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1. 下列命题是假命题的是().
A.各边相等的圆内接多边形是正多边形
B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心
C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心
D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形
A.各边相等的圆内接多边形是正多边形
B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心
C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心
D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形
答案
D
解析
【分析】
这道题考查正多边形与圆的相关性质，解题时需要逐一分析每个选项的命题是否符合正多边形的定义、中心的性质以及内角外角的计算规律，最终找出假命题。首先回忆相关基础知识点：1. 圆内接多边形边、弧、内角的对应关系；2. 正多边形中心的性质；3. 正多边形内角、外角的计算公式，再依次对四个选项判断真假即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：圆内接多边形的各边相等，则各边所对的弧相等，对应的多边形各个内角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，是真命题，不符合题意。
B选项：正多边形的所有内角平分线都经过它的中心，因此任意两个内角平分线的交点就是正多边形的中心，是真命题，不符合题意。
C选项：正多边形的各边都是其外接圆的弦，弦的中垂线必过圆心（即正多边形的中心），因此任意两条边的中垂线的交点就是正多边形的中心，是真命题，不符合题意。
D选项：设正多边形的边数为$n$（$n≥3$且$n$为整数），正多边形每个外角为$\frac{360°}{n}$，每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
根据题意列不等式：
$\frac{360°}{n}＜\frac{(n-2)×180°}{n}$
因为$n＞0$，两边同时乘$n$不等号方向不变：
$360＜180(n-2)$
解得$n＞4$，即边数大于4的正多边形都满足“一个外角小于一个内角”，不只有正五边形，该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质；正多边形的内角与外角；正多边形与圆
【点评】
这道题是正多边形相关性质的基础考查，需要准确理解正多边形的定义、中心的特征，以及内角外角的计算方法，分析D选项时注意不等式求解后边数的取值范围，避免漏判。
【难度系数】
0.7
这道题考查正多边形与圆的相关性质，解题时需要逐一分析每个选项的命题是否符合正多边形的定义、中心的性质以及内角外角的计算规律，最终找出假命题。首先回忆相关基础知识点：1. 圆内接多边形边、弧、内角的对应关系；2. 正多边形中心的性质；3. 正多边形内角、外角的计算公式，再依次对四个选项判断真假即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：圆内接多边形的各边相等，则各边所对的弧相等，对应的多边形各个内角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，是真命题，不符合题意。
B选项：正多边形的所有内角平分线都经过它的中心，因此任意两个内角平分线的交点就是正多边形的中心，是真命题，不符合题意。
C选项：正多边形的各边都是其外接圆的弦，弦的中垂线必过圆心（即正多边形的中心），因此任意两条边的中垂线的交点就是正多边形的中心，是真命题，不符合题意。
D选项：设正多边形的边数为$n$（$n≥3$且$n$为整数），正多边形每个外角为$\frac{360°}{n}$，每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
根据题意列不等式：
$\frac{360°}{n}＜\frac{(n-2)×180°}{n}$
因为$n＞0$，两边同时乘$n$不等号方向不变：
$360＜180(n-2)$
解得$n＞4$，即边数大于4的正多边形都满足“一个外角小于一个内角”，不只有正五边形，该命题是假命题，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质；正多边形的内角与外角；正多边形与圆
【点评】
这道题是正多边形相关性质的基础考查，需要准确理解正多边形的定义、中心的特征，以及内角外角的计算方法，分析D选项时注意不等式求解后边数的取值范围，避免漏判。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连接AP，则AP的长为().
