例2 已知如图3.1.2所示的图案.
（1）请仿照图3.1.2，用直尺和圆规画出这个图案.
（2）大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.若$AB=20\ \mathrm{dm}$，谁爬的路程长？请通过计算说明.

图3.1.2

(1) 图略 (2) 大圆的周长$l_1=20π$,两个小圆的周长和$l_2=(2× \frac{20}{2}π)=20π,\therefore l_1=l_2$,即大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长

【分析】
（1）画图思路：先观察图案构成：该图案由1个大圆和2个等大的小圆组成，两个小圆外切且均在大圆内部，两个小圆的直径之和等于大圆的直径，且2个小圆直径相等。因此画图时先确定大圆的直径AB，再将AB平均分为两段，分别作为两个小圆的直径，依次画出两个小圆和大圆即可。
（2）路程比较思路：蚂蚁爬行的路程就是对应圆的周长，因此分别计算大圆的周长、两个小圆的周长之和，再比较两个数值的大小即可判断谁爬的路程更长。计算时先根据AB的长度确定各圆的直径，再套用圆的周长公式计算即可。
【解析】
（1）画图步骤：
① 用直尺画线段AB；
② 找到AB的中点O，再分别找到线段AO的中点C、线段OB的中点D；
③ 以C为圆心、AC长为半径画圆，以D为圆心、BD长为半径画圆；
④ 以AB的中点O为圆心、OA长为半径画圆，即可得到题中所示图案。
（2）计算路程：
已知$AB=20\ \mathrm{dm}$，即大圆的直径为20dm。
根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为圆的直径）：
大圆的周长$l_1=π×20=20π\ \mathrm{dm}$；
观察图形可知两个小圆的直径相等，每个小圆的直径为$20÷2=10\ \mathrm{dm}$，
因此两个小圆的周长之和$l_2=π×10+π×10=20π\ \mathrm{dm}$。
可得$l_1=l_2$，即两只蚂蚁爬行的路程相等。
【答案】
（1）图略；
（2）大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长。
【知识点】
圆的周长计算，尺规作圆，线段中点
【点评】
本题结合实际情境，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了圆的周长公式的应用，通过计算可以得出规律：当多个小圆的直径之和等于大圆的直径时，这些小圆的周长之和等于大圆的周长，该规律在周长相关的简便计算中经常用到。
【难度系数】
0.8

1. 如图，在一张矩形纸片上画出了两个互不重叠且半径均为3 cm的圆，则这个矩形周长的最小值为 （）

A.18 cm
B.24 cm
C.36 cm
D.48 cm

1. C

【分析】
要得到矩形周长的最小值，需先确定矩形长和宽的最小值。已知两个圆为等圆，半径均为3cm，要让矩形最小，需使两个圆外切且均与矩形的边相切：矩形的宽等于圆的直径，矩形的长等于两个圆的直径之和，再代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：已知圆的半径$ r = 3\ \mathrm{cm} $，则圆的直径$ d = 2r = 6\ \mathrm{cm} $。
当矩形周长最小时，两个圆外切且均与矩形的边相切：
1. 矩形的宽等于圆的直径，即$ \mathrm{宽} = 6\ \mathrm{cm} $；
2. 矩形的长等于两个圆的直径之和，即$ \mathrm{长} = 2×6 = 12\ \mathrm{cm} $。
根据矩形周长公式$ C = 2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，代入得：
$ C = 2×(12 + 6) = 36\ \mathrm{cm} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，矩形周长计算，两圆外切的性质
【点评】
本题是几何基础题，结合了圆与矩形的性质，解题的关键是结合图形分析出矩形长、宽的最小值，考查了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.8

2.《周髀算经》里有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系。将图中的半圆弧形铁丝($\overset{\frown}{MN}$)向右水平拉直(保持M端不动)，根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是 ()

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

2. A

【分析】
解题时首先明确题意：将半圆铁丝拉直后的长度等于半圆弧长，结合“径一周三”的古率（即圆周率π取3）计算弧长，再根据数轴上点的位置判断最接近的点即可。第一步先确定半圆的直径，第二步代入半圆弧长公式计算长度，第三步对应数轴找最接近的点。
【解析】
1. 确定半圆直径：由图可知，半圆$\overset{\frown}{MN}$的直径长度为1。
2. 计算半圆弧长：根据“径一周三”的古率，取π≈3，圆的周长公式为$C=π d$，因此半圆弧长为圆周长的一半，即$l=\frac{1}{2}π d=\frac{1}{2}×3×1=1.5$。
3. 判断拉直后N端的位置：M端固定在数轴的0点，因此拉直后N端对应数轴上的数值为1.5，观察数轴，点A位于1和2之间，最接近1.5。
【答案】
A
【知识点】
圆的周长计算；数轴的应用
【点评】
本题结合古代数学成就“径一周三”考查圆周长的实际应用，解题核心是正确理解拉直后铁丝长度等于半圆弧长，再结合数轴判断对应点，既渗透了传统文化常识，也考查了基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图，A，B是$\odot O$上的两点，连接$OA$，$OB$，$AB$.若$\odot O$的半径为4 cm，$∠ AOB＝60°$，则$AB$的长为cm.

3. 4

【分析】
解题时首先结合圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，可得OA=OB，此时△OAB是等腰三角形，再结合已知∠AOB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，可推出△OAB是等边三角形，进而得到AB的长度等于半径长度。
【解析】
∵ OA、OB均为⊙O的半径，⊙O的半径为4cm，
∴ OA=OB=4cm，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的半径相等；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆的基本性质和等边三角形的判定，熟练掌握相关基础概念和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图,有一个只有短针和长针的时钟.
(1) 试画出端点 A,B 运动所形成的图形;
(2) 已知短针 OA 长 6 cm,长针 OB 长 8 cm,△OAB 随着时间的变化不停地改变形状,则△AOB 的最大面积为cm².

4. (1) 图略 (2) 24

【分析】
（1）首先观察时钟指针的运动规律：端点A、B在运动过程中，到定点O的距离始终分别等于OA、OB的长度，符合圆的定义，即可判断运动形成的图形。
（2）△OAB中，OA、OB的长度为定值，只有两边的夹角∠AOB随时间变化。三角形的面积等于底乘高除以2，若以OA为底，当OB与OA垂直时，点B到OA的距离最大（等于OB的长度），此时三角形面积最大，代入数值计算即可。
【解析】
（1）因为点A绕点O旋转时，到O的距离始终等于OA的长度，所以A运动形成的图形是以O为圆心、OA长为半径的圆；同理，B运动形成的图形是以O为圆心、OB长为半径的圆，两个为同心圆，按要求画出图形即可。
（2）当∠AOB=90°时，△OAB的面积最大，代入三角形面积公式计算：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）图略；（2）$\boxed{24}$
【知识点】
圆的定义；三角形面积计算；最值问题
【点评】
本题结合生活中常见的时钟设计问题，既考查了圆的基本概念，又考查了三角形面积最值的推导，难度适中，需要同学们掌握圆的形成条件，以及两边固定的三角形面积的变化规律。
【难度系数】
0.7