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活动一:想一想 写一写
（1）“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么？
（2）上述命题的逆命题是真命题还是假命题？请加以证明.
（3）你还有不同的证明方法吗？
（1）“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么？
（2）上述命题的逆命题是真命题还是假命题？请加以证明.
（3）你还有不同的证明方法吗？
答案
(1) 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (2) 真命题,理由略 (3) 略
解析
【分析】
（1）找逆命题的核心是先拆分原命题的题设和结论，再将二者互换：原命题“等腰三角形的两底角相等”中，题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它的两个底角相等”，互换后即可得到逆命题。
（2）判断逆命题真假需要结合几何证明，要证“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，本质是证明三角形中两个等角所对的边相等，可通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质完成证明。
（3）不同证明方法的核心是更换合理的辅助线构造方式，只要能通过辅助线得到可判定全等的两个三角形即可，注意不能用SSA等无法判定全等的辅助线思路。
【解析】
（1）将原命题的题设和结论互换，可得逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（2）该逆命题是真命题，证明如下：
已知：在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，求证：$AB=AC$。
证明：过点$A$作$∠ BAC$的角平分线$AD$，交$BC$于点$D$，则$∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（AAS）
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，故逆命题为真命题。
（3）另一种证明方法：
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（AAS）
$\therefore AB=AC$，即可得证。
【答案】
(1) 有两个角相等的三角形是等腰三角形
(2) 真命题，理由略
(3) 略
【知识点】
逆命题的概念、等腰三角形的判定、全等三角形的应用
【点评】
本题围绕命题的互逆关系和等腰三角形判定展开，既考查了对命题结构的认知，又锻炼了几何证明中辅助线构造、全等三角形应用的能力，是等腰三角形模块的基础核心题，能帮助学生理清性质与判定的互逆逻辑。
【难度系数】
0.8
（1）找逆命题的核心是先拆分原命题的题设和结论，再将二者互换：原命题“等腰三角形的两底角相等”中，题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它的两个底角相等”，互换后即可得到逆命题。
（2）判断逆命题真假需要结合几何证明，要证“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，本质是证明三角形中两个等角所对的边相等，可通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质完成证明。
（3）不同证明方法的核心是更换合理的辅助线构造方式，只要能通过辅助线得到可判定全等的两个三角形即可，注意不能用SSA等无法判定全等的辅助线思路。
【解析】
（1）将原命题的题设和结论互换，可得逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（2）该逆命题是真命题，证明如下：
已知：在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，求证：$AB=AC$。
证明：过点$A$作$∠ BAC$的角平分线$AD$，交$BC$于点$D$，则$∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（AAS）
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，故逆命题为真命题。
（3）另一种证明方法：
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD$（AAS）
$\therefore AB=AC$，即可得证。
【答案】
(1) 有两个角相等的三角形是等腰三角形
(2) 真命题，理由略
(3) 略
【知识点】
逆命题的概念、等腰三角形的判定、全等三角形的应用
【点评】
本题围绕命题的互逆关系和等腰三角形判定展开，既考查了对命题结构的认知，又锻炼了几何证明中辅助线构造、全等三角形应用的能力，是等腰三角形模块的基础核心题，能帮助学生理清性质与判定的互逆逻辑。
【难度系数】
0.8
活动二:说一说 议一议
若将课本第44页的例2改为“在图1-45中，如果$AB=AC$，$AD$平分$∠ EAC$，那么$AD// BC$吗？”请你思考并解决这个问题。
若将课本第44页的例2改为“在图1-45中，如果$AB=AC$，$AD$平分$∠ EAC$，那么$AD// BC$吗？”请你思考并解决这个问题。
答案
证明：$AD// BC$，理由如下：
∵ $AD$ 平分 $∠ EAC$，
∴ $∠ EAD = \dfrac{1}{2}∠ EAC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
又∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$，
∴ $\dfrac{1}{2}∠ EAC = ∠ B$，
∴ $∠ EAD = ∠ B$，
∴ $AD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $AD$ 平分 $∠ EAC$，
∴ $∠ EAD = \dfrac{1}{2}∠ EAC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
又∵ $∠ EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠ EAC = ∠ B + ∠ C = 2∠ B$，
∴ $\dfrac{1}{2}∠ EAC = ∠ B$，
∴ $∠ EAD = ∠ B$，
∴ $AD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要判断AD与BC是否平行，需结合平行线的判定定理，寻找对应角相等或互补的关系。第一步，由已知AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C；第二步，由AD平分∠EAC，根据角平分线定义可得∠EAD=½∠EAC；第三步，结合三角形外角的性质，△ABC的外角∠EAC等于与它不相邻的两个内角和，即∠EAC=∠B+∠C，代入∠B=∠C可推出∠EAC=2∠B，进一步得到½∠EAC=∠B；第四步，通过等量代换得∠EAD=∠B，满足“同位角相等，两直线平行”的判定条件，即可得出结论。
【解析】
AD//BC，证明如下：
∵ AD平分∠EAC，
∴ $∠EAD = \dfrac{1}{2}∠EAC$（角平分线的定义）。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B = ∠C$（等边对等角）。
又
∵ $∠EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠EAC = ∠B + ∠C = 2∠B$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ $\dfrac{1}{2}∠EAC = ∠B$，
∴ $∠EAD = ∠B$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AD// BC$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，综合了等腰三角形、三角形外角、平行线判定的核心知识，解题时需将已知条件对应的性质定理串联，通过角的等量代换得到判定平行的条件，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要判断AD与BC是否平行，需结合平行线的判定定理，寻找对应角相等或互补的关系。第一步，由已知AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C；第二步，由AD平分∠EAC，根据角平分线定义可得∠EAD=½∠EAC；第三步，结合三角形外角的性质，△ABC的外角∠EAC等于与它不相邻的两个内角和，即∠EAC=∠B+∠C，代入∠B=∠C可推出∠EAC=2∠B，进一步得到½∠EAC=∠B；第四步，通过等量代换得∠EAD=∠B，满足“同位角相等，两直线平行”的判定条件，即可得出结论。
