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例1 如图3.1.3，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为$\overset{\frown}{AC}$上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长。
图3.1.3
图3.1.3
答案
连接OD.
∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥OA,
∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°.
∴四边形DEOF是矩形.
∴EF=OD.
∵半圆O的直径AB=8,
∴OD=OA=4.
∴EF=OA=4
解析
【分析】
要求EF的长度，直接计算EF缺乏对应条件，可利用转化思想求解：首先观察四边形DEOF的内角特征，已知OC⊥AB、DE⊥OC、DF⊥OA，可得到该四边形有三个内角为直角，符合矩形的判定条件；再根据矩形对角线相等的性质，可知EF与矩形的另一条对角线OD长度相等，而OD是半圆的半径，结合已知的直径AB的长度即可求出半径，进而得到EF的长度。
【解析】
连接OD，
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF=OD，
∵半圆O的直径AB=8，
∴OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EF=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的判定与性质，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用转化思想，通过连接辅助线OD，将未知的EF转化为圆的半径OD，解题时需要熟练掌握矩形的判定、性质以及圆的基本概念，这类题目是后续圆与四边形结合题型的基础。
【难度系数】
0.8
要求EF的长度，直接计算EF缺乏对应条件，可利用转化思想求解：首先观察四边形DEOF的内角特征，已知OC⊥AB、DE⊥OC、DF⊥OA，可得到该四边形有三个内角为直角，符合矩形的判定条件；再根据矩形对角线相等的性质，可知EF与矩形的另一条对角线OD长度相等，而OD是半圆的半径，结合已知的直径AB的长度即可求出半径，进而得到EF的长度。
【解析】
连接OD，
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF=OD，
∵半圆O的直径AB=8，
∴OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EF=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的判定与性质，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用转化思想，通过连接辅助线OD，将未知的EF转化为圆的半径OD，解题时需要熟练掌握矩形的判定、性质以及圆的基本概念，这类题目是后续圆与四边形结合题型的基础。
【难度系数】
0.8
例2 如图 3.1.4,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点.求证:
(1) $∠ AOC=∠ BOD$；
(2) $AC=BD$.
(1) $∠ AOC=∠ BOD$；
(2) $AC=BD$.
答案
(1) 如图,过O作OE⊥AB,垂足为E.
∵A,B为大⊙O上的两点,C,D为小⊙O上的两点,
∴OA=OB,OC=OD.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=∠BOE,∠COE=∠DOE.
∴∠AOE−∠COE=∠BOE−∠DOE,即∠AOC=∠BOD
(2)
∵OE⊥AB,且OA=OB,OC=OD,
∴AE=BE,CE=DE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD
解析
【分析】
要证明两个圆心角相等和两条线段相等，首先结合同心圆的特征可知同圆半径相等，即$OA=OB$、$OC=OD$，$△ OAB$和$△ OCD$均为等腰三角形。针对弦的相关证明，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，既可以利用等腰三角形三线合一的性质得到角的等量关系，也可以利用垂径定理得到线段的等量关系：第一步作$OE⊥ AB$后，先由等腰三角形三线合一得$∠ AOE=∠ BOE$、$∠ COE=∠ DOE$，通过角的差即可证得$∠ AOC=∠ BOD$；第二步再由垂径定理得$AE=BE$、$CE=DE$，通过线段的差即可证得$AC=BD$。
【解析】
(1) 过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$。
$\because A$、$B$是大圆$\odot O$上的点，$C$、$D$是小圆$\odot O$上的点，
$\therefore OA=OB$，$OC=OD$（同圆的半径相等）。
$\because OE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AOE=∠ BOE$，$∠ COE=∠ DOE$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ AOE-∠ COE=∠ BOE-∠ DOE$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
(2) $\because OE⊥ AB$，$OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore AE=BE$，$CE=DE$（垂直于弦的直径平分弦），
$\therefore AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
【答案】
(1) 如图,过O作OE⊥AB,垂足为E.
∵A,B为大⊙O上的两点,C,D为小⊙O上的两点,
∴OA=OB,OC=OD.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=∠BOE,∠COE=∠DOE.
∴∠AOE−∠COE=∠BOE−∠DOE,即∠AOC=∠BOD
(2)
∵OE⊥AB,且OA=OB,OC=OD,
∴AE=BE,CE=DE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，同心圆半径相等
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查圆中弦相关问题的常用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，结合等腰三角形性质和垂径定理即可快速求解，需熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.8
要证明两个圆心角相等和两条线段相等，首先结合同心圆的特征可知同圆半径相等，即$OA=OB$、$OC=OD$，$△ OAB$和$△ OCD$均为等腰三角形。针对弦的相关证明，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，既可以利用等腰三角形三线合一的性质得到角的等量关系，也可以利用垂径定理得到线段的等量关系：第一步作$OE⊥ AB$后，先由等腰三角形三线合一得$∠ AOE=∠ BOE$、$∠ COE=∠ DOE$，通过角的差即可证得$∠ AOC=∠ BOD$；第二步再由垂径定理得$AE=BE$、$CE=DE$，通过线段的差即可证得$AC=BD$。
【解析】
(1) 过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$。
$\because A$、$B$是大圆$\odot O$上的点，$C$、$D$是小圆$\odot O$上的点，
$\therefore OA=OB$，$OC=OD$（同圆的半径相等）。
$\because OE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AOE=∠ BOE$，$∠ COE=∠ DOE$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ AOE-∠ COE=∠ BOE-∠ DOE$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
(2) $\because OE⊥ AB$，$OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore AE=BE$，$CE=DE$（垂直于弦的直径平分弦），
$\therefore AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
【答案】
(1) 如图,过O作OE⊥AB,垂足为E.
