登录
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$B$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，同时点$Q$从点$A$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。当$△ APQ$是以$∠ A$为顶角的等腰三角形时，运动时间是多少？
答案
设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,则$AP=20-3x$,$AQ=2x$,由$20-3x=2x$,得$x=4$
解析
【分析】
解决本题首先要抓住核心条件：$△ APQ$是以$∠ A$为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质，顶角对应的两条边为腰，可得$AP=AQ$。我们可以先设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，再结合两个动点的运动速度，分别用含$x$的代数式表示出$AP$和$AQ$的长度，最后根据两条腰相等列方程求解，同时验证解是否符合动点停止运动的规则即可。
【解析】
解：设运动时间为$x\ \mathrm{s}$。
根据题意，动点$P$的运动路程$BP=3x\ \mathrm{cm}$，因此$AP=AB-BP=(20-3x)\ \mathrm{cm}$；
动点$Q$的运动路程$AQ=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$△ APQ$是以$∠ A$为顶角的等腰三角形，所以两腰$AP=AQ$，列方程得：
$20-3x=2x$
移项合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
验证：点Q从A到C的总运动时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，点P从B到A的总运动时间为$20÷3\approx6.67\ \mathrm{s}$，$x=4＜6$，符合运动停止的规则。
【答案】
$\boxed{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
等腰三角形性质，动点问题求解，一元一次方程应用
【点评】
本题是等腰三角形性质结合动点的基础应用题，解题关键是根据等腰三角形顶角对应腰相等的性质找到等量关系，用含时间的代数式表示对应边长后列方程求解，解题时要注意验证解是否符合运动的实际范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要抓住核心条件：$△ APQ$是以$∠ A$为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质，顶角对应的两条边为腰，可得$AP=AQ$。我们可以先设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，再结合两个动点的运动速度，分别用含$x$的代数式表示出$AP$和$AQ$的长度，最后根据两条腰相等列方程求解，同时验证解是否符合动点停止运动的规则即可。
【解析】
解：设运动时间为$x\ \mathrm{s}$。
根据题意，动点$P$的运动路程$BP=3x\ \mathrm{cm}$，因此$AP=AB-BP=(20-3x)\ \mathrm{cm}$；
动点$Q$的运动路程$AQ=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$△ APQ$是以$∠ A$为顶角的等腰三角形，所以两腰$AP=AQ$，列方程得：
$20-3x=2x$
移项合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
验证：点Q从A到C的总运动时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，点P从B到A的总运动时间为$20÷3\approx6.67\ \mathrm{s}$，$x=4＜6$，符合运动停止的规则。
【答案】
$\boxed{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
等腰三角形性质，动点问题求解，一元一次方程应用
【点评】
本题是等腰三角形性质结合动点的基础应用题，解题关键是根据等腰三角形顶角对应腰相等的性质找到等量关系，用含时间的代数式表示对应边长后列方程求解，解题时要注意验证解是否符合运动的实际范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
3. 为探究等腰三角形中一腰上的高与底边所成的夹角和顶角的数量关系，小明进行了以下思考：
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
如图③，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
（2）对任意的等腰三角形ABC，AB=AC，BD是边AC上的高，∠BAC与∠DBC的数量关系可能是
（3）对于上述猜想，你能证明其正确性吗？
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
25°
；如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
45°
；如图③，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BD是边AC上的高，则∠DBC=
60°
.（2）对任意的等腰三角形ABC，AB=AC，BD是边AC上的高，∠BAC与∠DBC的数量关系可能是
$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$
.（3）对于上述猜想，你能证明其正确性吗？
答案
(1) 25°,45°,60°
(2) $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$
(3) 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$是边$AC$上的高,那么$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$,在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$∠ DBC=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$
(2) $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$
(3) 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$是边$AC$上的高,那么$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$,在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$∠ DBC=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$
解析
【分析】
（1）解决已知顶角求∠DBC的问题时，先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理求出底角∠C的度数，再结合BD是高得到∠BDC=90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠DBC的度数。
（2）观察第（1）问中三组∠BAC和对应∠DBC的数值，可归纳得出两者的数量关系。
（3）证明猜想时，先将等腰三角形的底角用含∠BAC的式子表示，再代入直角三角形中∠DBC与底角的互余关系，化简即可得证，该结论对任意等腰三角形均成立。
【解析】
（1）①图①中：
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴$∠ DBC=90°-∠ C=90°-65°=25°$；
②图②中：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
此时BD与BA重合，故∠DBC=45°；
③图③中：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴$∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵BD是AC边上的高，∠BDC=90°，
∴$∠ DBC=90°-30°=60°$。
（2）观察3组结果：$25°=\frac{1}{2}×50°$，$45°=\frac{1}{2}×90°$，$60°=\frac{1}{2}×120°$，可得数量关系为$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
（3）证明如下：
在△ABC中，AB=AC，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，$∠ DBC=90°-∠ ACB$，
代入得：$∠ DBC=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ BAC)=\frac{1}{2}∠ BAC$，猜想成立。
【答案】
(1) $25°$，$45°$，$60°$
(2) $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$
(3) 证明过程见上述解析
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究过程，考查三角形基础性质的应用，既锻炼了归纳猜想能力，又强化了几何证明的逻辑严谨性，所得结论可作为等腰三角形的拓展性质使用，能提升相关题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）解决已知顶角求∠DBC的问题时，先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理求出底角∠C的度数，再结合BD是高得到∠BDC=90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠DBC的度数。
（2）观察第（1）问中三组∠BAC和对应∠DBC的数值，可归纳得出两者的数量关系。
（3）证明猜想时，先将等腰三角形的底角用含∠BAC的式子表示，再代入直角三角形中∠DBC与底角的互余关系，化简即可得证，该结论对任意等腰三角形均成立。
【解析】
（1）①图①中：
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴$∠ DBC=90°-∠ C=90°-65°=25°$；
②图②中：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
此时BD与BA重合，故∠DBC=45°；
③图③中：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴$∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵BD是AC边上的高，∠BDC=90°，
∴$∠ DBC=90°-30°=60°$。
（2）观察3组结果：$25°=\frac{1}{2}×50°$，$45°=\frac{1}{2}×90°$，$60°=\frac{1}{2}×120°$，可得数量关系为$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
（3）证明如下：
在△ABC中，AB=AC，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，$∠ DBC=90°-∠ ACB$，
代入得：$∠ DBC=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ BAC)=\frac{1}{2}∠ BAC$，猜想成立。
【答案】
(1) $25°$，$45°$，$60°$
(2) $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC$
(3) 证明过程见上述解析
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究过程，考查三角形基础性质的应用，既锻炼了归纳猜想能力，又强化了几何证明的逻辑严谨性，所得结论可作为等腰三角形的拓展性质使用，能提升相关题型的解题效率。
【难度系数】
0.7
