登录
2. 关于“组内离差平方和”与数据分组的关系，下列说法正确的是 （
A.当组内离差平方和达到最大时，分组较为合理
B.当数据分组后，一定要满足每组离差平方和最小，才能使分组较为合理
C.若两组数据的组内离差平方和相等，则两组数据的离散程度一定完全相同
D.组内离差平方和越小，说明该组内数据越集中，数据间的差异越小
D
）A.当组内离差平方和达到最大时，分组较为合理
B.当数据分组后，一定要满足每组离差平方和最小，才能使分组较为合理
C.若两组数据的组内离差平方和相等，则两组数据的离散程度一定完全相同
D.组内离差平方和越小，说明该组内数据越集中，数据间的差异越小
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确组内离差平方和的核心意义：它是衡量组内数据离散程度的统计量，数值越小代表组内数据越集中、差异越小。其次结合统计分组的基本原则（组内差异尽可能小、组间差异尽可能大），逐一辨析每个选项的表述是否严谨、是否符合概念本质，尤其要注意表述绝对化的选项大概率存在错误。
【解析】
组内离差平方和用于反映一组数据内部偏离组平均数的总程度，数值越小说明组内数据的离散程度越低、数据越集中。
选项A：分组合理的要求是组内数据差异尽可能小，对应组内离差平方和尽可能小，而非最大，因此A错误。
选项B：分组合理性是从整体出发，要求组内离差平方和整体较小、组间离差平方和较大，不需要满足“每组离差平方和最小”的绝对要求，表述过于绝对，因此B错误。
选项C：组内离差平方和的大小还和组内数据的数量、组平均数有关，两组离差平方和相等时，离散程度不一定完全相同，因此C错误。
选项D：组内离差平方和越小，说明组内数据偏离平均数的总程度越小，数据越集中，数据间差异越小，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
离差平方和的含义；数据离散程度判断；统计分组原则
【点评】
本题侧重对统计基础概念的考查，需要准确把握离差平方和反映数据离散程度的本质，同时注意辨析选项中的绝对化表述，结合统计的基本逻辑就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确组内离差平方和的核心意义：它是衡量组内数据离散程度的统计量，数值越小代表组内数据越集中、差异越小。其次结合统计分组的基本原则（组内差异尽可能小、组间差异尽可能大），逐一辨析每个选项的表述是否严谨、是否符合概念本质，尤其要注意表述绝对化的选项大概率存在错误。
【解析】
组内离差平方和用于反映一组数据内部偏离组平均数的总程度，数值越小说明组内数据的离散程度越低、数据越集中。
选项A：分组合理的要求是组内数据差异尽可能小，对应组内离差平方和尽可能小，而非最大，因此A错误。
选项B：分组合理性是从整体出发，要求组内离差平方和整体较小、组间离差平方和较大，不需要满足“每组离差平方和最小”的绝对要求，表述过于绝对，因此B错误。
选项C：组内离差平方和的大小还和组内数据的数量、组平均数有关，两组离差平方和相等时，离散程度不一定完全相同，因此C错误。
选项D：组内离差平方和越小，说明组内数据偏离平均数的总程度越小，数据越集中，数据间差异越小，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
离差平方和的含义；数据离散程度判断；统计分组原则
【点评】
本题侧重对统计基础概念的考查，需要准确把握离差平方和反映数据离散程度的本质，同时注意辨析选项中的绝对化表述，结合统计的基本逻辑就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
3. 将5个数据2,4,−1,5,3分成两组{−1,5}和{2,3,4},则这种分组下的组内离差平方和为
20
.答案
3. 20
解析
【分析】
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：组内离差平方和是每组内各数据与本组平均数的差的平方之和，最终结果为两个小组的离差平方和的总和。解题分三步进行：①分别计算两个小组各自的平均数；②分别计算两个小组的离差平方和；③将两组的离差平方和相加得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组$\{-1,5\}$的相关数据
第一组的平均数：$\overline{x_1}=\frac{-1+5}{2}=2$
第一组的离差平方和：$(-1-2)^2+(5-2)^2=(-3)^2+3^2=9+9=18$
2. 计算第二组$\{2,3,4\}$的相关数据
第二组的平均数：$\overline{x_2}=\frac{2+3+4}{3}=3$
第二组的离差平方和：$(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
3. 计算总的组内离差平方和
总组内离差平方和$=18+2=20$
【答案】
20
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对组内离差平方和计算规则的理解，只要掌握“先求组平均数，再算组内差的平方和，最后求和”的步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：组内离差平方和是每组内各数据与本组平均数的差的平方之和，最终结果为两个小组的离差平方和的总和。解题分三步进行：①分别计算两个小组各自的平均数；②分别计算两个小组的离差平方和；③将两组的离差平方和相加得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组$\{-1,5\}$的相关数据
第一组的平均数：$\overline{x_1}=\frac{-1+5}{2}=2$
