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例1 （1）在如图3.2.1所示的方格纸中，每个小方格的边长为1，点A，B，C均为格点.请只用无刻度直尺找出△ABC的外心O，其外接圆半径长为
（2）如图3.2.2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆，并标记圆心P.
√10
；（2）如图3.2.2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆，并标记圆心P.
答案
（1）如图①所示，点O即为所求
，外接圆半径为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$（2）如图②所示，$\odot P$即为所求
解析
【分析】
（1）要找△ABC的外心，首先回忆外心定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。在方格纸中可借助格点特性，分别作出AB、BC两条边的垂直平分线，交点即为外心O；外接圆半径是外心到任意顶点的距离，用勾股定理计算即可。
（2）要补全弧所在的圆，根据“弦的垂直平分线过圆心”的性质，在弧上选取两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心P，再以P为圆心、P到弧上任意一点的长度为半径画圆即可。
【解析】
（1）①结合方格的格点特征，画出AB边的垂直平分线；BC为水平线段，其垂直平分线是过BC中点的竖直线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
②计算外接圆半径：以OB为例，横向距离为1个单位长度，纵向距离为3个单位长度，由勾股定理可得$r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
（2）①在已知弧上取点A、B、C，连接弦AB、BC；
②用尺规分别作出AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心P；
③以P为圆心，PA的长度为半径作圆，即可补全完整的圆。
【答案】
（1）点O位置如图所示，外接圆半径为$\sqrt{10}$；
（2）补全的$\odot P$如图所示。
【知识点】
三角形外心的定义；勾股定理；尺规作圆
【点评】
本题围绕确定圆的条件展开，考查了外心的性质、垂直平分线的应用以及基本尺规作图技能，解题核心是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”的性质，结合图形特征操作即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要找△ABC的外心，首先回忆外心定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。在方格纸中可借助格点特性，分别作出AB、BC两条边的垂直平分线，交点即为外心O；外接圆半径是外心到任意顶点的距离，用勾股定理计算即可。
（2）要补全弧所在的圆，根据“弦的垂直平分线过圆心”的性质，在弧上选取两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心P，再以P为圆心、P到弧上任意一点的长度为半径画圆即可。
【解析】
（1）①结合方格的格点特征，画出AB边的垂直平分线；BC为水平线段，其垂直平分线是过BC中点的竖直线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
②计算外接圆半径：以OB为例，横向距离为1个单位长度，纵向距离为3个单位长度，由勾股定理可得$r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
（2）①在已知弧上取点A、B、C，连接弦AB、BC；
②用尺规分别作出AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心P；
③以P为圆心，PA的长度为半径作圆，即可补全完整的圆。
【答案】
（1）点O位置如图
所示，外接圆半径为$\sqrt{10}$；（2）补全的$\odot P$如图
所示。【知识点】
三角形外心的定义；勾股定理；尺规作圆
【点评】
本题围绕确定圆的条件展开，考查了外心的性质、垂直平分线的应用以及基本尺规作图技能，解题核心是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”的性质，结合图形特征操作即可求解。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.2.3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
(1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；
(2)△ABC的外接圆半径为
(1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；
(2)△ABC的外接圆半径为
$\dfrac{25}{8}$
.答案
（1）图略
（2）如图，作$AD ⊥ BC$，垂足为D，连接OB.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5$，$BD=\dfrac{1}{2}BC=3$，$\therefore AD=4$.设$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OB=x$，$OD=4-x$.在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得$OB^2=OD^2+BD^2$.$\therefore x^2=(4-x)^2+3^2$.解得$x=\dfrac{25}{8}$，即$\odot O$的半径为$\dfrac{25}{8}$
解析
【分析】
(1) 作三角形外接圆的核心是确定外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，因此只需作出任意两边的垂直平分线找到交点作为圆心，再以圆心到顶点的距离为半径画圆即可。
(2) △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，BC边上的高AD同时是BC的垂直平分线，因此外接圆圆心O在AD上。可先利用勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为x，将OD用含x的式子表示，最后在Rt△OBD中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 作法：①分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；②以O为圆心，OA的长为半径作圆，所得⊙O即为△ABC的外接圆，作图略。
(2) 过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设△ABC外接圆$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OB=x$，$OD=AD-OA=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△OBD$中，根据勾股定理可得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得：$x^2=(4-x)^2+3^2$，
