例1 某便利店为优化货架陈列，需将6款畅销零食的单价(单位:元):8,3,10,7,2,5,分为2个价格区间组(每组至少包含2款零食).为方便消费者快速识别价格相近的商品，需让每个区间内的商品价格差异尽可能小，请确定最优的价格区间分组方案，并说明分组的理由.

先将6个数据排序为:2,3,5,7,8,10,然后将其分成两组:① 组1:2,3,组2:5,7,8,10,组1平均数为2.5,组1离差平方和为0.5.组2平均数为7.5,组2离差平方和13.组内离差平方和为13.5.② 组1:2,3,5,组2:7,8,10.组1平均数为$\frac{10}{3}$,组1离差平方和为$\frac{10}{3}$.组2平均数为$\frac{25}{3}$,组2离差平方和为$\frac{10}{3}$.组内离差平方和为$\frac{20}{3}$.③ 组1:2,3,5,7,组2:8,10.组1平均数为4.25,组1离差平方和为14.75.组2平均数为9,组2离差平方和为2.组内离差平方和为16.75.因为$\frac{20}{3}＜13.5＜16.75$,所以最优分组方案为组1:2,3,5,组2:7,8,10,即{2元的零食、3元的零食、5元的零食} {7元的零食、8元的零食、10元的零食}

【分析】
要确定最优分组，核心目标是让两组的组内价格差异总和尽可能小，也就是组内数据的离散程度总和最低。解题思路如下：第一步先将所有单价从小到大排序，因为价格相近的数排序后是相邻的，分组时只需在排序后的数列中切分即可，无需打乱顺序；第二步明确可行的分组方式：6款零食每组至少2款，共有3种切分方式：前2后4、前3后3、前4后2；第三步分别计算每种分组的组内离差平方和总和（离差平方和越小，代表组内数据差异越小），选择总和最小的分组即为最优方案。
【解析】
1. 先将6个价格数据从小到大排序为：2，3，5，7，8，10。
2. 列出所有符合要求的分组方式，分别计算总离差平方和：
① 分组：组1{2,3}，组2{5,7,8,10}
组1平均数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，组1离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.5$；
组2平均数为$\frac{5+7+8+10}{4}=7.5$，组2离差平方和为$(5-7.5)^2+(7-7.5)^2+(8-7.5)^2+(10-7.5)^2=13$；
总离差平方和为$0.5+13=13.5$。
② 分组：组1{2,3,5}，组2{7,8,10}
组1平均数为$\frac{2+3+5}{3}=\frac{10}{3}$，组1离差平方和为$\frac{10}{3}$；
组2平均数为$\frac{7+8+10}{3}=\frac{25}{3}$，组2离差平方和为$\frac{10}{3}$；
总离差平方和为$\frac{10}{3}+\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$。
③ 分组：组1{2,3,5,7}，组2{8,10}
组1平均数为$\frac{2+3+5+7}{4}=4.25$，组1离差平方和为$14.75$；
组2平均数为$\frac{8+10}{2}=9$，组2离差平方和为$(8-9)^2+(10-9)^2=2$；
总离差平方和为$14.75+2=16.75$。
3. 比较总离差平方和：$\frac{20}{3}＜13.5＜16.75$，因此第二种分组的组内总差异最小。
【答案】
最优分组方案为：{2元的零食、3元的零食、5元的零食}，{7元的零食、8元的零食、10元的零食}
【知识点】
数据的离散程度，离差平方和，数据排序
【点评】
本题结合日常经营的实际场景，考查了数据离散程度的应用，解题时需要先梳理出所有可行的分组方案，再通过计算量化组内的价格差异，最终得到最优方案，能够锻炼数据处理与实际应用的能力。
【难度系数】
0.7

例2 某健身房5名新会员A,B,C,D,E的体测耐力得分(满分20分,得分越高耐力越强)分别为:6,7.5,8.5,9,9.5.教练需将会员分为2组以匹配不同强度的课程,以“组内离差平方和最小”为标准,确定最优分组方案.

