2. 如图,在$△ ABC$中,D是AB中点,$DE⊥ AC$,垂足为E,$DF⊥ BC$,垂足为F,且$ED=FD$,求证:$△ ABC$是等腰三角形.

根据“HL”证明 $Rt△ADE≌Rt△BDF$,可得$∠A=∠B$,所以$△ABC$是等腰三角形

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，可通过证明∠A=∠B实现。首先从已知条件入手：D是AB中点可得AD=BD，DE⊥AC、DF⊥BC可得△ADE和△BDF都是直角三角形，结合已知ED=FD，可先利用HL定理证明两个直角三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到∠A=∠B，最后根据等角对等边即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ D是AB的中点，
∴ $AD = BD$，
∵ $DE⊥AC$，$DF⊥BC$，
∴ $∠AED = ∠BFD = 90°$，即△ADE和△BDF均为直角三角形，
在$Rt△ADE$和$Rt△BDF$中：
$\begin{cases}AD=BD \\ED=FD\end{cases}$
∴ $Rt△ADE ≌ Rt△BDF$（HL），
∴ $∠A = ∠B$，
∴ $AC = BC$，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
根据“HL”证明 $Rt△ADE≌Rt△BDF$,可得$∠A=∠B$,所以$△ABC$是等腰三角形
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过证明直角三角形全等得到对应角相等，进而判定等腰三角形，对全等判定和等腰三角形判定的知识点考查较为直接，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

1. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点，C也是格点，且使得$△ ABC$为等腰三角形，则满足条件的点C有 （）

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

D

【分析】
要找出满足△ABC为等腰三角形的格点C，需结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：①AB作为等腰三角形的腰，此时分别以点A、B为圆心，AB的长度为半径画弧，找到弧经过的格点（需排除无法构成三角形的共线点）；②AB作为等腰三角形的底边，此时点C在AB的垂直平分线上，找到垂直平分线上的格点即可，最后汇总所有符合条件的点的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
① 以A为圆心，AB长为半径画弧，经过的格点有3个，均不与A、B共线，可构成等腰三角形；
② 以B为圆心，AB长为半径画弧，经过的格点有3个，均不与A、B共线，可构成等腰三角形；
2. 当AB为等腰三角形的底边时：
此时$CA=CB$，点C在AB的垂直平分线上，垂直平分线上的格点共有2个，可构成等腰三角形。
综上，满足条件的点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，勾股定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时需注意按腰和底边两种情况分类讨论，避免漏解，同时要验证三点是否共线，排除不能构成三角形的情况，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6

2. (1) 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,过点$O$作$EF // BC$,分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$.图中有几个等腰三角形?请说明$EF$与$BE$,$CF$之间有怎样的关系.
(2) 在第(1)题的情况下,若$AB ≠ AC$,其他条件不变(图②),图中还有等腰三角形吗?如果有,请指出.第(1)题中的$EF$与$BE$,$CF$之间的关系还存在吗?
(3) 如图③,在$△ ABC$中,若$∠ ABC$的平分线与三角形的外角$∠ ACD$的平分线$CO$相交于点$O$,过点$O$作$OE // BC$,交$AB$于点$E$、交$AC$于点$F$,这时图中有哪几个等腰三角形?$EF$与$BE$,$CF$之间的关系如何?为什么?

(1) 根据 $EF// BC,∠ABC,∠ACB$ 的平分线相交于点 $O$,可得$∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC$. 又 $AB=AC$,所以图中共 5 个等腰三角形,根据等腰三角形的性质,即可得 $EF=BE+CF$
(2) 根据 $EF// BC$ 和$∠ABC,∠ACB$ 的平分线相交于点 $O$,可证$△OBE$ 和$△OCF$ 是等腰三角形;利用等腰三角形的性质,即可得 $EF=BE+CF$
(3) 有两个,$EO// BC$,$OB$,$OC$分别是$∠ABC,∠ACD$的平分线,可以证明$△BEO$ 和$△CFO$ 是等腰三角形.$EF=BE-CF$

【分析】
本题的核心解题模型是“角平分线+平行线→等腰三角形”，思考时可按以下步骤展开：
1. 遇到角平分线先对应角相等，遇到平行线先对应内错角相等，两者结合即可得到同一三角形内的等角，利用“等角对等边”判定等腰三角形；
2. 推导线段关系时，将EF拆分成EO与OF的和或差，结合等腰三角形等边的性质替换线段即可得到结论；
3. 三小问逐层变化条件，注意区分AB=AC、外角平分线这些特殊条件对等腰三角形个数的影响。
【解析】
(1) 解：等腰三角形共5个，EF=BE+CF，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形；
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，且∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，△OBC是等腰三角形；
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，△AEF是等腰三角形；
同时∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴EO=BE，OF=CF，△EOB、△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO+OF=BE+CF。
(2) 解：存在等腰三角形，为△EOB和△FOC，EF=BE+CF的关系仍然成立，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB；
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴EO=BE，OF=CF，即△EOB、△FOC是等腰三角形，
∴EF=EO+OF=BE+CF。
(3) 解：等腰三角形为△BEO和△CFO，EF=BE-CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCD；
∵OE//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCD，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=EO，CF=FO，即△BEO、△CFO是等腰三角形；
∵EO=EF+FO，
∴EF=EO-FO=BE-CF。
【答案】
(1) 共5个等腰三角形，$\boldsymbol{EF=BE+CF}$；
(2) 有等腰三角形，为$△ OBE$和$△ OCF$，$EF=BE+CF$的关系仍然存在；
(3) 等腰三角形为$△ BEO$和$△ CFO$，$\boldsymbol{EF=BE-CF}$。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”这一经典几何模型的典型应用，题目条件从特殊到一般逐层变化，既考查了等腰三角形的相关性质，也锻炼了几何推导中线段替换、关系转化的能力，熟练掌握该模型可快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.7