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7. 某快递公司统计了一周内7个不同区域A,B,C,D,E,F,G的快递平均配送时长分别为(单位:h):1,4,6,9,11,13,15.为优化配送资源分配,公司计划将这些区域分为3个时效组(每组至少2个区域),为针对不同时效组制定差异化的配送方案,要求每组内区域的配送时长差异尽可能小,请依据该标准,确定最优的分组方案,并简要说明分组思路.
答案
7. ① 组1:1,4,组2:6,9,11,组3:13,15.组1平均数为2.5,离差平方和为4.5.组2平均数为$\frac{26}{3}$,离差平方和为$\frac{14}{3}$.组3平均数为14,离差平方和为2.组内离差平方和为$\frac{67}{6}$
② 组1:1,4,6,组2:9,11,组3:13,15.组1平均数为$\frac{11}{3}$,离差平方和为10.组2平均数为10,离差平方和为2.组3平均数为14,离差平方和为2.组内离差平方和为14
③ 组1:1,4,组2:6,9,组3:11,13,15.组1平均数为2.5,离差平方和为4.5.组2平均数为7.5,离差平方和为4.5.组3平均数为13,离差平方和8.组内离差平方和17.因为$\frac{67}{6}＜14＜17$,所以最优分组为组1:1,4,组2:6,9,11,组3:13,15,分组方案为{A,B} {C,D,E} {F,G}
② 组1:1,4,6,组2:9,11,组3:13,15.组1平均数为$\frac{11}{3}$,离差平方和为10.组2平均数为10,离差平方和为2.组3平均数为14,离差平方和为2.组内离差平方和为14
③ 组1:1,4,组2:6,9,组3:11,13,15.组1平均数为2.5,离差平方和为4.5.组2平均数为7.5,离差平方和为4.5.组3平均数为13,离差平方和8.组内离差平方和17.因为$\frac{67}{6}＜14＜17$,所以最优分组为组1:1,4,组2:6,9,11,组3:13,15,分组方案为{A,B} {C,D,E} {F,G}
解析
【分析】
要使每组内区域配送时长差异尽可能小，本质是让所有组的离差平方和总和最小（离差平方和越小，组内数据波动越小、差异越小）。解题思路如下：第一步，先确定分组规模：7个区域分3组且每组至少2个，仅存在2、2、3这一种分组人数组合（2+2+3=7）；第二步，由于将排序后相邻的数据分为一组能最大程度降低组内差异，本题配送时长已经从小到大排序，因此只需列举所有相邻分组的3种可能情况；第三步，分别计算每种分组的总离差平方和，选择总离差平方和最小的方案即为最优分组。
【解析】
已知7个区域配送时长从小到大排序为：1,4,6,9,11,13,15，对应区域依次为A、B、C、D、E、F、G，所有符合要求的相邻分组共3种，分别计算如下：
① 分组为：[1,4]、[6,9,11]、[13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=\frac{1+4}{2}=2.5$，离差平方和$S_1=(1-2.5)^2+(4-2.5)^2=4.5$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{6+9+11}{3}=\frac{26}{3}$，离差平方和$S_2=(6-\frac{26}{3})^2+(9-\frac{26}{3})^2+(11-\frac{26}{3})^2=\frac{14}{3}$
组3平均数$\bar{x_3}=\frac{13+15}{2}=14$，离差平方和$S_3=(13-14)^2+(15-14)^2=2$
总离差平方和$S_总=4.5+\frac{14}{3}+2=\frac{67}{6}$
② 分组为：[1,4,6]、[9,11]、[13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=\frac{1+4+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和$S_1=(1-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=10$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{9+11}{2}=10$，离差平方和$S_2=(9-10)^2+(11-10)^2=2$
组3平均数$\bar{x_3}=14$，离差平方和$S_3=2$
总离差平方和$S_总=10+2+2=14$
③ 分组为：[1,4]、[6,9]、[11,13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=2.5$，离差平方和$S_1=4.5$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{6+9}{2}=7.5$，离差平方和$S_2=(6-7.5)^2+(9-7.5)^2=4.5$
组3平均数$\bar{x_3}=\frac{11+13+15}{3}=13$，离差平方和$S_3=(11-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2=8$
总离差平方和$S_总=4.5+4.5+8=17$
比较得$\frac{67}{6}＜14＜17$，因此第一种分组为最优分组，对应区域分组为{A,B}、{C,D,E}、{F,G}。
【答案】
最优分组方案为：组1{A,B}，组2{C,D,E}，组3{F,G}。
【知识点】
数据的离散程度；离差平方和计算；统计方案优化
【点评】
本题结合快递资源分配的实际场景，考查对数据离散程度的理解与运用，解题时需要先明确合理的分组形式，再通过计算离差平方和比较得到最优方案，能够锻炼学生运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要使每组内区域配送时长差异尽可能小，本质是让所有组的离差平方和总和最小（离差平方和越小，组内数据波动越小、差异越小）。解题思路如下：第一步，先确定分组规模：7个区域分3组且每组至少2个，仅存在2、2、3这一种分组人数组合（2+2+3=7）；第二步，由于将排序后相邻的数据分为一组能最大程度降低组内差异，本题配送时长已经从小到大排序，因此只需列举所有相邻分组的3种可能情况；第三步，分别计算每种分组的总离差平方和，选择总离差平方和最小的方案即为最优分组。
【解析】
已知7个区域配送时长从小到大排序为：1,4,6,9,11,13,15，对应区域依次为A、B、C、D、E、F、G，所有符合要求的相邻分组共3种，分别计算如下：
① 分组为：[1,4]、[6,9,11]、[13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=\frac{1+4}{2}=2.5$，离差平方和$S_1=(1-2.5)^2+(4-2.5)^2=4.5$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{6+9+11}{3}=\frac{26}{3}$，离差平方和$S_2=(6-\frac{26}{3})^2+(9-\frac{26}{3})^2+(11-\frac{26}{3})^2=\frac{14}{3}$
组3平均数$\bar{x_3}=\frac{13+15}{2}=14$，离差平方和$S_3=(13-14)^2+(15-14)^2=2$
总离差平方和$S_总=4.5+\frac{14}{3}+2=\frac{67}{6}$
② 分组为：[1,4,6]、[9,11]、[13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=\frac{1+4+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和$S_1=(1-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=10$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{9+11}{2}=10$，离差平方和$S_2=(9-10)^2+(11-10)^2=2$
组3平均数$\bar{x_3}=14$，离差平方和$S_3=2$
总离差平方和$S_总=10+2+2=14$
③ 分组为：[1,4]、[6,9]、[11,13,15]
组1平均数$\bar{x_1}=2.5$，离差平方和$S_1=4.5$
组2平均数$\bar{x_2}=\frac{6+9}{2}=7.5$，离差平方和$S_2=(6-7.5)^2+(9-7.5)^2=4.5$
组3平均数$\bar{x_3}=\frac{11+13+15}{3}=13$，离差平方和$S_3=(11-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2=8$
总离差平方和$S_总=4.5+4.5+8=17$
比较得$\frac{67}{6}＜14＜17$，因此第一种分组为最优分组，对应区域分组为{A,B}、{C,D,E}、{F,G}。
【答案】
最优分组方案为：组1{A,B}，组2{C,D,E}，组3{F,G}。
【知识点】
数据的离散程度；离差平方和计算；统计方案优化
【点评】
本题结合快递资源分配的实际场景，考查对数据离散程度的理解与运用，解题时需要先明确合理的分组形式，再通过计算离差平方和比较得到最优方案，能够锻炼学生运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