第一组的离差平方和：$(-1-2)^2+(5-2)^2=(-3)^2+3^2=9+9=18$
2. 计算第二组$\{2,3,4\}$的相关数据
第二组的平均数：$\overline{x_2}=\frac{2+3+4}{3}=3$
第二组的离差平方和：$(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
3. 计算总的组内离差平方和
总组内离差平方和$=18+2=20$
【答案】
20
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对组内离差平方和计算规则的理解，只要掌握“先求组平均数，再算组内差的平方和，最后求和”的步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 现有数据:6,1,8,4,3,x(x为整数,且1＜x＜8,x≠3,4,6),按“组内离差平方和最小”标准分为2组(每组3个数据).已知最优分组的组内离差平方和为10,且其中一组为{1,3,x},则x的值为
2
.答案
4. 2
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先确定另一组的固定数据，已知一组为{1,3,x}，总共有6个数据，每组3个，因此另一组为{4,6,8}；第二步，先计算固定组{4,6,8}的组内离差平方和，再用题目给出的总离差平方和10减去该值，即可得到{1,3,x}这组的离差平方和；第三步，根据离差平方和的计算公式列关于x的方程，求解后结合x的取值范围验证即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 6个数据分为2组，每组3个，其中一组为{1,3,x}，
∴ 另一组固定为{4,6,8}。
先计算{4,6,8}的组内离差平方和：
该组平均数$\bar{x_1}=\frac{4+6+8}{3}=6$，
离差平方和$S_1^2=(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2=4+0+4=8$。
∵ 两组总离差平方和为10，
∴ {1,3,x}的组内离差平方和$S_2^2=10-8=2$。
{1,3,x}的平均数为$\bar{x_2}=\frac{1+3+x}{3}=\frac{x+4}{3}$，根据离差平方和公式列方程：
$(1-\frac{x+4}{3})^2 + (3-\frac{x+4}{3})^2 + (x-\frac{x+4}{3})^2 = 2$
通分化简得：
$\frac{(-x-1)^2 + (5-x)^2 + (2x-4)^2}{9}=2$
展开分子整理：
$x^2+2x+1 + x^2-10x+25 + 4x^2-16x+16 = 18$
$6x^2-24x+24=0$
即$x^2-4x+4=0$，解得$x=2$。
验证：已知$1＜x＜8$且$x≠3,4,6$，x=2符合取值要求。
【答案】
2
【知识点】
离差平方和计算，一元二次方程解法，数据的离散程度
【点评】
本题核心考查离差平方和概念的应用，解题关键是先求出固定组的离差平方和，减少未知量后列方程求解，最后要注意结合题目给出的x的限制条件验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，先确定另一组的固定数据，已知一组为{1,3,x}，总共有6个数据，每组3个，因此另一组为{4,6,8}；第二步，先计算固定组{4,6,8}的组内离差平方和，再用题目给出的总离差平方和10减去该值，即可得到{1,3,x}这组的离差平方和；第三步，根据离差平方和的计算公式列关于x的方程，求解后结合x的取值范围验证即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 6个数据分为2组，每组3个，其中一组为{1,3,x}，
∴ 另一组固定为{4,6,8}。
先计算{4,6,8}的组内离差平方和：
该组平均数$\bar{x_1}=\frac{4+6+8}{3}=6$，
离差平方和$S_1^2=(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2=4+0+4=8$。
∵ 两组总离差平方和为10，
∴ {1,3,x}的组内离差平方和$S_2^2=10-8=2$。
{1,3,x}的平均数为$\bar{x_2}=\frac{1+3+x}{3}=\frac{x+4}{3}$，根据离差平方和公式列方程：
$(1-\frac{x+4}{3})^2 + (3-\frac{x+4}{3})^2 + (x-\frac{x+4}{3})^2 = 2$
通分化简得：
$\frac{(-x-1)^2 + (5-x)^2 + (2x-4)^2}{9}=2$
展开分子整理：
$x^2+2x+1 + x^2-10x+25 + 4x^2-16x+16 = 18$
$6x^2-24x+24=0$
即$x^2-4x+4=0$，解得$x=2$。
验证：已知$1＜x＜8$且$x≠3,4,6$，x=2符合取值要求。
【答案】
2
【知识点】
离差平方和计算，一元二次方程解法，数据的离散程度
【点评】
本题核心考查离差平方和概念的应用，解题关键是先求出固定组的离差平方和，减少未知量后列方程求解，最后要注意结合题目给出的x的限制条件验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
5. 某水果收购商收购了市场上的7种柑橘，每种柑橘随机抽取 10 kg 检测糖度（糖度越高口感越好，市场售价越高），检测结果如下：
为了制定差异化收购价，收购商计划将这7种柑橘分为2组（每组至少3种），分组标准为“组内离差平方和最小”，即每组内柑橘糖度尽可能相近，避免同一组内糖度差异过大导致定价混乱.请确定最优分组方案.
