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例 某大型公司共有A,B,C,D四个核心销售区域，业务涵盖电子产品、家居用品、办公用品三大类.每个区域在一年的四个季度的销售额(单位:万元)如下表所示：
(1) 计算A,B,C,D四个区域的年销售额及季度平均销售额；
(2) A,B,C,D四个区域的季度销售额数据的方差分别为$s_A^2,s_B^2,s_C^2,s_D^2$,比较它们的大小并说明理由.
(1) 计算A,B,C,D四个区域的年销售额及季度平均销售额；
(2) A,B,C,D四个区域的季度销售额数据的方差分别为$s_A^2,s_B^2,s_C^2,s_D^2$,比较它们的大小并说明理由.
答案
(1) 区域A的年销售额为537.2万元,季度平均销售额134.3万元;区域B的年销售额为425.8万元,季度平均销售额106.45万元;区域C的年销售额为657.4万元,季度平均销售额164.35万元;区域D的年销售额为377.4万元,季度平均销售额94.35万元 (2) $s_A^2=32.415,s_B^2=26.5225,s_C^2=30.3125,s_D^2=18.8625$,故$s_A^2＞s_C^2＞s_B^2＞s_D^2$
解析
【分析】
（1）要求各区域的年销售额，只需将对应区域四个季度的销售额相加即可；季度平均销售额等于年销售额除以季度数4，代入数据计算即可。
（2）方差是衡量数据离散程度的统计量，计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，我们将四个区域的季度销售额和对应的平均销售额分别代入公式，算出四个方差后再比较大小即可。
【解析】
（1）计算各区域年销售额和季度平均销售额：
区域A：年销售额$=125.8 + 132.5 + 140.2 + 138.7 = 537.2$（万元），季度平均销售额$=537.2÷4 = 134.3$（万元）
区域B：年销售额$=98.6 + 105.3 + 112.1 + 109.8 = 425.8$（万元），季度平均销售额$=425.8÷4 = 106.45$（万元）
区域C：年销售额$=156.3 + 162.4 + 170.5 + 168.2 = 657.4$（万元），季度平均销售额$=657.4÷4 = 164.35$（万元）
区域D：年销售额$=87.9 + 93.2 + 99.5 + 96.8 = 377.4$（万元），季度平均销售额$=377.4÷4 = 94.35$（万元）
（2）根据方差公式$s^2=\frac{1}{4}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$分别计算：
$s_A^2=\frac{1}{4}[(125.8-134.3)^2+(132.5-134.3)^2+(140.2-134.3)^2+(138.7-134.3)^2]=32.415$
$s_B^2=\frac{1}{4}[(98.6-106.45)^2+(105.3-106.45)^2+(112.1-106.45)^2+(109.8-106.45)^2]=26.5225$
$s_C^2=\frac{1}{4}[(156.3-164.35)^2+(162.4-164.35)^2+(170.5-164.35)^2+(168.2-164.35)^2]=30.3125$
$s_D^2=\frac{1}{4}[(87.9-94.35)^2+(93.2-94.35)^2+(99.5-94.35)^2+(96.8-94.35)^2]=18.8625$
比较得：$s_A^2＞s_C^2＞s_B^2＞s_D^2$
【答案】
(1) 区域A的年销售额为537.2万元,季度平均销售额134.3万元;区域B的年销售额为425.8万元,季度平均销售额106.45万元;区域C的年销售额为657.4万元,季度平均销售额164.35万元;区域D的年销售额为377.4万元,季度平均销售额94.35万元
(2) $s_A^2＞s_C^2＞s_B^2＞s_D^2$
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的基础运算，计算过程中需要细心，避免加减法和乘方运算出错，熟练掌握方差的计算公式是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要求各区域的年销售额，只需将对应区域四个季度的销售额相加即可；季度平均销售额等于年销售额除以季度数4，代入数据计算即可。
（2）方差是衡量数据离散程度的统计量，计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，我们将四个区域的季度销售额和对应的平均销售额分别代入公式，算出四个方差后再比较大小即可。
【解析】
（1）计算各区域年销售额和季度平均销售额：
区域A：年销售额$=125.8 + 132.5 + 140.2 + 138.7 = 537.2$（万元），季度平均销售额$=537.2÷4 = 134.3$（万元）
区域B：年销售额$=98.6 + 105.3 + 112.1 + 109.8 = 425.8$（万元），季度平均销售额$=425.8÷4 = 106.45$（万元）
区域C：年销售额$=156.3 + 162.4 + 170.5 + 168.2 = 657.4$（万元），季度平均销售额$=657.4÷4 = 164.35$（万元）
区域D：年销售额$=87.9 + 93.2 + 99.5 + 96.8 = 377.4$（万元），季度平均销售额$=377.4÷4 = 94.35$（万元）
（2）根据方差公式$s^2=\frac{1}{4}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2]$分别计算：
$s_A^2=\frac{1}{4}[(125.8-134.3)^2+(132.5-134.3)^2+(140.2-134.3)^2+(138.7-134.3)^2]=32.415$
$s_B^2=\frac{1}{4}[(98.6-106.45)^2+(105.3-106.45)^2+(112.1-106.45)^2+(109.8-106.45)^2]=26.5225$
$s_C^2=\frac{1}{4}[(156.3-164.35)^2+(162.4-164.35)^2+(170.5-164.35)^2+(168.2-164.35)^2]=30.3125$
