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3. ⊙O的半径是3 cm，P是圆O内一点，PO=1 cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是
2
cm，最大距离是4
cm.答案
3. 2,4
解析
【分析】
要解决圆内一点到圆上各点的距离最值问题，首先明确几何最值规律：圆内一点到圆上各点的最小、最大距离都在该点与圆心的连线所在直线上取得。若取圆上任意其他点，根据三角形三边关系，该点到P的距离一定介于最小和最大距离之间。后续只需结合半径长度和PO的长度计算即可，最小距离为半径减PO长度，最大距离为半径加PO长度。
【解析】
过点P和圆心O作直线，与⊙O交于两个点，记靠近P的交点为A，远离P的交点为B。
已知⊙O半径r=3cm，PO=1cm，
则点P到圆上点的最小距离为：$PA = OA - OP = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm}$；
点P到圆上点的最大距离为：$PB = OB + OP = 3 + 1 = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2，4
【知识点】
点与圆的位置关系，线段最值计算
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题关键是理解圆内点到圆上点的距离最值的位置规律，掌握半径的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决圆内一点到圆上各点的距离最值问题，首先明确几何最值规律：圆内一点到圆上各点的最小、最大距离都在该点与圆心的连线所在直线上取得。若取圆上任意其他点，根据三角形三边关系，该点到P的距离一定介于最小和最大距离之间。后续只需结合半径长度和PO的长度计算即可，最小距离为半径减PO长度，最大距离为半径加PO长度。
【解析】
过点P和圆心O作直线，与⊙O交于两个点，记靠近P的交点为A，远离P的交点为B。
已知⊙O半径r=3cm，PO=1cm，
则点P到圆上点的最小距离为：$PA = OA - OP = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm}$；
点P到圆上点的最大距离为：$PB = OB + OP = 3 + 1 = 4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2，4
【知识点】
点与圆的位置关系，线段最值计算
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题关键是理解圆内点到圆上点的距离最值的位置规律，掌握半径的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，OA，OB是$\odot O$的半径，C是$\odot O$上一点，$∠ AOB = 40°$，$∠ OBC = 50°$，则$∠ OAC =$ 
30
°。答案
4. 30
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径都相等的性质，得到△OBC和△OAC都是等腰三角形；首先根据已知的∠OBC的度数，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和，算出∠BOC的度数；再结合已知的∠AOB的度数求出∠AOC的度数；最后在等腰△OAC中，再次利用三角形内角和与等腰三角形性质即可求出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，
∴△OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+80°=120°，
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类角度计算题，核心是结合圆的半径相等的性质得到等腰三角形，再利用角度和差、三角形内角和计算即可，是圆的性质相关的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆的半径都相等的性质，得到△OBC和△OAC都是等腰三角形；首先根据已知的∠OBC的度数，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和，算出∠BOC的度数；再结合已知的∠AOB的度数求出∠AOC的度数；最后在等腰△OAC中，再次利用三角形内角和与等腰三角形性质即可求出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，
∴△OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+80°=120°，
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类角度计算题，核心是结合圆的半径相等的性质得到等腰三角形，再利用角度和差、三角形内角和计算即可，是圆的性质相关的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，点A，B，C是$\odot O$上的三点，BO平分$∠ ABC$.求证：$BA=BC$.
答案
5. 如图,连接OA,OC,
∵A,B,C是⊙O上的点,
∴OA=OB=OC.
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
∴∠BAO=∠BCO.
∴△OAB≌△OCB.
∴AB=BC
解析
【分析】
要证明BA=BC，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。已知BO平分∠ABC，且圆的半径均相等，因此我们可以连接OA、OC，构造△OAB和△OCB，借助等腰三角形的性质、角平分线的性质推导全等的条件，最终由全等三角形的性质得到边相等的结论。
【解析】
证明：连接OA，OC。
∵点A，B，C是⊙O上的三点，
∴OA、OB、OC均为⊙O的半径，即OA=OB=OC。
根据等边对等角的性质，可得∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO。
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∴等量代换得∠BAO=∠BCO。
在△OAB和△OCB中：
$\{\begin{array}{l}∠BAO=∠BCO \\∠ABO=∠CBO \\OB=OB\end{array} $
∴△OAB≌△OCB（AAS），
∴全等三角形对应边相等，即BA=BC。
【答案】
如图,连接OA,OC,
∵A,B,C是⊙O上的点,
∴OA=OB=OC.
