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4. 某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙、丁从笔试、面试、体能和社会实践经验等四个方面进行量化考核，四项满分均是100分，笔试、面试、体能、社会实践经验得分分别按30%，30%，20%，20%的比例计入总分。甲、乙、丙、丁各项得分如下表：
（1）写出四位应聘者的总分；
（2）请分别求出此次4位应聘者的笔试、面试、体能、社会实践经验四项得分的方差。
（1）写出四位应聘者的总分；
（2）请分别求出此次4位应聘者的笔试、面试、体能、社会实践经验四项得分的方差。
答案
4. (1) 甲总分83.8分,乙总分82.6分,丙总分83分,丁总分85.7分 (2) 笔试得分方差为5.25,面试得分方差为23.1875,体能得分方差为52.25,社会实践经验得分方差为4.6875
解析
【分析】
（1）第一问计算四位应聘者的总分，属于加权平均数计算问题，解题思路是：先明确四个考核项目对应的权重（30%、30%、20%、20%），再将每位应聘者的四项得分分别乘以对应权重后求和，即可得到各人总分。
（2）第二问计算四项得分的方差，解题思路是：先分别提取笔试、面试、体能、社会实践经验四项各自的4个得分，依次计算每项得分的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中n是数据个数，$\overline{x}$是平均数），计算得到每项的方差。
【解析】
（1）计算四人总分：
甲的总分：$83×30\% +79×30\% +90×20\% +86×20\% =24.9+23.7+18+17.2=83.8$（分）
乙的总分：$86×30\% +80×30\% +74×20\% +90×20\% =25.8+24+14.8+18=82.6$（分）
丙的总分：$80×30\% +90×30\% +73×20\% +87×20\% =24+27+14.6+17.4=83$（分）
丁的总分：$85×30\% +88×30\% +85×20\% +84×20\% =25.5+26.4+17+16.8=85.7$（分）
（2）分别计算四项得分的方差：
① 笔试得分：83、86、80、85
平均分$\overline{x}_1=\frac{83+86+80+85}{4}=83.5$
方差$s_1^2=\frac{1}{4}[(83-83.5)^2+(86-83.5)^2+(80-83.5)^2+(85-83.5)^2]=\frac{1}{4}×21=5.25$
② 面试得分：79、80、90、88
平均分$\overline{x}_2=\frac{79+80+90+88}{4}=84.25$
方差$s_2^2=\frac{1}{4}[(79-84.25)^2+(80-84.25)^2+(90-84.25)^2+(88-84.25)^2]=\frac{1}{4}×92.75=23.1875$
③ 体能得分：90、74、73、85
平均分$\overline{x}_3=\frac{90+74+73+85}{4}=80.5$
方差$s_3^2=\frac{1}{4}[(90-80.5)^2+(74-80.5)^2+(73-80.5)^2+(85-80.5)^2]=\frac{1}{4}×209=52.25$
④ 社会实践经验得分：86、90、87、84
平均分$\overline{x}_4=\frac{86+90+87+84}{4}=86.75$
方差$s_4^2=\frac{1}{4}[(86-86.75)^2+(90-86.75)^2+(87-86.75)^2+(84-86.75)^2]=\frac{1}{4}×18.75=4.6875$
【答案】
（1）甲总分83.8分，乙总分82.6分，丙总分83分，丁总分85.7分；
（2）笔试得分方差为5.25，面试得分方差为23.1875，体能得分方差为52.25，社会实践经验得分方差为4.6875。
【知识点】
加权平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查加权平均数和方差的公式应用，解题时需注意权重与考核项目的对应，代入方差公式计算时要仔细核对数据，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
（1）第一问计算四位应聘者的总分，属于加权平均数计算问题，解题思路是：先明确四个考核项目对应的权重（30%、30%、20%、20%），再将每位应聘者的四项得分分别乘以对应权重后求和，即可得到各人总分。
（2）第二问计算四项得分的方差，解题思路是：先分别提取笔试、面试、体能、社会实践经验四项各自的4个得分，依次计算每项得分的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中n是数据个数，$\overline{x}$是平均数），计算得到每项的方差。
【解析】
（1）计算四人总分：
甲的总分：$83×30\% +79×30\% +90×20\% +86×20\% =24.9+23.7+18+17.2=83.8$（分）
乙的总分：$86×30\% +80×30\% +74×20\% +90×20\% =25.8+24+14.8+18=82.6$（分）
丙的总分：$80×30\% +90×30\% +73×20\% +87×20\% =24+27+14.6+17.4=83$（分）
丁的总分：$85×30\% +88×30\% +85×20\% +84×20\% =25.5+26.4+17+16.8=85.7$（分）
（2）分别计算四项得分的方差：
① 笔试得分：83、86、80、85
平均分$\overline{x}_1=\frac{83+86+80+85}{4}=83.5$