【解析】
AD//BC，证明如下：
∵ AD平分∠EAC，
∴ $∠EAD = \dfrac{1}{2}∠EAC$（角平分线的定义）。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B = ∠C$（等边对等角）。
又
∵ $∠EAC$ 是 $△ ABC$ 的外角，
∴ $∠EAC = ∠B + ∠C = 2∠B$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ $\dfrac{1}{2}∠EAC = ∠B$，
∴ $∠EAD = ∠B$（等量代换），
∴ $AD// BC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AD// BC$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，综合了等腰三角形、三角形外角、平行线判定的核心知识，解题时需将已知条件对应的性质定理串联，通过角的等量代换得到判定平行的条件，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
(1) 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=5$，则$AC$的长为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
D
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件：△ABC中∠B=∠C，由此可联想到等腰三角形的判定定理“等角对等边”，接下来需要明确两个相等的角对应的对边：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此可推出AC和AB长度相等，最后代入已知AB=5，即可求出AC的长度，匹配选项得到答案。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可得AC=AB，
又已知AB=5，
∴AC=5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等角对等边；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，核心考查对“等角对等边”定理的理解与应用，解题的关键是准确找到相等的角所对应的对边，整体没有计算难度，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先观察题目给出的条件：△ABC中∠B=∠C，由此可联想到等腰三角形的判定定理“等角对等边”，接下来需要明确两个相等的角对应的对边：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此可推出AC和AB长度相等，最后代入已知AB=5，即可求出AC的长度，匹配选项得到答案。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可得AC=AB，
又已知AB=5，
∴AC=5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等角对等边；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，核心考查对“等角对等边”定理的理解与应用，解题的关键是准确找到相等的角所对应的对边，整体没有计算难度，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
（2）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=36°$，点$D$，$E$在边$BC$上，且$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，则图中等腰三角形有（
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
[第1(2)题]
C
）A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
[第1(2)题]
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先利用等腰三角形的性质求出$△ ABC$各内角的度数，再结合已知的三个相等的角，计算出图中所有三角形的内角度数，最后根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐一判断并统计等腰三角形的数量即可。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠ B=36°$，因此$△ ABC$是等腰三角形，可得$∠ C=∠ B=36°$。
根据三角形内角和为$180°$，计算得$∠ BAC=180°-36°×2=108°$。
因为$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，所以每个角的度数为$108°÷3=36°$。
接下来逐一判断等腰三角形：
1. $△ ABC$：$AB=AC$，属于等腰三角形；
2. $△ ABD$：$∠ B=∠ BAD=36°$，由等角对等边得$AD=BD$，属于等腰三角形；
3. $△ ADE$：$∠ ADE$是$△ ABD$的外角，$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=72°$，同理可得$∠ AED=72°$，$∠ ADE=∠ AED$，得$AD=AE$，属于等腰三角形；
4. $△ AEC$：$∠ C=∠ EAC=36°$，由等角对等边得$AE=EC$，属于等腰三角形；
5. $△ ABE$：$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°$，$∠ AEB=72°$，$∠ BAE=∠ AEB$，得$AB=BE$，属于等腰三角形；
6. $△ ADC$：$∠ DAC=∠ DAE+∠ EAC=72°$，$∠ ADC=72°$，$∠ DAC=∠ ADC$，得$AC=DC$，属于等腰三角形。
综上，图中共有6个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题解题的关键是先求出各角的度数，再依据等角对等边判定等腰三角形，注意按固定顺序枚举三角形，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以先利用等腰三角形的性质求出$△ ABC$各内角的度数，再结合已知的三个相等的角，计算出图中所有三角形的内角度数，最后根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐一判断并统计等腰三角形的数量即可。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠ B=36°$，因此$△ ABC$是等腰三角形，可得$∠ C=∠ B=36°$。
根据三角形内角和为$180°$，计算得$∠ BAC=180°-36°×2=108°$。
因为$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，所以每个角的度数为$108°÷3=36°$。
接下来逐一判断等腰三角形：
1. $△ ABC$：$AB=AC$，属于等腰三角形；
2. $△ ABD$：$∠ B=∠ BAD=36°$，由等角对等边得$AD=BD$，属于等腰三角形；
3. $△ ADE$：$∠ ADE$是$△ ABD$的外角，$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=72°$，同理可得$∠ AED=72°$，$∠ ADE=∠ AED$，得$AD=AE$，属于等腰三角形；
4. $△ AEC$：$∠ C=∠ EAC=36°$，由等角对等边得$AE=EC$，属于等腰三角形；
5. $△ ABE$：$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°$，$∠ AEB=72°$，$∠ BAE=∠ AEB$，得$AB=BE$，属于等腰三角形；
6. $△ ADC$：$∠ DAC=∠ DAE+∠ EAC=72°$，$∠ ADC=72°$，$∠ DAC=∠ ADC$，得$AC=DC$，属于等腰三角形。
综上，图中共有6个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题解题的关键是先求出各角的度数，再依据等角对等边判定等腰三角形，注意按固定顺序枚举三角形，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