A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{11}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{11}$
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先利用正六边形的性质：各边相等、各内角均为120°。我们可以先通过等腰三角形的性质求出AE的长度，再判断△AEP为直角三角形，结合P是ED中点的条件，最后用勾股定理计算AP的长度。解题的核心是构造可计算的直角三角形，将未知线段放到直角三角形中求解。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴各边长相等，即$AB=AF=EF=ED=2$，
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ AFE=∠ FED=120°$。
在$△ AEF$中，$AF=EF=2$，$∠ AFE=120°$，
∴$∠ AEF=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
过点F作$FG⊥ AE$于点G，根据等腰三角形三线合一，得$AG=GE$，
在$Rt△ EFG$中，$∠ GEF=30°$，$EF=2$，
∴$FG=\frac{1}{2}EF=1$，$GE=\sqrt{EF^2-FG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$AE=2GE=2\sqrt{3}$。
∵$∠ AEP=∠ FED-∠ AEF=120°-30°=90°$，
∴$△ AEP$是直角三角形。
∵P是ED的中点，
∴$EP=\frac{1}{2}ED=1$，
在$Rt△ AEP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形和直角三角形的综合题，解题的关键是合理利用正六边形的内角、边长性质，通过辅助线构造直角三角形，把未知线段转化为直角三角形的边进行计算，解题思路比较常规，掌握正多边形基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用正六边形的性质：各边相等、各内角均为120°。我们可以先通过等腰三角形的性质求出AE的长度，再判断△AEP为直角三角形，结合P是ED中点的条件，最后用勾股定理计算AP的长度。解题的核心是构造可计算的直角三角形，将未知线段放到直角三角形中求解。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴各边长相等，即$AB=AF=EF=ED=2$，
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ AFE=∠ FED=120°$。
在$△ AEF$中，$AF=EF=2$，$∠ AFE=120°$，
∴$∠ AEF=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
过点F作$FG⊥ AE$于点G，根据等腰三角形三线合一，得$AG=GE$，
在$Rt△ EFG$中，$∠ GEF=30°$，$EF=2$，
∴$FG=\frac{1}{2}EF=1$，$GE=\sqrt{EF^2-FG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$AE=2GE=2\sqrt{3}$。
∵$∠ AEP=∠ FED-∠ AEF=120°-30°=90°$，
∴$△ AEP$是直角三角形。
∵P是ED的中点，
∴$EP=\frac{1}{2}ED=1$，
在$Rt△ AEP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形和直角三角形的综合题，解题的关键是合理利用正六边形的内角、边长性质，通过辅助线构造直角三角形，把未知线段转化为直角三角形的边进行计算，解题思路比较常规，掌握正多边形基本性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
3. 一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与“直径”的比值称为图形的“周率”，下面有四种平面图形：正三角形、正方形、正六边形、圆，它们的“周率”依次记为 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，则下列关系正确的是().
A.$a_4 ＞ a_2 ＞ a_1$
B.$a_4 ＞ a_3 ＞ a_2$
C.$a_1 ＞ a_2 ＞ a_3$
D.$a_2 ＞ a_3 ＞ a_4$
A.$a_4 ＞ a_2 ＞ a_1$
B.$a_4 ＞ a_3 ＞ a_2$
C.$a_1 ＞ a_2 ＞ a_3$
D.$a_2 ＞ a_3 ＞ a_4$
答案
B
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，首先需要准确理解两个核心定义：①图形的“直径”是封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值；②“周率”是封闭图形的周长与自身“直径”的比值。解题思路为：分别确定正三角形、正方形、正六边形、圆的“直径”和周长，计算对应周率后比较大小即可，计算时可设边长为参数，参数会在求比值时约去，不影响结果。
【解析】
我们逐个计算四个图形的周率：
1. 计算正三角形的周率$a_1$：
设正三角形边长为$a$，正三角形内最远两点的距离等于边长，即“直径”$d_1=a$，周长$C_1=3a$，因此$a_1=\frac{C_1}{d_1}=\frac{3a}{a}=3$。
2. 计算正方形的周率$a_2$：
设正方形边长为$b$，正方形内最远两点的距离为对角线长，即“直径”$d_2=\sqrt{2}b$，周长$C_2=4b$，因此$a_2=\frac{C_2}{d_2}=\frac{4b}{\sqrt{2}b}=2\sqrt{2}\approx2.828$。
3. 计算正六边形的周率$a_3$：
设正六边形边长为$c$，正六边形内最远两点的距离为相对顶点的距离，等于2倍边长，即“直径”$d_3=2c$，周长$C_3=6c$，因此$a_3=\frac{C_3}{d_3}=\frac{6c}{2c}=3$。
4. 计算圆的周率$a_4$：
设圆的直径为$d$，圆的周长$C_4=π d$，因此$a_4=\frac{C_4}{d}=π\approx3.14$。
比较大小可得：$a_4\approx3.14＞a_3=3＞a_2\approx2.828$，符合选项B的关系。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、正多边形的性质、圆的周长计算
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和基础几何图形性质的应用，只要准确抓住“直径是图形内两点最大距离”这一核心，结合正多边形和圆的基本性质计算即可，注意计算正多边形的最大距离时不要混淆边长和对角线的关系。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，首先需要准确理解两个核心定义：①图形的“直径”是封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值；②“周率”是封闭图形的周长与自身“直径”的比值。解题思路为：分别确定正三角形、正方形、正六边形、圆的“直径”和周长，计算对应周率后比较大小即可，计算时可设边长为参数，参数会在求比值时约去，不影响结果。
