，再转化为熟悉的一元一次不等式组求解，解题时要注意平方项的非负性，避免漏掉$x≠1$的限制条件。
【难度系数】
0.7
12. 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程. 例如，一元三次方程$x^3 +5x^2 +6x=0$，可以通过因式分解把它转化为$x(x^2 +5x +6)=0$，解一元一次方程$x=0$和一元二次方程$x^2 +5x +6=0$，可得$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=-3$；无理方程(根号下含有未知数的方程)$\sqrt{x+2}=x$，可以通过方程两边平方把它转化为$x+2=x^2$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$(通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验)，经检验，$x_2=-1$是增根，要舍去.
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1) 方程$(x+1)(x-2)(2x+3)=0$的解为$x_1=$
(2) 解方程$3x^2(x-2)=x^2 -2x$；
(3) 解方程$\sqrt{6-x}=x$.
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1) 方程$(x+1)(x-2)(2x+3)=0$的解为$x_1=$
$-1$
，$x_2=$$2$
，$x_3=$$-\dfrac{3}{2}$
；(2) 解方程$3x^2(x-2)=x^2 -2x$；
(3) 解方程$\sqrt{6-x}=x$.
答案
12. (1) $-1,2,-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=0,x_2=\dfrac{1}{3},x_3=2$
(3) $x_1=2,x_2=-3$,经检验,$x_2=-3$是增根,要舍去
(2) $x_1=0,x_2=\dfrac{1}{3},x_3=2$
(3) $x_1=2,x_2=-3$,经检验,$x_2=-3$是增根,要舍去
解析
【分析】
本题运用转化思想求解不同类型的方程，解题思路如下：
(1) 多个整式乘积为0时，只要任意一个整式为0，乘积就为0，因此分别令每个因式等于0，解一元一次方程即可得到解；
(2) 先移项将方程右边化为0，再提取公因式因式分解，转化为几个一次因式乘积为0的形式分别求解，注意不能直接两边除以含未知数的因式，避免丢根；
(3) 无理方程先通过两边平方转化为一元二次方程，求解后必须检验，因为平方运算可能产生增根，要舍去不符合原方程的根。
【解析】
(1) 令每个因式分别等于0：
$x+1=0$，解得$x=-1$；
$x-2=0$，解得$x=2$；
$2x+3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
(2) 移项得：$3x^2(x-2) - (x^2 - 2x) = 0$，
变形得：$3x^2(x-2) - x(x-2) = 0$，
提取公因式得：$x(x-2)(3x - 1) = 0$，
分别令因式为0：
$x=0$；$x-2=0$得$x=2$；$3x-1=0$得$x=\dfrac{1}{3}$。
(3) 方程两边平方得：$6 - x = x^2$，
整理为一元二次方程：$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-3$。
检验：当$x=-3$时，左边$\sqrt{6-(-3)}=3≠$右边$-3$，是增根，舍去；$x=2$符合原方程。
【答案】
(1) $-1,2,-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=0,x_2=\dfrac{1}{3},x_3=2$
(3) $x_1=2,x_2=-3$,经检验,$x_2=-3$是增根,要舍去
【知识点】
因式分解解方程；无理方程求解；增根检验
【点评】
本题以阅读材料形式考查转化思想的应用，将陌生的高次方程、无理方程转化为熟悉的一元一次、一元二次方程求解，解题时注意不要随意约去含未知数的因式避免丢根，无理方程求解后必须验根。
【难度系数】
0.7
本题运用转化思想求解不同类型的方程，解题思路如下：
(1) 多个整式乘积为0时，只要任意一个整式为0，乘积就为0，因此分别令每个因式等于0，解一元一次方程即可得到解；
(2) 先移项将方程右边化为0，再提取公因式因式分解，转化为几个一次因式乘积为0的形式分别求解，注意不能直接两边除以含未知数的因式，避免丢根；
(3) 无理方程先通过两边平方转化为一元二次方程，求解后必须检验，因为平方运算可能产生增根，要舍去不符合原方程的根。
【解析】
(1) 令每个因式分别等于0：
$x+1=0$，解得$x=-1$；
$x-2=0$，解得$x=2$；
$2x+3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
(2) 移项得：$3x^2(x-2) - (x^2 - 2x) = 0$，
变形得：$3x^2(x-2) - x(x-2) = 0$，
提取公因式得：$x(x-2)(3x - 1) = 0$，
分别令因式为0：
$x=0$；$x-2=0$得$x=2$；$3x-1=0$得$x=\dfrac{1}{3}$。
(3) 方程两边平方得：$6 - x = x^2$，
整理为一元二次方程：$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得：$(x+3)(x-2)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-3$。
检验：当$x=-3$时，左边$\sqrt{6-(-3)}=3≠$右边$-3$，是增根，舍去；$x=2$符合原方程。
【答案】
(1) $-1,2,-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=0,x_2=\dfrac{1}{3},x_3=2$
(3) $x_1=2,x_2=-3$,经检验,$x_2=-3$是增根,要舍去
【知识点】
因式分解解方程；无理方程求解；增根检验
【点评】
本题以阅读材料形式考查转化思想的应用，将陌生的高次方程、无理方程转化为熟悉的一元一次、一元二次方程求解，解题时注意不要随意约去含未知数的因式避免丢根，无理方程求解后必须验根。
【难度系数】
0.7