为了制定差异化收购价，收购商计划将这7种柑橘分为2组（每组至少3种），分组标准为“组内离差平方和最小”，即每组内柑橘糖度尽可能相近，避免同一组内糖度差异过大导致定价混乱.请确定最优分组方案.
答案
5. 将这些数据分成2组,共有2类可能的分组.类别1:组1:3种(4.8,5.4,6.3),组2:4种(7.3,8,8.1,10).组1的平均数为5.5,离差平方和为1.14;组2的平均数为8.35,离差平方和为4.01;组内离差平方和为5.15.类别2:组1:4种(4.8,5.4,6.3,7.3),组2:3种(8,8.1,10).组1的平均数为6.05,离差平方和为3.61;组2的平均数为8.7,离差平方和为2.54;组内离差平方和为6.15.因为5.15＜6.15,所以类别1的组内离差平方和最小,依据数据对应的序号,分组方案为{①,②,③}{④,⑤,⑥,⑦}
解析
【分析】
首先明确分组要求：7种柑橘分为2组且每组至少3种，因此只能是3种一组、4种一组的组合形式。已知给出的糖度数据已按从小到大排序，要满足“组内离差平方和最小”即组内糖度尽可能接近，分组必然是连续划分，因此仅存在两种合理分组方案：方案1为前3个为一组、后4个为一组，方案2为前4个为一组、后3个为一组。接下来只需分别计算两种方案的总组内离差平方和，选择总和更小的方案即可。
【解析】
步骤1：确定所有可行的分组方案
因为每组至少3种，$7=3+4$，因此只有两类分组方式：
类别1：组1含①②③（对应糖度4.8,5.4,6.3），组2含④⑤⑥⑦（对应糖度7.3,8,8.1,10）
类别2：组1含①②③④（对应糖度4.8,5.4,6.3,7.3），组2含⑤⑥⑦（对应糖度8,8.1,10）
步骤2：计算类别1的总组内离差平方和
组1平均数：$\bar{x}_1=\frac{4.8+5.4+6.3}{3}=5.5$
组1离差平方和：$S_1=(4.8-5.5)^2+(5.4-5.5)^2+(6.3-5.5)^2=0.49+0.01+0.64=1.14$
组2平均数：$\bar{x}_2=\frac{7.3+8+8.1+10}{4}=8.35$
组2离差平方和：$S_2=(7.3-8.35)^2+(8-8.35)^2+(8.1-8.35)^2+(10-8.35)^2=1.1025+0.1225+0.0625+2.7225=4.01$
总离差平方和：$S_{总1}=1.14+4.01=5.15$
步骤3：计算类别2的总组内离差平方和
组1平均数：$\bar{x}_3=6.05$
组1离差平方和：$S_3=(4.8-6.05)^2+(5.4-6.05)^2+(6.3-6.05)^2+(7.3-6.05)^2=3.61$
组2平均数：$\bar{x}_4=\frac{8+8.1+10}{3}=8.7$
组2离差平方和：$S_4=(8-8.7)^2+(8.1-8.7)^2+(10-8.7)^2=0.49+0.36+1.69=2.54$
总离差平方和：$S_{总2}=3.61+2.54=6.15$
步骤4：比较选择最优方案
因为$5.15＜6.15$，类别1的分组总离差平方和更小，为最优方案。
【答案】
最优分组方案为$\{①,②,③\}$和$\{④,⑤,⑥,⑦\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据的离散程度
3. 平均数计算
【点评】
本题结合实际商业决策场景，将离散程度相关知识应用到实际问题解决中，需要先结合约束条件筛选出合理的分组方案，再通过计算对比得到最优结果，能够有效考察学生的知识应用能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
首先明确分组要求：7种柑橘分为2组且每组至少3种，因此只能是3种一组、4种一组的组合形式。已知给出的糖度数据已按从小到大排序，要满足“组内离差平方和最小”即组内糖度尽可能接近，分组必然是连续划分，因此仅存在两种合理分组方案：方案1为前3个为一组、后4个为一组，方案2为前4个为一组、后3个为一组。接下来只需分别计算两种方案的总组内离差平方和，选择总和更小的方案即可。
【解析】
步骤1：确定所有可行的分组方案
因为每组至少3种，$7=3+4$，因此只有两类分组方式：
类别1：组1含①②③（对应糖度4.8,5.4,6.3），组2含④⑤⑥⑦（对应糖度7.3,8,8.1,10）
