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8. 如图，正三角形$ABC$内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为$R$，求$△ ABC$的边长、边心距及面积。
（第8题）
（第8题）答案
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB、OC。
∵ 正三角形ABC内接于⊙O，
∴ 正三角形的中心角∠BOC = $\frac{360°}{3}=120°$，
又∵ OB=OC=R，OD⊥BC，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = 60°，BD=CD。
在Rt△BOD中：
边心距 $OD = OB·\cos60° = \frac{1}{2}R$，
$BD = OB·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴ 边长 $BC = 2BD = \sqrt{3}R$。
正三角形ABC的高 $h = AO + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$，
∴ △ABC的面积 $S = \frac{1}{2}· BC· h = \frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
综上，△ABC的边长为$\sqrt{3}R$，边心距为$\frac{1}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
∵ 正三角形ABC内接于⊙O，
∴ 正三角形的中心角∠BOC = $\frac{360°}{3}=120°$，
又∵ OB=OC=R，OD⊥BC，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = 60°，BD=CD。
在Rt△BOD中：
边心距 $OD = OB·\cos60° = \frac{1}{2}R$，
$BD = OB·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴ 边长 $BC = 2BD = \sqrt{3}R$。
正三角形ABC的高 $h = AO + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$，
∴ △ABC的面积 $S = \frac{1}{2}· BC· h = \frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
综上，△ABC的边长为$\sqrt{3}R$，边心距为$\frac{1}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
解析
【分析】
解决正多边形与圆的相关计算问题，核心思路是将问题转化为解直角三角形：首先构造由圆的半径、正多边形的边心距、边长的一半组成的直角三角形。本题中我们先过圆心作BC的垂线，连接圆心与B、C两点，先求出正三角形的中心角，再利用等腰三角形三线合一得到直角三角形的内角，最后通过解直角三角形求出边心距和边长，再结合正三角形高的特征求出高，进而计算面积。
【解析】
过点O作$OD⊥ BC$于点D，连接$OB$、$OC$。
∵ 正三角形$ABC$内接于$\odot O$，
∴ 正三角形的中心角$∠ BOC = \frac{360°}{3}=120°$，
又
∵ $OB=OC=R$，$OD⊥ BC$，
∴ $∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，$BD=CD$。
在$Rt△ BOD$中：
边心距 $OD = OB·\cos60° = \frac{1}{2}R$，
$BD = OB·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴ 边长 $BC = 2BD = \sqrt{3}R$。
正三角形$ABC$的高 $h = AO + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$，
∴ $△ ABC$的面积 $S = \frac{1}{2}· BC· h = \frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【答案】
$△ ABC$的边长为$\sqrt{3}R$，边心距为$\frac{1}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【知识点】
正多边形性质、解直角三角形、三角形面积公式
【点评】
本题是正多边形与圆的基础计算题，解题的关键是掌握正多边形计算中构造特殊直角三角形的转化方法，该方法是解决所有正多边形与圆计算类问题的核心思路，熟练掌握后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
解决正多边形与圆的相关计算问题，核心思路是将问题转化为解直角三角形：首先构造由圆的半径、正多边形的边心距、边长的一半组成的直角三角形。本题中我们先过圆心作BC的垂线，连接圆心与B、C两点，先求出正三角形的中心角，再利用等腰三角形三线合一得到直角三角形的内角，最后通过解直角三角形求出边心距和边长，再结合正三角形高的特征求出高，进而计算面积。
【解析】
过点O作$OD⊥ BC$于点D，连接$OB$、$OC$。
∵ 正三角形$ABC$内接于$\odot O$，
∴ 正三角形的中心角$∠ BOC = \frac{360°}{3}=120°$，
又
∵ $OB=OC=R$，$OD⊥ BC$，
∴ $∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，$BD=CD$。
在$Rt△ BOD$中：
边心距 $OD = OB·\cos60° = \frac{1}{2}R$，
$BD = OB·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴ 边长 $BC = 2BD = \sqrt{3}R$。
正三角形$ABC$的高 $h = AO + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$，
∴ $△ ABC$的面积 $S = \frac{1}{2}· BC· h = \frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【答案】
$△ ABC$的边长为$\sqrt{3}R$，边心距为$\frac{1}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。
【知识点】
正多边形性质、解直角三角形、三角形面积公式
【点评】
本题是正多边形与圆的基础计算题，解题的关键是掌握正多边形计算中构造特殊直角三角形的转化方法，该方法是解决所有正多边形与圆计算类问题的核心思路，熟练掌握后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AB是$\odot O$内接正六边形的一边，点C在$\overset{\frown}{AB}$上，且BC是$\odot O$内接正八边形的一边，若AC是$\odot O$内接正n边形的一边，求n的值.
答案
解：连接OC。
∵ AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴ ∠AOB = $\frac{360°}{6}$ = 60°。
∵ BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴ ∠BOC = $\frac{360°}{8}$ = 45°。
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60° - 45° = 15°。
∵ AC是⊙O内接正n边形的一边，
∴ $n = \frac{360°}{∠ AOC} = \frac{360°}{15°} = 24$。
答：n的值为24。
∵ AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴ ∠AOB = $\frac{360°}{6}$ = 60°。
∵ BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴ ∠BOC = $\frac{360°}{8}$ = 45°。
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60° - 45° = 15°。
∵ AC是⊙O内接正n边形的一边，
∴ $n = \frac{360°}{∠ AOC} = \frac{360°}{15°} = 24$。
答：n的值为24。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心规律：圆内接正n边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$，要求n的值，只需先求出AC对应的中心角$∠ AOC$的度数，再用$360°$除以该角度即可。解题步骤依次为：先根据AB是正六边形的边求出$∠ AOB$的度数，再根据BC是正八边形的边求出$∠ BOC$的度数，两个角度的差就是$∠ AOC$的度数，最后代入公式计算n。
【解析】
解：连接OC。
∵ AB是$\odot O$内接正六边形的一边，
∴ $∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$。
∵ BC是$\odot O$内接正八边形的一边，
∴ $∠ BOC = \frac{360°}{8} = 45°$。
∴ $∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 60° - 45° = 15°$。
∵ AC是$\odot O$内接正n边形的一边，
∴ $n = \frac{360°}{∠ AOC} = \frac{360°}{15°} = 24$。
【答案】
24
【知识点】
1.正多边形中心角计算
2.圆心角和差运算
3.正多边形与圆的内接性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题，重点考察正多边形中心角和边数的对应关系，解题关键是准确求出AC对应的中心角度数，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确核心规律：圆内接正n边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$，要求n的值，只需先求出AC对应的中心角$∠ AOC$的度数，再用$360°$除以该角度即可。解题步骤依次为：先根据AB是正六边形的边求出$∠ AOB$的度数，再根据BC是正八边形的边求出$∠ BOC$的度数，两个角度的差就是$∠ AOC$的度数，最后代入公式计算n。
【解析】
解：连接OC。
∵ AB是$\odot O$内接正六边形的一边，
∴ $∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$。
∵ BC是$\odot O$内接正八边形的一边，
∴ $∠ BOC = \frac{360°}{8} = 45°$。
∴ $∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 60° - 45° = 15°$。
∵ AC是$\odot O$内接正n边形的一边，
∴ $n = \frac{360°}{∠ AOC} = \frac{360°}{15°} = 24$。
【答案】
24
【知识点】
1.正多边形中心角计算
2.圆心角和差运算
3.正多边形与圆的内接性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题，重点考察正多边形中心角和边数的对应关系，解题关键是准确求出AC对应的中心角度数，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
