5. 如图,在△ABC中,∠BCA=90°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.若∠A=25°,求∠DCE的度数.

5. $\because ∠ BCA=90°,∠ A=25°,\therefore ∠ B=90°-∠ A=65°.\because CB=CD,\therefore ∠ CDB=∠ B=65°.\because ∠ CDB=∠ DCE+∠ A,\therefore ∠ DCE=65°-25°=40°$

【分析】
要计算∠DCE的度数，可按以下思路推导：首先在Rt△ABC中，已知∠A和直角∠BCA，利用直角三角形两锐角互余可先求出∠B的度数；其次CD、CB都是⊙C的半径，二者相等，因此△CBD是等腰三角形，根据等边对等角可得∠CDB与∠B相等；最后∠CDB是△ACD的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A，即可求出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵∠BCA=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-∠A=65°，
∵CB、CD均为⊙C的半径，
∴CB=CD，
∴∠CDB=∠B=65°，
又
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠DCE+∠A，
∴∠DCE=∠CDB-∠A=65°-25°=40°
【答案】
40°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，等腰三角形等边对等角，三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将圆的基本概念和三角形角度计算结合考查，解题核心是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再结合角度关系运算即可，掌握基础性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7

6. 已知线段PQ的长度为4.
（1）画出下列图形：① 到点P的距离为2的点的集合；② 到点Q的距离为3的点的集合.
（2）在所画的图中，到点P的距离等于2，且到点Q的距离等于3的点有几个？请在图中将它们表示出来.

6. (1) ① 到点P的距离等于2的点的集合图中$\odot P$;② 到点Q的距离等于3的点的集合图中$\odot Q$ (2) 到点P的距离等于2,且到点Q的距离等于3的点有2个,即图中的点C,D

【分析】
解题时先回忆圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心、定长为半径的圆，据此可解决第（1）问。第（2）问中，同时满足到P距离为2、到Q距离为3的点是两个圆的公共点，只需根据两圆的圆心距、半径的数量关系判断两圆的位置关系，即可得到公共点的个数。
【解析】
（1）①根据圆的定义，到点P的距离为2的点的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，记作$\odot P$；
②同理，到点Q的距离为3的点的集合是以点Q为圆心，3为半径的圆，记作$\odot Q$。
（2）同时满足到点P的距离等于2、到点Q的距离等于3的点是$\odot P$和$\odot Q$的公共点。
已知PQ=4，$\odot P$的半径r=2，$\odot Q$的半径R=3，可得$R-r=1＜4＜R+r=5$，因此两圆相交，共有2个公共点，即图中的点C和点D。
【答案】
(1) ① 到点P的距离等于2的点的集合为图中$\odot P$;② 到点Q的距离等于3的点的集合为图中$\odot Q$
(2) 到点P的距离等于2,且到点Q的距离等于3的点有2个,即图中的点C,D
【知识点】
圆的定义；两圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础作图与概念应用题，解题核心是理解圆的集合定义，能通过圆心距和两圆半径的大小关系判断两圆的交点个数，加深对圆的基本性质的理解。
【难度系数】
0.8

7. 如图是某款手机后置摄像头模组.其中大圆的半径为$ r $，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间.
(1) 请用含$ r $的式子表示图中阴影部分的面积；
(2) 当$ r=2 \ \mathrm{cm} $时，求图中阴影部分的面积.

7. (1) 阴影部分的面积为 $π r^2-π×(\frac{1}{2}r)^2-π×(\frac{1}{5}r)^2×4=\frac{59}{100}π r^2$ (2) 当$r=2\ \mathrm{cm}$,原式$=\frac{59}{100}×π×2^2=\frac{59}{25}π(\mathrm{cm}^2)$

【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“大面积减空白面积”的思路求解。首先明确阴影部分是大圆面积减去中间空白小圆面积，再减去4个高清镜头的空白小圆面积。第一步先确定各圆的半径：大圆半径为$r$，中间小圆半径为$\frac{1}{2}r$，每个小镜头的半径为$\frac{1}{5}r$，分别计算各部分面积后按关系列式化简，即可得到含$r$的表达式；第二问直接将$r=2$代入第一问得到的表达式计算即可。
【解析】
(1) 分别计算各部分圆的面积：
大圆面积：$S_{\mathrm{大圆}}=π r^2$
中间空白小圆的面积：$S_{\mathrm{中间小圆}}=π×(\frac{1}{2}r)^2$
4个高清镜头的总面积：$S_{\mathrm{4个小镜头}}=4×π×(\frac{1}{5}r)^2$
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π r^2-π×(\frac{1}{2}r)^2-4×π×(\frac{1}{5}r)^2\\&=π r^2-\frac{1}{4}π r^2-\frac{4}{25}π r^2\\&=(1-\frac{25}{100}-\frac{16}{100})π r^2\\&=\frac{59}{100}π r^2\end{aligned}$
(2) 当$r=2\ \mathrm{cm}$时，代入上述表达式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{59}{100}×π×2^2\\&=\frac{59}{100}×4π\\&=\frac{59}{25}π\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{59}{100}π r^2$；(2) $\frac{59}{25}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算，不规则图形面积求解，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景命题，解题关键是掌握用割补法求阴影面积的思路，准确识别各圆的半径，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图，一只羊被4 m长的绳子拴在边长为2 m的正方形封闭围墙(围墙外均为草地)的一个顶点上.
（1）画出这只羊的可活动范围(用阴影部分表示)；
（2）这只羊活动范围的最大面积是 m².

8. (1) 如图 (2) $14π$

【分析】
第（1）问解题思路：首先明确羊的活动受正方形围墙限制，绳子长4m，拴在正方形的一个顶点上。首先没有被围墙遮挡的区域是圆心角为$360°-90°=270°$、半径4m的扇形；当绳子沿着正方形的两条相邻边拉直后，剩余绳长为$4-2=2\mathrm{m}$，此时羊可分别以这两条边的另外两个端点为圆心，剩余绳长为半径，各转动$90°$（剩余角度被正方形边遮挡），即两个圆心角$90°$、半径2m的扇形，三部分共同构成羊的活动范围。
第（2）问解题思路：利用扇形面积公式$S=\frac{n}{360°}π r^2$（n为圆心角度数，r为扇形半径），分别计算三部分扇形的面积后求和，即可得到活动范围的总面积。
【解析】
（1）羊的可活动范围由三部分扇形组成：①以拴羊的正方形顶点为圆心，4m为半径，圆心角为$270°$的扇形；②分别以与拴羊点相邻的两个正方形顶点为圆心，2m为半径，圆心角各为$90°$的两个扇形，阴影部分如图所示：
（2）分步计算各部分面积：
①半径4m、圆心角$270°$的扇形面积：
$S_1=\frac{270°}{360°}×π×4^2=\frac{3}{4}×16π=12π$
②两个半径2m、圆心角$90°$的扇形面积之和：
$S_2=2×\frac{90°}{360°}×π×2^2=2×\frac{1}{4}×4π=2π$
活动范围总面积：$S=S_1+S_2=12π+2π=14π$
【答案】
(1)
(2) $14π$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形求面积，圆的相关概念
【点评】
本题结合生活场景考查图形面积的计算，解题核心是准确分析出羊的活动范围对应的扇形组成，避免漏算剩余绳长对应的小扇形面积，能有效锻炼空间想象能力和组合图形的分析能力。
【难度系数】
0.7