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6. 甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩(满分10环)如下：
(1) 计算甲、乙两人射击成绩的平均数和方差；
(2) 根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由。
(1) 计算甲、乙两人射击成绩的平均数和方差；
(2) 根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由。
答案
6. (1) 甲的射击成绩排序后为:6,6,6,6,7,7,7,8,8,9.成绩的平均数为7,方差为1.乙的射击成绩排序后为:5,5,5,6,7,7,8,8,9,10.成绩的平均数为7,方差为2.8
(2) 甲的射击成绩比较稳定,理由:甲的射击成绩的平均数等于乙的平均数,说明两人的实力相当,但甲的射击成绩的方差小于乙的方差,说明甲的射击成绩的离散程度小,射击水平比较稳定
(2) 甲的射击成绩比较稳定,理由:甲的射击成绩的平均数等于乙的平均数,说明两人的实力相当,但甲的射击成绩的方差小于乙的方差,说明甲的射击成绩的离散程度小,射击水平比较稳定
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解平均数和方差：首先分别提取甲、乙两人的10次射击成绩，根据平均数公式（所有数据之和除以数据个数）计算两人成绩的平均数；再根据方差公式（每个数据与平均数差值的平方的平均数）计算两人成绩的方差，计算时可以先统计各成绩出现的次数简化运算。
2. 评价稳定性：方差是反映数据离散程度的统计量，平均数相同时，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定，对比两人方差大小即可判断稳定性。
【解析】
(1) 计算平均数和方差：
① 甲的10次成绩为：6,7,6,8,7,6,8,6,9,7
甲的平均数：$\overline{x}_甲 = \frac{6×4 + 7×3 + 8×2 + 9×1}{10} = \frac{24 + 21 + 16 + 9}{10} = \frac{70}{10} = 7$
甲的方差：$s^2_甲 = \frac{1}{10}[4×(6-7)^2 + 3×(7-7)^2 + 2×(8-7)^2 + 1×(9-7)^2]$
$= \frac{1}{10}(4×1 + 3×0 + 2×1 + 1×4) = \frac{10}{10} = 1$
② 乙的10次成绩为：5,7,5,10,5,8,6,9,8,7
乙的平均数：$\overline{x}_乙 = \frac{5×3 + 7×2 + 6×1 + 8×2 + 9×1 + 10×1}{10} = \frac{15 + 14 + 6 + 16 + 9 + 10}{10} = \frac{70}{10} = 7$
乙的方差：$s^2_乙 = \frac{1}{10}[3×(5-7)^2 + 1×(6-7)^2 + 2×(7-7)^2 + 2×(8-7)^2 + 1×(9-7)^2 + 1×(10-7)^2]$
$= \frac{1}{10}(3×4 + 1×1 + 2×0 + 2×1 + 1×4 + 1×9) = \frac{28}{10} = 2.8$
(2) 评价稳定性：
甲的射击成绩更稳定。理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，说明两人平均射击水平相当；甲的方差1小于乙的方差2.8，说明甲的成绩离散程度更小，波动更小，因此射击成绩更稳定。
【答案】
(1) 甲的平均数为7，方差为1；乙的平均数为7，方差为2.8。
(2) 甲的射击成绩比较稳定，理由：甲的射击成绩的平均数等于乙的平均数，说明两人的实力相当，但甲的射击成绩的方差小于乙的方差，说明甲的射击成绩的离散程度小，射击水平比较稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，重点考查平均数、方差的计算方法以及方差的实际意义，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键，计算时注意统计各数据出现的次数可以简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解平均数和方差：首先分别提取甲、乙两人的10次射击成绩，根据平均数公式（所有数据之和除以数据个数）计算两人成绩的平均数；再根据方差公式（每个数据与平均数差值的平方的平均数）计算两人成绩的方差，计算时可以先统计各成绩出现的次数简化运算。
2. 评价稳定性：方差是反映数据离散程度的统计量，平均数相同时，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定，对比两人方差大小即可判断稳定性。
【解析】
(1) 计算平均数和方差：
① 甲的10次成绩为：6,7,6,8,7,6,8,6,9,7
甲的平均数：$\overline{x}_甲 = \frac{6×4 + 7×3 + 8×2 + 9×1}{10} = \frac{24 + 21 + 16 + 9}{10} = \frac{70}{10} = 7$
甲的方差：$s^2_甲 = \frac{1}{10}[4×(6-7)^2 + 3×(7-7)^2 + 2×(8-7)^2 + 1×(9-7)^2]$
$= \frac{1}{10}(4×1 + 3×0 + 2×1 + 1×4) = \frac{10}{10} = 1$
② 乙的10次成绩为：5,7,5,10,5,8,6,9,8,7
乙的平均数：$\overline{x}_乙 = \frac{5×3 + 7×2 + 6×1 + 8×2 + 9×1 + 10×1}{10} = \frac{15 + 14 + 6 + 16 + 9 + 10}{10} = \frac{70}{10} = 7$
乙的方差：$s^2_乙 = \frac{1}{10}[3×(5-7)^2 + 1×(6-7)^2 + 2×(7-7)^2 + 2×(8-7)^2 + 1×(9-7)^2 + 1×(10-7)^2]$
$= \frac{1}{10}(3×4 + 1×1 + 2×0 + 2×1 + 1×4 + 1×9) = \frac{28}{10} = 2.8$
(2) 评价稳定性：
甲的射击成绩更稳定。理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，说明两人平均射击水平相当；甲的方差1小于乙的方差2.8，说明甲的成绩离散程度更小，波动更小，因此射击成绩更稳定。
【答案】
(1) 甲的平均数为7，方差为1；乙的平均数为7，方差为2.8。
(2) 甲的射击成绩比较稳定，理由：甲的射击成绩的平均数等于乙的平均数，说明两人的实力相当，但甲的射击成绩的方差小于乙的方差，说明甲的射击成绩的离散程度小，射击水平比较稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，重点考查平均数、方差的计算方法以及方差的实际意义，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键，计算时注意统计各数据出现的次数可以简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
7. 某校举办“校园歌手”演唱比赛，五位评委给甲、乙、丙三位参赛选手打分数据整理成下列统计图.