【解析】
我们逐个计算四个图形的周率：
1. 计算正三角形的周率$a_1$：
设正三角形边长为$a$，正三角形内最远两点的距离等于边长，即“直径”$d_1=a$，周长$C_1=3a$，因此$a_1=\frac{C_1}{d_1}=\frac{3a}{a}=3$。
2. 计算正方形的周率$a_2$：
设正方形边长为$b$，正方形内最远两点的距离为对角线长，即“直径”$d_2=\sqrt{2}b$，周长$C_2=4b$，因此$a_2=\frac{C_2}{d_2}=\frac{4b}{\sqrt{2}b}=2\sqrt{2}\approx2.828$。
3. 计算正六边形的周率$a_3$：
设正六边形边长为$c$，正六边形内最远两点的距离为相对顶点的距离，等于2倍边长，即“直径”$d_3=2c$，周长$C_3=6c$，因此$a_3=\frac{C_3}{d_3}=\frac{6c}{2c}=3$。
4. 计算圆的周率$a_4$：
设圆的直径为$d$，圆的周长$C_4=π d$，因此$a_4=\frac{C_4}{d}=π\approx3.14$。
比较大小可得：$a_4\approx3.14＞a_3=3＞a_2\approx2.828$，符合选项B的关系。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、正多边形的性质、圆的周长计算
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和基础几何图形性质的应用，只要准确抓住“直径是图形内两点最大距离”这一核心，结合正多边形和圆的基本性质计算即可，注意计算正多边形的最大距离时不要混淆边长和对角线的关系。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，正方形$ABCD$内接于$\odot O$，点$E$在$\overset{\frown}{ADC}$上运动，连接$BE$，作$AF ⊥ BE$，垂足为点$F$，连接$CF$.则$CF$长的最小值为________.
4. 如图，$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，正方形$ABCD$内接于$\odot O$，点$E$在$\overset{\frown}{ADC}$上运动，连接$BE$，作$AF ⊥ BE$，垂足为点$F$，连接$CF$.则$CF$长的最小值为________.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{5}-1}$
解析
【分析】
解决本题的核心是先确定动点F的运动轨迹：由AF⊥BE可知∠AFB恒为90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可推出点F在以AB为直径的圆上运动。再根据“圆外一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，只需先求出正方形边长、小圆圆心到点C的距离，再减去小圆半径即可得到CF的最小值。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
已知$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，则$\odot O$的直径为$2\sqrt{2}$。
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴正方形的对角线长等于$\odot O$的直径$2\sqrt{2}$。
设正方形边长为$a$，由正方形对角线公式$a\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，解得$a=2$，即$AB=BC=2$。
2. 确定点F的运动轨迹：
取AB的中点G，
∵$AF⊥BE$，
∴$∠ AFB=90°$，
根据圆周角定理，点F在以G为圆心，$AG=GB=1$为半径的圆上运动。
3. 计算点C到圆心G的距离：
在$Rt△ BCG$中，$BG=1$，$BC=2$，$∠ CBG=90°$，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BG^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
4. 求CF的最小值：
圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，
∴$CF$的最小值为$CG - r = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{5}-1}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题的关键是通过定角推出动点的运动轨迹，将陌生的线段最值问题转化为熟悉的点到圆的最短距离问题，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先确定动点F的运动轨迹：由AF⊥BE可知∠AFB恒为90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可推出点F在以AB为直径的圆上运动。再根据“圆外一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，只需先求出正方形边长、小圆圆心到点C的距离，再减去小圆半径即可得到CF的最小值。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
已知$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$，则$\odot O$的直径为$2\sqrt{2}$。
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴正方形的对角线长等于$\odot O$的直径$2\sqrt{2}$。
设正方形边长为$a$，由正方形对角线公式$a\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，解得$a=2$，即$AB=BC=2$。
2. 确定点F的运动轨迹：
取AB的中点G，
∵$AF⊥BE$，
∴$∠ AFB=90°$，
根据圆周角定理，点F在以G为圆心，$AG=GB=1$为半径的圆上运动。
3. 计算点C到圆心G的距离：
在$Rt△ BCG$中，$BG=1$，$BC=2$，$∠ CBG=90°$，
由勾股定理得：$CG=\sqrt{BG^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
4. 求CF的最小值：
圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，