∵A,B为大⊙O上的两点,C,D为小⊙O上的两点,
∴OA=OB,OC=OD.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=∠BOE,∠COE=∠DOE.
∴∠AOE−∠COE=∠BOE−∠DOE,即∠AOC=∠BOD
(2)
∵OE⊥AB,且OA=OB,OC=OD,
∴AE=BE,CE=DE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，同心圆半径相等
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查圆中弦相关问题的常用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，结合等腰三角形性质和垂径定理即可快速求解，需熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.8
1. 如图，点B在线段AC上，以线段AB，BC为直径作圆，圆心分别为$O_1$，$O_2$，$AC=10$，则$O_1O_2$长度为（
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
C
）A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先结合圆的基本性质，直径的中点为圆心，可得$O_1$是AB的中点、$O_2$是BC的中点；接下来分析$O_1O_2$的组成，它等于$O_1B$与$BO_2$的和，而$O_1B$是AB的一半、$BO_2$是BC的一半，所以$O_1O_2$可转化为AB与BC和的一半；最后结合$AB+BC=AC$，代入已知AC的长度即可求出结果。
【解析】
∵ 以AB为直径的圆的圆心为$O_1$，
∴ $O_1$是AB的中点，即$O_1B=\frac{1}{2}AB$。
同理，以BC为直径的圆的圆心为$O_2$，
∴ $O_2$是BC的中点，即$BO_2=\frac{1}{2}BC$。
观察线段$O_1O_2$可得：$O_1O_2 = O_1B + BO_2$，
代入上述结论得：
$O_1O_2=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+BC)$。
又
∵ 点B在线段AC上，
∴ $AB+BC=AC=10$，
∴ $O_1O_2=\frac{1}{2}×10=5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，线段中点性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用圆心与直径的关系得到两个中点，再通过线段和差的转化将未知线段长度与已知线段长度关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合圆的基本性质，直径的中点为圆心，可得$O_1$是AB的中点、$O_2$是BC的中点；接下来分析$O_1O_2$的组成，它等于$O_1B$与$BO_2$的和，而$O_1B$是AB的一半、$BO_2$是BC的一半，所以$O_1O_2$可转化为AB与BC和的一半；最后结合$AB+BC=AC$，代入已知AC的长度即可求出结果。
【解析】
∵ 以AB为直径的圆的圆心为$O_1$，
∴ $O_1$是AB的中点，即$O_1B=\frac{1}{2}AB$。
同理，以BC为直径的圆的圆心为$O_2$，
∴ $O_2$是BC的中点，即$BO_2=\frac{1}{2}BC$。
观察线段$O_1O_2$可得：$O_1O_2 = O_1B + BO_2$，
代入上述结论得：
$O_1O_2=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+BC)$。
又
∵ 点B在线段AC上，
∴ $AB+BC=AC=10$，
∴ $O_1O_2=\frac{1}{2}×10=5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念，线段中点性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用圆心与直径的关系得到两个中点，再通过线段和差的转化将未知线段长度与已知线段长度关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，已知$△ ABC$.小明按下列步骤作图：
① 以A为圆心，BC的长为半径作弧；
② 以C为圆心，AB的长为半径作弧，与前弧在直线AC的同侧交于点D；
③ 连接AD，CD，得到四边形ABCD.
下列结论错误的是 （
A.$BC// AD$
B.$AB=CD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$∠ ABC=∠ CDA$
① 以A为圆心，BC的长为半径作弧；
② 以C为圆心，AB的长为半径作弧，与前弧在直线AC的同侧交于点D；
③ 连接AD，CD，得到四边形ABCD.
下列结论错误的是 （
C
）A.$BC// AD$
B.$AB=CD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$∠ ABC=∠ CDA$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先从已知的作图步骤中提取边的等量关系：$AB=CD$、$BC=AD$，依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形$ABCD$为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一判断各选项的正误，即可选出错误结论。
【解析】
由作图步骤可知：$AB=CD$，$BC=AD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
$BC// AD$，故A选项结论正确，不符合题意；
$AB=CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
$∠ ABC=∠ CDA$，故D选项结论正确，不符合题意；
仅当平行四边形$ABCD$为菱形（即$AB=BC$）时，$∠ BAC=∠ DAC$才成立，普通平行四边形无法推出该结论，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；尺规作图的应用
【点评】
本题将尺规作图和平行四边形的知识相结合，解题的关键是根据作图条件判断出四边形的形状，再利用平行四边形的性质分析选项，核心考查对平行四边形判定和性质的掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的作图步骤中提取边的等量关系：$AB=CD$、$BC=AD$，依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形$ABCD$为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一判断各选项的正误，即可选出错误结论。
【解析】
由作图步骤可知：$AB=CD$，$BC=AD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
$BC// AD$，故A选项结论正确，不符合题意；
$AB=CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
$∠ ABC=∠ CDA$，故D选项结论正确，不符合题意；
仅当平行四边形$ABCD$为菱形（即$AB=BC$）时，$∠ BAC=∠ DAC$才成立，普通平行四边形无法推出该结论，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；尺规作图的应用
【点评】
本题将尺规作图和平行四边形的知识相结合，解题的关键是根据作图条件判断出四边形的形状，再利用平行四边形的性质分析选项，核心考查对平行四边形判定和性质的掌握。
【难度系数】
0.8