展开整理：$x^2=16-8x+x^2+9$，
消去$x^2$得：$8x=25$，解得$x=\dfrac{25}{8}$。
【答案】
（1）图略
（2）$\dfrac{25}{8}$
【知识点】
外接圆的作法，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形的特点考查三角形外接圆的作图与半径计算，解题的关键是明确外心在三角形边的垂直平分线上，可将几何问题转化为方程求解，是圆相关基础知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
(1) 作三角形外接圆的核心是确定外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，因此只需作出任意两边的垂直平分线找到交点作为圆心，再以圆心到顶点的距离为半径画圆即可。
(2) △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，BC边上的高AD同时是BC的垂直平分线，因此外接圆圆心O在AD上。可先利用勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为x，将OD用含x的式子表示，最后在Rt△OBD中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 作法：①分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；②以O为圆心，OA的长为半径作圆，所得⊙O即为△ABC的外接圆，作图略。
(2) 过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设△ABC外接圆$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OB=x$，$OD=AD-OA=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△OBD$中，根据勾股定理可得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得：$x^2=(4-x)^2+3^2$，
展开整理：$x^2=16-8x+x^2+9$，
消去$x^2$得：$8x=25$，解得$x=\dfrac{25}{8}$。
【答案】
（1）图略
（2）$\dfrac{25}{8}$
【知识点】
外接圆的作法，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形的特点考查三角形外接圆的作图与半径计算，解题的关键是明确外心在三角形边的垂直平分线上，可将几何问题转化为方程求解，是圆相关基础知识点的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
例3 如图3.2.4，已知$△ ABC$内接于$\odot O$，且$AB=AC$.
（1）请仅用无刻度的直尺找出$BC$的中点$F$，并说明理由.
图3.2.3
图3.2.4
（2）如图3.2.5，$BD$，$CE$分别是$△ ABC$的高，求证：$B$，$C$，$D$，$E$四点在同一个圆上.
图3.2.5
（1）请仅用无刻度的直尺找出$BC$的中点$F$，并说明理由.
图3.2.3
图3.2.4
（2）如图3.2.5，$BD$，$CE$分别是$△ ABC$的高，求证：$B$，$C$，$D$，$E$四点在同一个圆上.
图3.2.5
答案
（1）如图，作直线AO交BC于点F，则点F就是所求的BC的中点.理由:连接OB,OC,则OB=OC.又$\because AB=AC$,$\therefore$点A,O在BC的垂直平分线上,即AO垂直平分BC.$\therefore BF=CF$,即F是BC的中点
（2）连接EF,DF.$\because BD,CE$是$△ ABC$的高,$\therefore BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,即$∠ BDC=∠ CEB=90°$.又$\because F$是BC的中点,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}BC$,$DF=\dfrac{1}{2}BC$.又$\because BF=CF=\dfrac{1}{2}BC$,$\therefore BF=CF=EF=DF$.$\therefore B,C,D,E$四点都在以BC为直径的圆上,即B,C,D,E四点在同一个圆上.
解析
【分析】
（1）要找BC的中点，已知AB=AC，说明点A在BC的垂直平分线上；O是△ABC外接圆的圆心，OB=OC，因此点O也在BC的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，过A、O作直线，该直线就是BC的垂直平分线，与BC的交点即为BC的中点F。
（2）要证明B、C、D、E四点共圆，只需证明四点到同一个定点的距离相等。由BD、CE是三角形的高可得△BDC和△BEC都是直角三角形，结合（1）中得到的F是BC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证得B、C、D、E四点到点F的距离都等于BC长度的一半，即可证明四点共圆。
【解析】
（1）作法：作直线AO，交BC于点F，点F即为BC的中点。
理由：连接OB、OC，
∵O是⊙O的圆心，
∴OB=OC，
又
∵AB=AC，
∴点A、点O都在BC的垂直平分线上，即直线AO是BC的垂直平分线，
∴AO与BC的交点F满足BF=CF，即F是BC的中点。
（2）证明：连接EF、DF，
∵BD、CE分别是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，即∠BDC=∠CEB=90°，
∴△BDC和△BEC都是直角三角形，
又
∵F是BC的中点，
∴在Rt△BDC中，$DF=\dfrac{1}{2}BC$，在Rt△BEC中，$EF=\dfrac{1}{2}BC$，
又
∵$BF=CF=\dfrac{1}{2}BC$，
∴BF=CF=EF=DF，
∴B、C、D、E四点都在以F为圆心、$\dfrac{1}{2}BC$为半径的圆上，即四点在同一个圆上。
【答案】
（1）如图，作直线AO交BC于点F，则点F就是所求的BC的中点.理由:连接OB,OC,则OB=OC.又$\because AB=AC$,$\therefore$点A,O在BC的垂直平分线上,即AO垂直平分BC.$\therefore BF=CF$,即F是BC的中点
（2）连接EF,DF.$\because BD,CE$是$△ ABC$的高,$\therefore BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,即$∠ BDC=∠ CEB=90°$.又$\because F$是BC的中点,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}BC$,$DF=\dfrac{1}{2}BC$.又$\because BF=CF=\dfrac{1}{2}BC$,$\therefore BF=CF=EF=DF$.$\therefore B,C,D,E$四点都在以BC为直径的圆上,即B,C,D,E四点在同一个圆上.