（1）计算甲、乙、丙三位选手得分的平均数和方差；
（2）若从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由.
（1）计算甲、乙、丙三位选手得分的平均数和方差；
（2）若从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由.
答案
7. (1) 由甲得分的折线统计图知,甲得分排序后为:10,9,9,8,8,得分的平均数为8.8,方差为0.56;由乙得分的条形统计图知,乙得分排序后为:10,9,9,9,7,得分的平均数为8.8,方差为0.96;由丙得分的扇形统计图知,丙得分排序后为:8,8,8,10,10,得分的平均数为8.8,方差为0.96
(2) 选甲更合适.理由如下:因为甲、乙、丙三人平均成绩一样,说明三人实力相当,但是甲的方差最小,说明甲的成绩更稳定,所以选甲
(2) 选甲更合适.理由如下:因为甲、乙、丙三人平均成绩一样,说明三人实力相当,但是甲的方差最小,说明甲的成绩更稳定,所以选甲
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先分别从三类统计图中提取甲、乙、丙三位选手的所有得分数据；2. 根据平均数公式“平均数=所有数据之和÷数据个数”分别计算三人得分的平均数；3. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$为平均数，n为数据个数）分别计算三人得分的方差；4. 第二问先比较三人的平均数，若平均数相同，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，据此选择合适的选手。
【解析】
（1）①计算甲的平均数和方差：
从折线统计图得甲的5个得分：8，10，8，9，9
平均数$\bar{x}_甲=\frac{8+10+8+9+9}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(8-8.8)^2+(10-8.8)^2+(8-8.8)^2+(9-8.8)^2+(9-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.64+1.44+0.64+0.04+0.04]=\frac{2.8}{5}=0.56$
②计算乙的平均数和方差：
从条形统计图得乙的5个得分：7，9，9，10，9
平均数$\bar{x}_乙=\frac{7+9+9+10+9}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(7-8.8)^2+3×(9-8.8)^2+(10-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[3.24+3×0.04+1.44]=\frac{4.8}{5}=0.96$
③计算丙的平均数和方差：
从扇形统计图得：打8分的评委人数为$5×60\%=3$人，打10分的评委人数为$5×40\%=2$人，即丙的5个得分：8，8，8，10，10
平均数$\bar{x}_丙=\frac{3×8+2×10}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_丙=\frac{1}{5}[3×(8-8.8)^2+2×(10-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[3×0.64+2×1.44]=\frac{4.8}{5}=0.96$
（2）选手选择理由：
甲、乙、丙三人的平均得分均为8.8，说明三人平均实力相当；甲的方差0.56小于乙和丙的方差0.96，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此选甲更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为8.8，方差为0.56；乙的平均数为8.8，方差为0.96；丙的平均数为8.8，方差为0.96；
(2) 选甲更合适，理由：三人平均成绩相同，甲的方差最小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合折线统计图、条形统计图、扇形统计图三类常见统计图表，考查统计量的计算与实际应用，解题关键是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的特性，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先分别从三类统计图中提取甲、乙、丙三位选手的所有得分数据；2. 根据平均数公式“平均数=所有数据之和÷数据个数”分别计算三人得分的平均数；3. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$为平均数，n为数据个数）分别计算三人得分的方差；4. 第二问先比较三人的平均数，若平均数相同，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，据此选择合适的选手。
【解析】
（1）①计算甲的平均数和方差：
从折线统计图得甲的5个得分：8，10，8，9，9
平均数$\bar{x}_甲=\frac{8+10+8+9+9}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(8-8.8)^2+(10-8.8)^2+(8-8.8)^2+(9-8.8)^2+(9-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.64+1.44+0.64+0.04+0.04]=\frac{2.8}{5}=0.56$
②计算乙的平均数和方差：
从条形统计图得乙的5个得分：7，9，9，10，9
平均数$\bar{x}_乙=\frac{7+9+9+10+9}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(7-8.8)^2+3×(9-8.8)^2+(10-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[3.24+3×0.04+1.44]=\frac{4.8}{5}=0.96$
③计算丙的平均数和方差：
从扇形统计图得：打8分的评委人数为$5×60\%=3$人，打10分的评委人数为$5×40\%=2$人，即丙的5个得分：8，8，8，10，10
平均数$\bar{x}_丙=\frac{3×8+2×10}{5}=\frac{44}{5}=8.8$
方差$s^2_丙=\frac{1}{5}[3×(8-8.8)^2+2×(10-8.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[3×0.64+2×1.44]=\frac{4.8}{5}=0.96$
（2）选手选择理由：
甲、乙、丙三人的平均得分均为8.8，说明三人平均实力相当；甲的方差0.56小于乙和丙的方差0.96，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此选甲更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为8.8，方差为0.56；乙的平均数为8.8，方差为0.96；丙的平均数为8.8，方差为0.96；
(2) 选甲更合适，理由：三人平均成绩相同，甲的方差最小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题结合折线统计图、条形统计图、扇形统计图三类常见统计图表，考查统计量的计算与实际应用，解题关键是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的特性，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
