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一、选择题
1. 有下列说法：① 弦是直线；② 圆的直径被该圆的圆心平分；③ 过圆内一点P的直径仅有一条；④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧.其中正确的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 有下列说法：① 弦是直线；② 圆的直径被该圆的圆心平分；③ 过圆内一点P的直径仅有一条；④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧.其中正确的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需先明确弦、直径、等弧的定义，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于说法①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，不是直线，因此①错误；
2. 对于说法②：直径是经过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此圆的直径必然被该圆的圆心平分，②正确；
3. 对于说法③：若点P是圆的圆心，那么过P的直径有无数条，只有当P是圆心外的圆内点时，过P的直径仅有1条，该说法未说明P不是圆心，因此③错误；
4. 对于说法④：等弧的定义是能够完全重合的弧，需要同时满足长度相等、对应圆心角相等两个条件，仅在等圆上的两条弧不一定满足上述要求，因此④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
弦与直径的定义，等弧的概念，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于忽略③中点P可能为圆心的情况，以及对等弧的定义理解不全面，学习时要准确掌握概念的限制条件，避免因概念模糊失分。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需先明确弦、直径、等弧的定义，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于说法①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，不是直线，因此①错误；
2. 对于说法②：直径是经过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此圆的直径必然被该圆的圆心平分，②正确；
3. 对于说法③：若点P是圆的圆心，那么过P的直径有无数条，只有当P是圆心外的圆内点时，过P的直径仅有1条，该说法未说明P不是圆心，因此③错误；
4. 对于说法④：等弧的定义是能够完全重合的弧，需要同时满足长度相等、对应圆心角相等两个条件，仅在等圆上的两条弧不一定满足上述要求，因此④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
弦与直径的定义，等弧的概念，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于忽略③中点P可能为圆心的情况，以及对等弧的定义理解不全面，学习时要准确掌握概念的限制条件，避免因概念模糊失分。
【难度系数】
0.7
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC=4\ \mathrm{cm}$，$D$是边$AB$的中点，以点$C$为圆心、4 cm长为半径作圆，则$A$，$B$，$C$，$D$四点中，在圆内的有()个.
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。本题圆心为C，半径r=4cm，只需分别计算A、B、C、D四点到C的距离再和4cm比较即可：C点到自身的距离为0，可直接判断在圆内；A、B到C的距离题目已给出为4cm，可直接判断；D是直角三角形斜边AB的中点，先通过勾股定理求AB长度，再用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求CD长度，最后比较即可。
【解析】
设⊙C的半径为r，点到圆心C的距离为d，点与圆的位置关系判定规则为：d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外。
本题中r=4cm，逐一判断四点：
1. 点C到圆心的距离d₁=0＜4cm，故点C在圆内；
2. 已知AC=4cm，即点A到C的距离d₂=4cm=r，故点A在圆上；
3. 已知BC=4cm，即点B到C的距离d₃=4cm=r，故点B在圆上；
4. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(4²+4²)=4√2 cm，
因为D是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CD=½AB=2√2 cm≈2.83cm＜4cm，故点D在圆内。
综上，在圆内的点共有2个。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查点和圆位置关系的判定方法，解题时需注意区分“圆内”和“圆上”的概念，结合直角三角形的基本性质计算距离即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。本题圆心为C，半径r=4cm，只需分别计算A、B、C、D四点到C的距离再和4cm比较即可：C点到自身的距离为0，可直接判断在圆内；A、B到C的距离题目已给出为4cm，可直接判断；D是直角三角形斜边AB的中点，先通过勾股定理求AB长度，再用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求CD长度，最后比较即可。
【解析】
设⊙C的半径为r，点到圆心C的距离为d，点与圆的位置关系判定规则为：d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外。
本题中r=4cm，逐一判断四点：
1. 点C到圆心的距离d₁=0＜4cm，故点C在圆内；
2. 已知AC=4cm，即点A到C的距离d₂=4cm=r，故点A在圆上；
3. 已知BC=4cm，即点B到C的距离d₃=4cm=r，故点B在圆上；
4. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(4²+4²)=4√2 cm，
因为D是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CD=½AB=2√2 cm≈2.83cm＜4cm，故点D在圆内。
综上，在圆内的点共有2个。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查点和圆位置关系的判定方法，解题时需注意区分“圆内”和“圆上”的概念，结合直角三角形的基本性质计算距离即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 平面上一点与定圆上的点的距离最小是5 cm，最大是10 cm，则此定圆的半径为().