方差$s_1^2=\frac{1}{4}[(83-83.5)^2+(86-83.5)^2+(80-83.5)^2+(85-83.5)^2]=\frac{1}{4}×21=5.25$
② 面试得分：79、80、90、88
平均分$\overline{x}_2=\frac{79+80+90+88}{4}=84.25$
方差$s_2^2=\frac{1}{4}[(79-84.25)^2+(80-84.25)^2+(90-84.25)^2+(88-84.25)^2]=\frac{1}{4}×92.75=23.1875$
③ 体能得分：90、74、73、85
平均分$\overline{x}_3=\frac{90+74+73+85}{4}=80.5$
方差$s_3^2=\frac{1}{4}[(90-80.5)^2+(74-80.5)^2+(73-80.5)^2+(85-80.5)^2]=\frac{1}{4}×209=52.25$
④ 社会实践经验得分：86、90、87、84
平均分$\overline{x}_4=\frac{86+90+87+84}{4}=86.75$
方差$s_4^2=\frac{1}{4}[(86-86.75)^2+(90-86.75)^2+(87-86.75)^2+(84-86.75)^2]=\frac{1}{4}×18.75=4.6875$
【答案】
（1）甲总分83.8分，乙总分82.6分，丙总分83分，丁总分85.7分；
（2）笔试得分方差为5.25，面试得分方差为23.1875，体能得分方差为52.25，社会实践经验得分方差为4.6875。
【知识点】
加权平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查加权平均数和方差的公式应用，解题时需注意权重与考核项目的对应，代入方差公式计算时要仔细核对数据，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.7
5. 为选拔校园篮球联赛的种子选手，学校体育组在室内篮球场组织投篮测试，统一使用标准篮球，要求在罚球线位置投篮，甲、乙、丙3名同学踊跃参与，在相同场地和规则下各投篮20次，3人的测试成绩如下表：
通过计算，判断甲、乙、丙3名同学谁的投篮成绩最稳定。
通过计算，判断甲、乙、丙3名同学谁的投篮成绩最稳定。
答案
5. 甲的平均数为8.45,方差为0.9475,乙的平均数为8.65,方差为0.9275,丙的平均数为8.45,方差为1.1475,乙的方差最小,故乙同学的投篮最稳定
解析
【分析】
要判断谁的投篮成绩最稳定，需依据方差的性质：方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。解题思路为：首先分别计算甲、乙、丙三人投篮成绩的平均数，再结合平均数计算三人成绩的方差，最后比较方差的大小，方差最小的选手成绩最稳定。
【解析】
已知三人各投篮20次，分别计算三人的平均数和方差：
1. 计算甲的平均数和方差：
$\overline{x}_甲=\frac{7×4 + 8×6 + 9×7 + 10×3}{20}=\frac{169}{20}=8.45$
$s^2_甲=\frac{4×(7-8.45)^2 + 6×(8-8.45)^2 +7×(9-8.45)^2 +3×(10-8.45)^2}{20}=\frac{18.95}{20}=0.9475$
2. 计算乙的平均数和方差：
$\overline{x}_乙=\frac{7×2 +8×8 +9×5 +10×5}{20}=\frac{173}{20}=8.65$
$s^2_乙=\frac{2×(7-8.65)^2 +8×(8-8.65)^2 +5×(9-8.65)^2 +5×(10-8.65)^2}{20}=\frac{18.55}{20}=0.9275$
3. 计算丙的平均数和方差：
$\overline{x}_丙=\frac{7×5 +8×5 +9×6 +10×4}{20}=\frac{169}{20}=8.45$
$s^2_丙=\frac{5×(7-8.45)^2 +5×(8-8.45)^2 +6×(9-8.45)^2 +4×(10-8.45)^2}{20}=\frac{22.95}{20}=1.1475$
比较三方差大小：$0.9275＜0.9475＜1.1475$，即乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
乙同学的投篮成绩最稳定
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题侧重考察统计中方差的实际应用，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算规则，牢记“方差越小数据波动越小，稳定性越强”的性质即可解题，计算时需注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要判断谁的投篮成绩最稳定，需依据方差的性质：方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。解题思路为：首先分别计算甲、乙、丙三人投篮成绩的平均数，再结合平均数计算三人成绩的方差，最后比较方差的大小，方差最小的选手成绩最稳定。
【解析】
已知三人各投篮20次，分别计算三人的平均数和方差：
1. 计算甲的平均数和方差：
$\overline{x}_甲=\frac{7×4 + 8×6 + 9×7 + 10×3}{20}=\frac{169}{20}=8.45$
$s^2_甲=\frac{4×(7-8.45)^2 + 6×(8-8.45)^2 +7×(9-8.45)^2 +3×(10-8.45)^2}{20}=\frac{18.95}{20}=0.9475$
2. 计算乙的平均数和方差：
$\overline{x}_乙=\frac{7×2 +8×8 +9×5 +10×5}{20}=\frac{173}{20}=8.65$