类别2：组1含①②③④（对应糖度4.8,5.4,6.3,7.3），组2含⑤⑥⑦（对应糖度8,8.1,10）
步骤2：计算类别1的总组内离差平方和
组1平均数：$\bar{x}_1=\frac{4.8+5.4+6.3}{3}=5.5$
组1离差平方和：$S_1=(4.8-5.5)^2+(5.4-5.5)^2+(6.3-5.5)^2=0.49+0.01+0.64=1.14$
组2平均数：$\bar{x}_2=\frac{7.3+8+8.1+10}{4}=8.35$
组2离差平方和：$S_2=(7.3-8.35)^2+(8-8.35)^2+(8.1-8.35)^2+(10-8.35)^2=1.1025+0.1225+0.0625+2.7225=4.01$
总离差平方和：$S_{总1}=1.14+4.01=5.15$
步骤3：计算类别2的总组内离差平方和
组1平均数：$\bar{x}_3=6.05$
组1离差平方和：$S_3=(4.8-6.05)^2+(5.4-6.05)^2+(6.3-6.05)^2+(7.3-6.05)^2=3.61$
组2平均数：$\bar{x}_4=\frac{8+8.1+10}{3}=8.7$
组2离差平方和：$S_4=(8-8.7)^2+(8.1-8.7)^2+(10-8.7)^2=0.49+0.36+1.69=2.54$
总离差平方和：$S_{总2}=3.61+2.54=6.15$
步骤4：比较选择最优方案
因为$5.15＜6.15$，类别1的分组总离差平方和更小，为最优方案。
【答案】
最优分组方案为$\{①,②,③\}$和$\{④,⑤,⑥,⑦\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算
2. 数据的离散程度
3. 平均数计算
【点评】
本题结合实际商业决策场景，将离散程度相关知识应用到实际问题解决中，需要先结合约束条件筛选出合理的分组方案，再通过计算对比得到最优结果，能够有效考察学生的知识应用能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
6. 某校根据音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名学生进行艺术测评与分析，下面是对九年级(1)班抽测到的10名学生的测评分值数据的整理、分析过程：
九年级(1)班10名学生的测评分值分组统计表
分组数据统计量分析表
根据以上信息，解答下面问题：
(1) 将表格补充完整；
(2) 为保证辅导互动性及统一教学难度，请你根据以上信息，选择一种利于分层学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
九年级(1)班10名学生的测评分值分组统计表
分组数据统计量分析表
根据以上信息，解答下面问题：
(1) 将表格补充完整；
(2) 为保证辅导互动性及统一教学难度，请你根据以上信息，选择一种利于分层学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
答案
6. (1) 如下表：
| 分组方式 | 组别 | 平均数 | 离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 方式一 | 甲组 | 88 | 230 | 360 |
| 方式一 | 乙组 | 88 | 130 | |
| 方式二 | 甲组 | 83 | 30 | 110 |
| 方式二 | 乙组 | 93 | 80 | |
(2) 方式二利于开展小组学习.理由如下:由(1)知,方式二的组内离差平方和小于方式一,更利于开展分层小组学习,保证辅导互动性及统一教学难度,促进同学间的互帮互助、共同进步
| 分组方式 | 组别 | 平均数 | 离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 方式一 | 甲组 | 88 | 230 | 360 |
| 方式一 | 乙组 | 88 | 130 | |
| 方式二 | 甲组 | 83 | 30 | 110 |
| 方式二 | 乙组 | 93 | 80 | |
(2) 方式二利于开展小组学习.理由如下:由(1)知,方式二的组内离差平方和小于方式一,更利于开展分层小组学习,保证辅导互动性及统一教学难度,促进同学间的互帮互助、共同进步
解析
【分析】