$s_D^2=\frac{1}{4}[(87.9-94.35)^2+(93.2-94.35)^2+(99.5-94.35)^2+(96.8-94.35)^2]=18.8625$
比较得：$s_A^2＞s_C^2＞s_B^2＞s_D^2$
【答案】
(1) 区域A的年销售额为537.2万元,季度平均销售额134.3万元;区域B的年销售额为425.8万元,季度平均销售额106.45万元;区域C的年销售额为657.4万元,季度平均销售额164.35万元;区域D的年销售额为377.4万元,季度平均销售额94.35万元
(2) $s_A^2＞s_C^2＞s_B^2＞s_D^2$
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的基础运算，计算过程中需要细心，避免加减法和乘方运算出错，熟练掌握方差的计算公式是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 小明在计算一组数据的方差时，列式得：$s^2=\frac{(5-\overline{x})^2+(2-\overline{x})^2+(5-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2}{4}$。
关于这组数据，下列说法：① 样本容量是3；② 平均数是4；③ 中位数是4；④ 方差为1.5。正确的是（
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
关于这组数据，下列说法：① 样本容量是3；② 平均数是4；③ 中位数是4；④ 方差为1.5。正确的是（
D
）A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先根据方差的计算公式提取原始数据、确定样本容量，再依次计算这组数据的平均数、中位数、方差，逐一判断4个说法的正误，最终选出正确选项。第一步，方差公式中分母为数据总个数即样本容量，分子中每个括号内的被减数就是原始数据；第二步，用总数量除以总个数计算平均数；第三步，将数据从小到大排序后计算中位数；第四步，代入方差公式计算方差，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 确定样本容量与原始数据：由方差公式$s^2=\frac{(5-\overline{x})^2+(2-\overline{x})^2+(5-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2}{4}$可得，这组数据为2、4、5、5，样本容量是4，故说法①错误。
2. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+4+5+5}{4}=\frac{16}{4}=4$，故说法②正确。
3. 计算中位数：将数据从小到大排序为2、4、5、5，共4个数据，中位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{4+5}{2}=4.5$，故说法③错误。
4. 计算方差：代入公式得$s^2=\frac{(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2}{4}=\frac{1+4+1+0}{4}=1.5$，故说法④正确。
综上，②④说法正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计中常见特征量的计算，解题的核心是能从方差的表达式中准确提取原始数据，计算中位数时注意要先对数据排序，再根据数据个数是奇数还是偶数选择对应的计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据方差的计算公式提取原始数据、确定样本容量，再依次计算这组数据的平均数、中位数、方差，逐一判断4个说法的正误，最终选出正确选项。第一步，方差公式中分母为数据总个数即样本容量，分子中每个括号内的被减数就是原始数据；第二步，用总数量除以总个数计算平均数；第三步，将数据从小到大排序后计算中位数；第四步，代入方差公式计算方差，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 确定样本容量与原始数据：由方差公式$s^2=\frac{(5-\overline{x})^2+(2-\overline{x})^2+(5-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2}{4}$可得，这组数据为2、4、5、5，样本容量是4，故说法①错误。
2. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+4+5+5}{4}=\frac{16}{4}=4$，故说法②正确。
3. 计算中位数：将数据从小到大排序为2、4、5、5，共4个数据，中位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{4+5}{2}=4.5$，故说法③错误。
4. 计算方差：代入公式得$s^2=\frac{(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2}{4}=\frac{1+4+1+0}{4}=1.5$，故说法④正确。
综上，②④说法正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计中常见特征量的计算，解题的核心是能从方差的表达式中准确提取原始数据，计算中位数时注意要先对数据排序，再根据数据个数是奇数还是偶数选择对应的计算方法。
【难度系数】
0.7
2. 用科学计算器求得271,315,263,289,300,277,286,293,297,280,298,315的平均数为
290.3
，方差为237.2
（结果精确到0.1）。答案
2. 290.3,237.2
解析
【分析】
本题要求计算一组数据的平均数和方差，解题思路如下：首先明确平均数的计算方法是所有数据之和除以数据的总个数；方差的计算方法是先求出每个数据与平均数的差的平方，再计算这些平方值的平均数。解题时可以先统计数据总个数，再逐步计算总和、平均数，最后代入方差公式求解，也可直接使用科学计算器的统计模式快速得到结果，计算过程中注意结果要精确到0.1。
【解析】
第一步：确定数据总个数，题中共有12个数据，即$n=12$。