$s^2_乙=\frac{2×(7-8.65)^2 +8×(8-8.65)^2 +5×(9-8.65)^2 +5×(10-8.65)^2}{20}=\frac{18.55}{20}=0.9275$
3. 计算丙的平均数和方差：
$\overline{x}_丙=\frac{7×5 +8×5 +9×6 +10×4}{20}=\frac{169}{20}=8.45$
$s^2_丙=\frac{5×(7-8.45)^2 +5×(8-8.45)^2 +6×(9-8.45)^2 +4×(10-8.45)^2}{20}=\frac{22.95}{20}=1.1475$
比较三方差大小：$0.9275＜0.9475＜1.1475$，即乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
乙同学的投篮成绩最稳定
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题侧重考察统计中方差的实际应用，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算规则，牢记“方差越小数据波动越小，稳定性越强”的性质即可解题，计算时需注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
6. 对某零件的质量进行6次测量,得到6个结果(单位:g):$x_1=25,x_2=26,x_3=24,x_4=25,x_5=27,x_6=23$.如果用$x$作为这个零件重量的近似值,要使$(x-x_1)^2+(x-x_2)^2+\dots+(x-x_6)^2$的值最小,那么$x$应选取这6次测量结果的 （
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
C
）A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
答案
6. C
解析
【分析】
本题要求找到使各测量值与x的差的平方和最小的x对应的统计量，解题思路如下：首先排除明显错误选项，方差是描述数据离散程度的量，不能作为零件重量的近似值，直接排除D；接下来可通过代数推导求解：将平方和整理为关于x的二次函数，利用二次函数开口向上时顶点处取最小值的性质，求出x的表达式，再对应统计量的定义判断即可，注意不要被本题中多个统计量数值巧合相等的情况干扰，要从本质规律出发选择答案。
【解析】
设平方和为$ S=(x-x_1)^2+(x-x_2)^2+\dots+(x-x_6)^2 $，展开并合并同类项：
$\begin{aligned}S&=6x^2 - 2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)x + (x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)\end{aligned}$
这是关于x的二次函数，二次项系数$ 6＞0 $，因此函数存在最小值，根据二次函数最值公式，当$ x=-\frac{b}{2a} $时S最小，代入系数得：
$x=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_6)}{2×6}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_6}{6}$
该值就是6次测量结果的平均数。虽然本题中这组数据的中位数、众数数值恰好和平均数相等，但使平方和最小是平均数的本质性质，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值、平均数的性质、统计量的辨析
【点评】
本题结合代数运算与统计知识考查，既需要掌握二次函数求最值的方法，也需要理解各统计量的意义和特性，掌握平均数“最小平方误差”的性质可以快速得出答案，避免被局部数值巧合干扰。
【难度系数】
0.7
本题要求找到使各测量值与x的差的平方和最小的x对应的统计量，解题思路如下：首先排除明显错误选项，方差是描述数据离散程度的量，不能作为零件重量的近似值，直接排除D；接下来可通过代数推导求解：将平方和整理为关于x的二次函数，利用二次函数开口向上时顶点处取最小值的性质，求出x的表达式，再对应统计量的定义判断即可，注意不要被本题中多个统计量数值巧合相等的情况干扰，要从本质规律出发选择答案。
【解析】
设平方和为$ S=(x-x_1)^2+(x-x_2)^2+\dots+(x-x_6)^2 $，展开并合并同类项：
$\begin{aligned}S&=6x^2 - 2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)x + (x_1^2+x_2^2+\dots+x_6^2)\end{aligned}$
这是关于x的二次函数，二次项系数$ 6＞0 $，因此函数存在最小值，根据二次函数最值公式，当$ x=-\frac{b}{2a} $时S最小，代入系数得：
$x=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_6)}{2×6}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_6}{6}$
该值就是6次测量结果的平均数。虽然本题中这组数据的中位数、众数数值恰好和平均数相等，但使平方和最小是平均数的本质性质，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值、平均数的性质、统计量的辨析
【点评】
本题结合代数运算与统计知识考查，既需要掌握二次函数求最值的方法，也需要理解各统计量的意义和特性，掌握平均数“最小平方误差”的性质可以快速得出答案，避免被局部数值巧合干扰。
【难度系数】
0.7