（1）补全表格首先要明确组内离差平方和的计算规则：同一种分组方式的组内离差平方和等于该分组下所有组的离差平方和之和，因此用总组内离差平方和减去已知组的离差平方和，就能求出未知组的离差平方和。
（2）选择分层学习分组方式的思路：分层学习要求同组内学生水平接近，组内成绩离散程度越小，越适合统一教学难度、开展互动辅导。离差平方和是衡量数据离散程度的统计量，离差平方和越小，说明组内数据波动越小、成员水平越接近，因此只需对比两种分组方式的组内离差平方和，选择数值更小的分组即可。
【解析】
（1）根据组内离差平方和的计算规则计算：
方式一的组内离差平方和为360，甲组离差平方和为230，因此乙组离差平方和为$360-230=130$；
方式二的组内离差平方和为110，甲组离差平方和为30，因此乙组离差平方和为$110-30=80$。
补全表格如下：
| 分组方式 | 组别 | 平均数 | 离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 方式一 | 甲组 | 88 | 230 | 360 |
| 方式一 | 乙组 | 88 | 130 | |
| 方式二 | 甲组 | 83 | 30 | 110 |
| 方式二 | 乙组 | 93 | 80 | |
（2）选择分组方式时，优先选择组内离差平方和更小的分组：
离差平方和越小，组内数据离散程度越小，同组学生成绩水平越接近。方式二的组内离差平方和110小于方式一的组内离差平方和360，因此方式二更符合分层学习的需求。
【答案】
(1) 补全后的表格如上所示；
(2) 选择方式二利于开展小组学习，理由：方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展分层小组学习，保证辅导互动性及统一教学难度，促进同学间的互帮互助、共同进步。
【知识点】
离差平方和；数据的离散程度；统计量的实际应用
【点评】
本题结合分层教学的实际场景，考查了数据离散程度相关统计量的理解与应用，要求学生正确理解离差平方和的意义，能结合实际需求选择合适的统计方案，侧重考察知识的迁移和实际运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）补全表格首先要明确组内离差平方和的计算规则：同一种分组方式的组内离差平方和等于该分组下所有组的离差平方和之和，因此用总组内离差平方和减去已知组的离差平方和，就能求出未知组的离差平方和。
（2）选择分层学习分组方式的思路：分层学习要求同组内学生水平接近，组内成绩离散程度越小，越适合统一教学难度、开展互动辅导。离差平方和是衡量数据离散程度的统计量，离差平方和越小，说明组内数据波动越小、成员水平越接近，因此只需对比两种分组方式的组内离差平方和，选择数值更小的分组即可。
【解析】
（1）根据组内离差平方和的计算规则计算：
方式一的组内离差平方和为360，甲组离差平方和为230，因此乙组离差平方和为$360-230=130$；
方式二的组内离差平方和为110，甲组离差平方和为30，因此乙组离差平方和为$110-30=80$。
补全表格如下：
| 分组方式 | 组别 | 平均数 | 离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 方式一 | 甲组 | 88 | 230 | 360 |
| 方式一 | 乙组 | 88 | 130 | |
| 方式二 | 甲组 | 83 | 30 | 110 |
| 方式二 | 乙组 | 93 | 80 | |
（2）选择分组方式时，优先选择组内离差平方和更小的分组：
离差平方和越小，组内数据离散程度越小，同组学生成绩水平越接近。方式二的组内离差平方和110小于方式一的组内离差平方和360，因此方式二更符合分层学习的需求。
【答案】
(1) 补全后的表格如上所示；
(2) 选择方式二利于开展小组学习，理由：方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展分层小组学习，保证辅导互动性及统一教学难度，促进同学间的互帮互助、共同进步。
【知识点】
离差平方和；数据的离散程度；统计量的实际应用
【点评】
本题结合分层教学的实际场景，考查了数据离散程度相关统计量的理解与应用，要求学生正确理解离差平方和的意义，能结合实际需求选择合适的统计方案，侧重考察知识的迁移和实际运用能力。
【难度系数】
0.7