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
∴∠BAO=∠BCO.
∴△OAB≌△OCB.
∴AB=BC
【知识点】
圆的半径相等；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的关键是正确连接半径构造全等三角形，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明BA=BC，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。已知BO平分∠ABC，且圆的半径均相等，因此我们可以连接OA、OC，构造△OAB和△OCB，借助等腰三角形的性质、角平分线的性质推导全等的条件，最终由全等三角形的性质得到边相等的结论。
【解析】
证明：连接OA，OC。
∵点A，B，C是⊙O上的三点，
∴OA、OB、OC均为⊙O的半径，即OA=OB=OC。
根据等边对等角的性质，可得∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO。
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∴等量代换得∠BAO=∠BCO。
在△OAB和△OCB中：
$\{\begin{array}{l}∠BAO=∠BCO \\∠ABO=∠CBO \\OB=OB\end{array} $
∴△OAB≌△OCB（AAS），
∴全等三角形对应边相等，即BA=BC。
【答案】
如图,连接OA,OC,
∵A,B,C是⊙O上的点,
∴OA=OB=OC.
∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.
∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
∴∠BAO=∠BCO.
∴△OAB≌△OCB.
∴AB=BC
【知识点】
圆的半径相等；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的关键是正确连接半径构造全等三角形，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心的⊙O交AB于点C，D.AC与BD相等吗？为什么？
答案
6. AC=BD.提示:连接OC,OD,证得△OAC≌△OBD,于是AC=BD
解析
【分析】
要判断AC与BD是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先连接辅助线OC、OD，结合圆的性质可得OC=OD，再结合已知OA=OB，可推导得到两组对应角相等，进而证明△OAC与△OBD全等，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
AC=BD，理由如下：
连接OC、OD。
∵OC、OD均为⊙O的半径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴$180°-∠ OCD=180°-∠ ODC$，即$∠ OCA=∠ ODB$。
又
∵OA=OB，
∴$∠ A=∠ B$。
在△OAC和△OBD中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B\\∠ OCA=∠ ODB\\OC=OD\end{cases}$
∴△OAC≌△OBD（AAS），
∴AC=BD。
【答案】
AC=BD
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接圆的半径构造等腰三角形，结合全等三角形的相关性质证明线段相等，需熟练掌握这类常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
要判断AC与BD是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先连接辅助线OC、OD，结合圆的性质可得OC=OD，再结合已知OA=OB，可推导得到两组对应角相等，进而证明△OAC与△OBD全等，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
AC=BD，理由如下：
连接OC、OD。
∵OC、OD均为⊙O的半径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴$180°-∠ OCD=180°-∠ ODC$，即$∠ OCA=∠ ODB$。
又
∵OA=OB，
∴$∠ A=∠ B$。
在△OAC和△OBD中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B\\∠ OCA=∠ ODB\\OC=OD\end{cases}$
∴△OAC≌△OBD（AAS），
∴AC=BD。
【答案】
AC=BD
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接圆的半径构造等腰三角形，结合全等三角形的相关性质证明线段相等，需熟练掌握这类常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
7. 如图，点A，C在$\odot O$上.
（1）在图中画出：① 过点A作最长的弦AB；② 过点C作弦CD，使$CD ⊥ AB$，垂足为E.
（2）在（1）的条件下，弦$CD=8$，点A到CD的距离为8.求$\odot O$的半径.
（1）在图中画出：① 过点A作最长的弦AB；② 过点C作弦CD，使$CD ⊥ AB$，垂足为E.
（2）在（1）的条件下，弦$CD=8$，点A到CD的距离为8.求$\odot O$的半径.
