例1 某市为了解初中生每日平均体育锻炼时间，从全市12所初中各随机抽取一个班级进行调查，得到各班级的平均锻炼时间及班级人数如下：
学校编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
班级人数/人 42 45 40 48 46 44 47 41 45 44 46
平均时间/min 75 82 78 85 76 80 79 84 77 81 78 83
请利用这些数据估计该市初中生每日平均体育锻炼时间(结果精确到0.1 min)。

总人数:42+45+40+48+43+46+44+47+41+45+44+46=531 人,全市平均时间:$\overline{x}=75×\frac{42}{531}+82×\frac{45}{531}+78×\frac{40}{531}+85×\frac{48}{531}+76×\frac{43}{531}+80×\frac{46}{531}+79×\frac{44}{531}+84×\frac{47}{531}+77×\frac{41}{531}+81×\frac{45}{531}+78×\frac{44}{531}+83×\frac{46}{531}≈79.97≈80.0(\mathrm{min}).$答:估计该市初中生每日平均体育锻炼时间为 80.0 min

【分析】
要估计全市初中生每日平均体育锻炼时间，由于抽取的12个班级人数不同，每个班级的平均锻炼时间对总体平均水平的影响程度不同，因此不能直接计算12个平均时间的算术平均数，需要以各班人数为权重计算加权平均数：先求出抽查的总人数，再求出所有抽查学生的锻炼总时长，用总时长除以总人数得到样本平均锻炼时间，即可用这个样本平均数估计全市初中生的平均锻炼时间。
【解析】
第一步：计算抽取的12个班级的总人数：
$42+45+40+48+43+46+44+47+41+45+44+46=531$（人）
第二步：计算加权平均数，即抽查学生的平均锻炼时间：
$\overline{x}=75×\frac{42}{531}+82×\frac{45}{531}+78×\frac{40}{531}+85×\frac{48}{531}+76×\frac{43}{531}+80×\frac{46}{531}+79×\frac{44}{531}+84×\frac{47}{531}+77×\frac{41}{531}+81×\frac{45}{531}+78×\frac{44}{531}+83×\frac{46}{531}\approx79.97\approx80.0(\mathrm{min})$
【答案】
估计该市初中生每日平均体育锻炼时间为80.0 min
【知识点】
加权平均数计算；用样本估计总体
【点评】
本题考查平均数的实际应用，解题核心是明确加权平均数和算术平均数的适用场景，当各组数据的权重不同时，必须使用加权平均数计算，避免直接对12个班级的平均时间求算术平均的典型错误。
【难度系数】
0.7

例2 某市环保部门为了解全市居民小区的垃圾分类实施情况，采用分布式调查方法，在五个行政区各选取若干小区进行调查.调查数据如下表：

（1）如果要以小区数量为权重，估计全市垃圾分类平均正确率（结果精确到0.1%）；
（2）如果要以居民户数为权重，估计全市垃圾分类平均正确率（结果精确到0.1%）；
（3）比较两种计算结果，并说明哪种权重更合理.

(1) 85.7%
(2) 84.1%
(3) 比较与说明:以户数为权重的结果更为合理,因为垃圾分类的最终实施主体是每一户居民,而不是每一个小区.以户数为权重能更准确地反映全市居民整体的垃圾分类正确率,避免了“小区规模差异”对结果的影响

【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：
1. 第（1）问以小区数量为权重计算平均正确率：使用加权平均数公式，将各行政区的垃圾分类正确率乘以对应调查小区数求和，再除以总调查小区数，即可得到结果。
2. 第（2）问以居民户数为权重计算平均正确率：此时权重为各行政区的平均小区户数，将各行政区正确率乘以对应平均小区户数求和，再除以平均小区户数总和，计算得到结果。
3. 第（3）问结合实际分析权重合理性：垃圾分类的实施主体是居民，结合这一实际情况判断哪种权重更能反映真实的整体正确率即可。
【解析】
（1）以小区数量为权重计算：
总调查小区数：$8+6+10+7+9=40$（个）
加权总得分：$8×85\% +6×78\% +10×92\% +7×81\% +9×88\% =34.27$
平均正确率：$34.27÷40\approx85.7\%$
（2）以居民户数为权重计算：
平均小区户数总和：$120+150+100+130+110=610$（户）
加权总得分：$85\%×120 +78\%×150 +92\%×100 +81\%×130 +88\%×110=513.1$
平均正确率：$513.1÷610\approx84.1\%$
（3）比较与说明：两种计算结果存在差异，以户数为权重的结果更为合理。因为垃圾分类的最终实施主体是每一户居民，而不是每一个小区，以户数为权重能更准确地反映全市居民整体的垃圾分类正确率，避免了“小区规模差异”对结果的影响。
【答案】
(1) $\boxed{85.7\%}$
(2) $\boxed{84.1\%}$
(3) 以户数为权重的结果更为合理，因为垃圾分类的最终实施主体是每一户居民，而不是每一个小区，以户数为权重能更准确地反映全市居民整体的垃圾分类正确率，避免了“小区规模差异”对结果的影响。
【知识点】
加权平均数计算；权重的选择；统计的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查加权平均数的相关知识，既要求掌握加权平均数的计算方法，也要求能结合实际情况分析统计结果的合理性，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7