【知识点】
垂直平分线的判定；直角三角形斜边中线性质；四点共圆的判定
【点评】
本题围绕基础几何性质的综合应用展开，第一问考查无刻度直尺作图的逻辑推理能力，需要结合等腰三角形和外接圆圆心的性质找到BC的垂直平分线；第二问考查四点共圆的判定方法，借助直角三角形斜边中线的性质即可快速证明，难度适中，对基础性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
（1）要找BC的中点，已知AB=AC，说明点A在BC的垂直平分线上；O是△ABC外接圆的圆心，OB=OC，因此点O也在BC的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，过A、O作直线，该直线就是BC的垂直平分线，与BC的交点即为BC的中点F。
（2）要证明B、C、D、E四点共圆，只需证明四点到同一个定点的距离相等。由BD、CE是三角形的高可得△BDC和△BEC都是直角三角形，结合（1）中得到的F是BC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证得B、C、D、E四点到点F的距离都等于BC长度的一半，即可证明四点共圆。
【解析】
（1）作法：作直线AO，交BC于点F，点F即为BC的中点。
理由：连接OB、OC，
∵O是⊙O的圆心，
∴OB=OC，
又
∵AB=AC，
∴点A、点O都在BC的垂直平分线上，即直线AO是BC的垂直平分线，
∴AO与BC的交点F满足BF=CF，即F是BC的中点。
（2）证明：连接EF、DF，
∵BD、CE分别是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，即∠BDC=∠CEB=90°，
∴△BDC和△BEC都是直角三角形，
又
∵F是BC的中点，
∴在Rt△BDC中，$DF=\dfrac{1}{2}BC$，在Rt△BEC中，$EF=\dfrac{1}{2}BC$，
又
∵$BF=CF=\dfrac{1}{2}BC$，
∴BF=CF=EF=DF，
∴B、C、D、E四点都在以F为圆心、$\dfrac{1}{2}BC$为半径的圆上，即四点在同一个圆上。
【答案】
（1）如图，作直线AO交BC于点F，则点F就是所求的BC的中点.理由:连接OB,OC,则OB=OC.又$\because AB=AC$,$\therefore$点A,O在BC的垂直平分线上,即AO垂直平分BC.$\therefore BF=CF$,即F是BC的中点
（2）连接EF,DF.$\because BD,CE$是$△ ABC$的高,$\therefore BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,即$∠ BDC=∠ CEB=90°$.又$\because F$是BC的中点,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}BC$,$DF=\dfrac{1}{2}BC$.又$\because BF=CF=\dfrac{1}{2}BC$,$\therefore BF=CF=EF=DF$.$\therefore B,C,D,E$四点都在以BC为直径的圆上,即B,C,D,E四点在同一个圆上.
【知识点】
垂直平分线的判定；直角三角形斜边中线性质；四点共圆的判定
【点评】
本题围绕基础几何性质的综合应用展开，第一问考查无刻度直尺作图的逻辑推理能力，需要结合等腰三角形和外接圆圆心的性质找到BC的垂直平分线；第二问考查四点共圆的判定方法，借助直角三角形斜边中线的性质即可快速证明，难度适中，对基础性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