答案
7. (1) 如图
(2) 连接OC,OD,求得⊙O的半径为5
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确：圆内最长的弦是直径，所以过点A和圆心O作直线与圆交于另一点B，即可得到最长弦AB；再过点C作AB的垂线，与圆交于另一点D，垂足为E，就得到符合要求的CD。
（2）第二问求圆的半径，优先考虑垂径定理和勾股定理结合求解：先根据垂径定理得到CD一半的长度，再设半径为r，用点A到CD的距离表示出圆心O到CD的距离OE，最后在直角三角形OCE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）① 连接AO并延长，交$\odot O$于点B，弦AB即为所求的过点A的最长弦；
② 过点C作$CD ⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D，弦CD即为所求。
（2）解：连接OC，设$\odot O$的半径为$r$。
∵ $AB ⊥ CD$，AB是$\odot O$的直径，$CD=8$，
由垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
∵ 点A到CD的距离为8，即$AE=8$，
∴ $OE=AE-AO=8-r$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$
代入数据：$r^2=(8-r)^2+4^2$
展开得：$r^2=64-16r+r^2+16$
整理得：$16r=80$
解得：$r=5$
【答案】
(1) 如图
(2) $\odot O$的半径为5
【知识点】
圆的基本概念；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考查圆中最长弦的性质、垂径定理的应用，结合勾股定理列方程求半径是圆中计算半径的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先要明确：圆内最长的弦是直径，所以过点A和圆心O作直线与圆交于另一点B，即可得到最长弦AB；再过点C作AB的垂线，与圆交于另一点D，垂足为E，就得到符合要求的CD。
（2）第二问求圆的半径，优先考虑垂径定理和勾股定理结合求解：先根据垂径定理得到CD一半的长度，再设半径为r，用点A到CD的距离表示出圆心O到CD的距离OE，最后在直角三角形OCE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）① 连接AO并延长，交$\odot O$于点B，弦AB即为所求的过点A的最长弦；
② 过点C作$CD ⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D，弦CD即为所求。
（2）解：连接OC，设$\odot O$的半径为$r$。
∵ $AB ⊥ CD$，AB是$\odot O$的直径，$CD=8$，
由垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=4$。
∵ 点A到CD的距离为8，即$AE=8$，
∴ $OE=AE-AO=8-r$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$
代入数据：$r^2=(8-r)^2+4^2$
展开得：$r^2=64-16r+r^2+16$
整理得：$16r=80$
解得：$r=5$
【答案】
(1) 如图
(2) $\odot O$的半径为5
【知识点】
圆的基本概念；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考查圆中最长弦的性质、垂径定理的应用，结合勾股定理列方程求半径是圆中计算半径的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕.若连接OB，则∠BOC的度数是
150
°.答案
8. 150
解析
【分析】
解决本题首先要结合折叠的性质分析出圆心O到弦AB的距离与半径的关系：折叠前后图形的对应边、对应距离相等，因此两次折叠后圆心O到AB的距离等于半径的一半。接下来通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出角的度数，再结合平行线的性质和邻补角的定义即可求出∠BOC的度数。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB。
由折叠的性质可知，$OE=\frac{1}{2}OB$。
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，$OE=\frac{1}{2}OB$，
∴ ∠OBE = 30°。
由折叠的折痕特征可得AB//CD，
∴ ∠BOD = ∠OBE = 30°，
∵ ∠BOC + ∠BOD = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题将折叠变换与圆的相关知识结合，解题的关键是根据折叠的性质得到线段的数量关系，再通过构造直角三角形求解角度，能较好地考查学生对几何变换和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要结合折叠的性质分析出圆心O到弦AB的距离与半径的关系：折叠前后图形的对应边、对应距离相等，因此两次折叠后圆心O到AB的距离等于半径的一半。接下来通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出角的度数，再结合平行线的性质和邻补角的定义即可求出∠BOC的度数。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB。
由折叠的性质可知，$OE=\frac{1}{2}OB$。
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，$OE=\frac{1}{2}OB$，
∴ ∠OBE = 30°。
由折叠的折痕特征可得AB//CD，
∴ ∠BOD = ∠OBE = 30°，
∵ ∠BOC + ∠BOD = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题将折叠变换与圆的相关知识结合，解题的关键是根据折叠的性质得到线段的数量关系，再通过构造直角三角形求解角度，能较好地考查学生对几何变换和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