共有4种不同的分类,计算各类别的组内离差平方和可得
| 序号 | 分类情况 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- |
| 第1类 | 组1:6,组2:7.5,8.5,9,9.5 | 2.187 5 |
| 第2类 | 组1:6,7.5,组2:8.5,9,9.5 | 1.625 |
| 第3类 | 组1:6,7.5,8.5,组2:9,9.5 | $\frac{19}{6}$ |
| 第4类 | 组1:6,7.5,8.5,9,组2:9.5 | 5.25 |
由此,将前2个数据分为一组,后三个数据分为一组,可使得组内离差平方和最小.依据数据对应的会员,分组方案为{A,B} {C,D,E}

【分析】
解题前先明确两个核心点：一是5个数据分非空的2组，人数分配只有1+4、2+3、3+2、4+1四种不重复的有效分组（为使组内离差平方和最小，相近数据应分在同一组，因此按从小到大排序后直接在相邻数据间切分即可，无需考虑打乱数据的分组）；二是组内离差平方和的计算规则：每组的离差平方和等于组内每个数据与组平均数的差的平方之和，总离差平方和为两组离差平方和的和。解题时先将数据从小到大排序，再逐一计算4种分组的总离差平方和，比较后取最小值对应的分组即可。
【解析】
首先将5名会员的耐力得分从小到大排序：6（A）、7.5（B）、8.5（C）、9（D）、9.5（E），共有4种有效分组方案，分别计算总离差平方和：
1. 分组为$\{6\}$和$\{7.5,8.5,9,9.5\}$：
单人组离差平方和为0，四人组平均数$=(7.5+8.5+9+9.5)÷4=8.625$
四人组离差平方和$=(7.5-8.625)^2+(8.5-8.625)^2+(9-8.625)^2+(9.5-8.625)^2=2.1875$
总离差平方和$=0+2.1875=2.1875$
2. 分组为$\{6,7.5\}$和$\{8.5,9,9.5\}$：
二人组平均数$=(6+7.5)÷2=6.75$，离差平方和$=(6-6.75)^2+(7.5-6.75)^2=1.125$
三人组平均数$=(8.5+9+9.5)÷3=9$，离差平方和$=(8.5-9)^2+(9-9)^2+(9.5-9)^2=0.5$
总离差平方和$=1.125+0.5=1.625$
3. 分组为$\{6,7.5,8.5\}$和$\{9,9.5\}$：
三人组平均数$=(6+7.5+8.5)÷3=\frac{22}{3}$，离差平方和$=(6-\frac{22}{3})^2+(7.5-\frac{22}{3})^2+(8.5-\frac{22}{3})^2=\frac{19}{6}$
二人组平均数$=(9+9.5)÷2=9.25$，离差平方和$=(9-9.25)^2+(9.5-9.25)^2=0.125$
总离差平方和$=\frac{19}{6}+0.125\approx3.29$
4. 分组为$\{6,7.5,8.5,9\}$和$\{9.5\}$：
四人组平均数$=(6+7.5+8.5+9)÷4=7.75$，离差平方和$=(6-7.75)^2+(7.5-7.75)^2+(8.5-7.75)^2+(9-7.75)^2=5.25$
单人组离差平方和为0，总离差平方和$=5.25+0=5.25$
比较4种方案的总离差平方和，1.625最小，对应分组为$\{6,7.5\}$和$\{8.5,9,9.5\}$。
【答案】
最优分组方案为$\{A,B\}$、$\{C,D,E\}$
【知识点】
离差平方和计算；数据的离散程度；分类讨论
【点评】
本题考查离散程度的实际应用，解题时需先明确分组的所有可能情况，再按照离差平方和的计算规则逐一计算、比较结果即可，解题的关键是不重不漏列举有效分组，保证计算的准确性。
【难度系数】
0.7

1. 以“组内离差平方和最小”为标准确定数据最优分组方案，其核心目标是（）

A.使每组数据的平均数尽可能接近总体平均数
B.使每组内数据的离散程度尽可能小
C.使不同组之间数据的差异尽可能小
D.使每组数据的个数尽可能均匀

1. B

【分析】
解题时首先要明确离差平方和的意义：离差平方和是衡量一组数据离散程度的常用指标，数值越小，说明该组数据越集中、离散程度越小。题干要求“组内离差平方和最小”，是针对每组内部的数据特征提出的要求，因此我们只需围绕“组内”“离散程度”这两个核心点对选项逐一排查即可。
【解析】
首先明确组内离差平方和的含义：它反映的是每组内部各数据与本组平均数的偏离总程度，数值大小直接对应组内数据的离散程度，值越小则组内数据离散程度越小。
对各选项逐一分析：
A. 组内离差平方和衡量的是组内数据相对于本组平均数的偏离，和组平均数与总体平均数的接近程度无直接关联，故A错误；
B. 组内离差平方和最小，就是让每组内部数据的离散程度尽可能小，符合该分组标准的核心目标，故B正确；
C. 不同组之间的差异由组间离差平方和反映，与组内离差平方和无关，故C错误；
D. 每组数据个数是否均匀和离差平方和的大小没有必然联系，不是该分组标准的目标，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
数据的离散程度；离差平方和的意义
【点评】
本题考查统计中相关衡量指标的含义，解题关键是区分组内、组间相关指标的作用，掌握离散程度类统计量的意义即可快速判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8