第二步：计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{1}{12}×(271+315+263+289+300+277+286+293+297+280+298+315)$
$=\frac{1}{12}×3484\approx290.3$
第三步：计算方差$s^2$：
$s^2=\frac{1}{12}×[(271-290.3)^2+(315-290.3)^2+(263-290.3)^2+(289-290.3)^2+(300-290.3)^2+(277-290.3)^2+(286-290.3)^2+(293-290.3)^2+(297-290.3)^2+(280-290.3)^2+(298-290.3)^2+(315-290.3)^2]$
计算得$s^2\approx237.2$
【答案】
290.3，237.2
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于统计基础题，主要考查平均数和方差的计算，解题的核心是牢记两个统计量的计算公式，计算时要细心，避免因数据求和、平方运算出错导致结果错误，也可借助科学计算器的统计功能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题要求计算一组数据的平均数和方差，解题思路如下：首先明确平均数的计算方法是所有数据之和除以数据的总个数；方差的计算方法是先求出每个数据与平均数的差的平方，再计算这些平方值的平均数。解题时可以先统计数据总个数，再逐步计算总和、平均数，最后代入方差公式求解，也可直接使用科学计算器的统计模式快速得到结果，计算过程中注意结果要精确到0.1。
【解析】
第一步：确定数据总个数，题中共有12个数据，即$n=12$。
第二步：计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{1}{12}×(271+315+263+289+300+277+286+293+297+280+298+315)$
$=\frac{1}{12}×3484\approx290.3$
第三步：计算方差$s^2$：
$s^2=\frac{1}{12}×[(271-290.3)^2+(315-290.3)^2+(263-290.3)^2+(289-290.3)^2+(300-290.3)^2+(277-290.3)^2+(286-290.3)^2+(293-290.3)^2+(297-290.3)^2+(280-290.3)^2+(298-290.3)^2+(315-290.3)^2]$
计算得$s^2\approx237.2$
【答案】
290.3，237.2
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于统计基础题，主要考查平均数和方差的计算，解题的核心是牢记两个统计量的计算公式，计算时要细心，避免因数据求和、平方运算出错导致结果错误，也可借助科学计算器的统计功能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3. 用科学计算器求得9.9,9.8,10.1,10.4,9.8,9.8,8.9,9.7,10.2,9.8,10.4,10.3,9.9的平均数为
9.92
，方差是0.14
（结果精确到0.01）。答案
3. 9.92,0.14
解析
【分析】
本题需要计算一组数据的平均数和方差，解题思路清晰：首先确定数据总个数，再计算所有数据的总和，用总和除以总个数得到平均数；随后依据方差计算公式，先求每个数据与平均数差的平方和，再除以总个数得到方差，最后将结果按要求精确到0.01即可。计算时要注意求和的准确性，也可直接使用科学计算器的统计功能快速计算。
【解析】
解：经统计，本组数据共13个。
1. 计算平均数：
先计算13个数据的总和：
$9.9+9.8+10.1+10.4+9.8+9.8+8.9+9.7+10.2+9.8+10.4+10.3+9.9=128.9$
根据平均数公式，平均数$\overline{x}=\frac{数据总和}{数据个数}=\frac{128.9}{13}\approx9.92$
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入$\overline{x}\approx9.92$、$n=13$，计算所有数据与平均数差的平方和约为1.82，因此：
$s^2=\frac{1.82}{13}=0.14$
（也可直接通过科学计算器的统计模式输入所有数据，直接读取平均数和方差结果，精确到0.01即可）
【答案】
9.92，0.14
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查平均数和方差的计算规则，计算时注意仔细核对数据和，避免运算失误，同时要严格按照精度要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
本题需要计算一组数据的平均数和方差，解题思路清晰：首先确定数据总个数，再计算所有数据的总和，用总和除以总个数得到平均数；随后依据方差计算公式，先求每个数据与平均数差的平方和，再除以总个数得到方差，最后将结果按要求精确到0.01即可。计算时要注意求和的准确性，也可直接使用科学计算器的统计功能快速计算。
【解析】
解：经统计，本组数据共13个。
1. 计算平均数：
先计算13个数据的总和：
$9.9+9.8+10.1+10.4+9.8+9.8+8.9+9.7+10.2+9.8+10.4+10.3+9.9=128.9$
根据平均数公式，平均数$\overline{x}=\frac{数据总和}{数据个数}=\frac{128.9}{13}\approx9.92$
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入$\overline{x}\approx9.92$、$n=13$，计算所有数据与平均数差的平方和约为1.82，因此：
$s^2=\frac{1.82}{13}=0.14$
（也可直接通过科学计算器的统计模式输入所有数据，直接读取平均数和方差结果，精确到0.01即可）
【答案】
9.92，0.14
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查平均数和方差的计算规则，计算时注意仔细核对数据和，避免运算失误，同时要严格按照精度要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