∴$CF$的最小值为$CG - r = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{5}-1}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题的关键是通过定角推出动点的运动轨迹，将陌生的线段最值问题转化为熟悉的点到圆的最短距离问题，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，则此八边形的面积是。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}R^2}$
解析
【分析】
要计算正八边形的面积，可利用正多边形内接于圆的性质，将正八边形分割为8个全等的等腰三角形，单个等腰三角形的腰长等于圆的半径R，顶角为正八边形的中心角。先计算单个等腰三角形的面积，再乘8即可得到正八边形的总面积。计算单个三角形面积时，可通过作高结合锐角三角函数求出高的长度，再用三角形面积公式计算。
【解析】
连接OA、OB，正八边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{8}=45°$，且$OA=OB=R$。
过点B作$BM⊥ OA$于点M，在$Rt△ OMB$中，$∠ BOM=45°$，由锐角三角函数可得：
$BM=OB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
则$△ AOB$的面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× BM=\frac{1}{2}× R×\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{\sqrt{2}}{4}R^2$
正八边形由8个与$△ AOB$全等的三角形组成，因此正八边形的面积为：
$S=8× S_{△ AOB}=8×\frac{\sqrt{2}}{4}R^2=2\sqrt{2}R^2$
【答案】
$2\sqrt{2}R^2$
【知识点】
1. 正多边形与圆 2. 锐角三角函数应用 3. 三角形面积计算
【点评】
本题考查正多边形面积的求解，解题核心是将正多边形转化为若干个全等的等腰三角形，把不规则图形面积转化为规则的三角形面积计算，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法和锐角三角函数的基本应用。
【难度系数】
0.6
要计算正八边形的面积，可利用正多边形内接于圆的性质，将正八边形分割为8个全等的等腰三角形，单个等腰三角形的腰长等于圆的半径R，顶角为正八边形的中心角。先计算单个等腰三角形的面积，再乘8即可得到正八边形的总面积。计算单个三角形面积时，可通过作高结合锐角三角函数求出高的长度，再用三角形面积公式计算。
【解析】
连接OA、OB，正八边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{8}=45°$，且$OA=OB=R$。
过点B作$BM⊥ OA$于点M，在$Rt△ OMB$中，$∠ BOM=45°$，由锐角三角函数可得：
$BM=OB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
则$△ AOB$的面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× BM=\frac{1}{2}× R×\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{\sqrt{2}}{4}R^2$
正八边形由8个与$△ AOB$全等的三角形组成，因此正八边形的面积为：
$S=8× S_{△ AOB}=8×\frac{\sqrt{2}}{4}R^2=2\sqrt{2}R^2$
【答案】
$2\sqrt{2}R^2$
【知识点】
1. 正多边形与圆 2. 锐角三角函数应用 3. 三角形面积计算
【点评】
本题考查正多边形面积的求解，解题核心是将正多边形转化为若干个全等的等腰三角形，把不规则图形面积转化为规则的三角形面积计算，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法和锐角三角函数的基本应用。
【难度系数】
0.6
6. 正多边形的面积是$240\ \mathrm{cm}^2$，周长是$60\ \mathrm{cm}$，则边心距是$\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正多边形面积的推导逻辑：正多边形可以被半径分割为n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的底为正多边形的边长，高为正多边形的边心距。总面积等于这n个三角形的面积之和，整理后可得正多边形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 周长 × 边心距$。已知面积和周长两个量，将数值代入公式变形即可求出边心距。
【解析】
设该正多边形的边心距为$r\ \mathrm{cm}$。
根据正多边形面积公式：
$S_{\mathrm{正多边形}}=\frac{1}{2} × C × r$
其中$S$为面积，$C$为周长，$r$为边心距。
将$S=240\ \mathrm{cm}^2$，$C=60\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$240=\frac{1}{2} × 60 × r$
化简得：
$30r=240$
解得：
$r=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
正多边形面积公式，边心距，正多边形的分割
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查正多边形面积公式的直接应用，解题关键是熟练掌握正多边形面积和周长、边心距的数量关系，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆正多边形面积的推导逻辑：正多边形可以被半径分割为n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的底为正多边形的边长，高为正多边形的边心距。总面积等于这n个三角形的面积之和，整理后可得正多边形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 周长 × 边心距$。已知面积和周长两个量，将数值代入公式变形即可求出边心距。
【解析】
设该正多边形的边心距为$r\ \mathrm{cm}$。
根据正多边形面积公式：
$S_{\mathrm{正多边形}}=\frac{1}{2} × C × r$
其中$S$为面积，$C$为周长，$r$为边心距。
将$S=240\ \mathrm{cm}^2$，$C=60\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$240=\frac{1}{2} × 60 × r$
化简得：
$30r=240$
解得：
$r=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
正多边形面积公式，边心距，正多边形的分割
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查正多边形面积公式的直接应用，解题关键是熟练掌握正多边形面积和周长、边心距的数量关系，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