A.2.5 cm 或7.5 cm
B.7.5 cm
C.2.5 cm
D.5 cm或15 cm
C
A.2.5 cm 或7.5 cm
B.7.5 cm
C.2.5 cm
D.5 cm或15 cm
C
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确平面上的点与定圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，本题中点到圆上点的最小距离为5cm≠0，因此排除点在圆上的情况，仅需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论，结合过该点与圆心的直线和圆的交点的距离特征，即可计算出圆的半径。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 若该点在定圆内部：
过该点和圆心作直线，与圆交于两点，该点到两个交点的距离分别为最小距离5cm、最大距离10cm，此时圆的直径等于最小距离与最大距离之和，即直径$d = 5 + 10 = 15\mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = 7.5\mathrm{cm}$。
2. 若该点在定圆外部：
同样过该点和圆心作直线，与圆交于两点，该点到两个交点的距离分别为最小距离5cm、最大距离10cm，此时圆的直径等于最大距离与最小距离之差，即直径$d = 10 - 5 = 5\mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = 2.5\mathrm{cm}$。
综上，定圆的半径为2.5cm或7.5cm。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时容易只考虑点在圆外或者点在圆内的单一情况导致漏解，掌握不同位置下点到圆上点的最值和半径的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平面上的点与定圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，本题中点到圆上点的最小距离为5cm≠0，因此排除点在圆上的情况，仅需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论，结合过该点与圆心的直线和圆的交点的距离特征，即可计算出圆的半径。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 若该点在定圆内部：
过该点和圆心作直线，与圆交于两点，该点到两个交点的距离分别为最小距离5cm、最大距离10cm，此时圆的直径等于最小距离与最大距离之和，即直径$d = 5 + 10 = 15\mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = 7.5\mathrm{cm}$。
2. 若该点在定圆外部：
同样过该点和圆心作直线，与圆交于两点，该点到两个交点的距离分别为最小距离5cm、最大距离10cm，此时圆的直径等于最大距离与最小距离之差，即直径$d = 10 - 5 = 5\mathrm{cm}$，因此半径$r = \frac{d}{2} = 2.5\mathrm{cm}$。
综上，定圆的半径为2.5cm或7.5cm。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时容易只考虑点在圆外或者点在圆内的单一情况导致漏解，掌握不同位置下点到圆上点的最值和半径的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$AB＝4\ \mathrm{cm}$，$BC＝2\ \mathrm{cm}$，以点$A$为圆心、3.5 cm长为半径画圆，则点$C$在$\odot A$ ，点$B$在$\odot A$ .（填“内”“上”或“外”）
答案
内；外
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，首先要明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题中⊙A的半径已知为3.5cm，因此只需要分别求出点C、点B到圆心A的距离，再和半径比较大小即可。其中点C到A的距离AC可通过直角三角形的勾股定理计算。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\approx3.464\ \mathrm{cm}$
已知$\odot A$的半径$r=3.5\ \mathrm{cm}$：
1. 对于点C：$\because AC\approx3.464＜3.5$，即点C到圆心A的距离小于半径，$\therefore$点C在$\odot A$内；
2. 对于点B：$\because AB=4＞3.5$，即点B到圆心A的距离大于半径，$\therefore$点B在$\odot A$外。
【答案】
内；外
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理算出对应点到圆心的距离后和半径比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，首先要明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题中⊙A的半径已知为3.5cm，因此只需要分别求出点C、点B到圆心A的距离，再和半径比较大小即可。其中点C到A的距离AC可通过直角三角形的勾股定理计算。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}\approx3.464\ \mathrm{cm}$
已知$\odot A$的半径$r=3.5\ \mathrm{cm}$：
1. 对于点C：$\because AC\approx3.464＜3.5$，即点C到圆心A的距离小于半径，$\therefore$点C在$\odot A$内；
2. 对于点B：$\because AB=4＞3.5$，即点B到圆心A的距离大于半径，$\therefore$点B在$\odot A$外。
【答案】
内；外
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理算出对应点到圆心的距离后和半径比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB，CD交于点E，则图中有条直径，有条弦；以点A为端点的优弧有条，劣弧有条。(第5题)
答案
解：
根据直径的定义：经过圆心的弦叫做直径，图中仅线段AB过圆心O，因此共有1条直径；
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，图中的弦分别为AB、AC、BC、BD、CD，共有5条；
以点A为端点的优弧为$\overset{\frown}{ABC}$、$\overset{\frown}{ABD}$、$\overset{\frown}{ADC}$，共有3条；
以点A为端点的劣弧为$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$，共有2条。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$。
根据直径的定义：经过圆心的弦叫做直径，图中仅线段AB过圆心O，因此共有1条直径；
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，图中的弦分别为AB、AC、BC、BD、CD，共有5条；
以点A为端点的优弧为$\overset{\frown}{ABC}$、$\overset{\frown}{ABD}$、$\overset{\frown}{ADC}$，共有3条；
以点A为端点的劣弧为$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$，共有2条。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
解题时首先要回忆圆的相关基本概念：直径是经过圆心的弦；弦是连接圆上任意两点的线段；优弧是大于半圆的弧，通常用三个字母表示；劣弧是小于半圆的弧。接下来按照定义逐一分类计数即可，计数时注意按照顺序梳理，避免重复和遗漏。
【解析】
1. 计数直径：根据直径的定义，经过圆心的弦为直径，图中仅线段AB经过圆心O，因此直径有1条；
2. 计数弦：根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段为弦，图中的弦有AB、AC、BC、BD、CD，共5条；
3. 计数以A为端点的优弧：优弧是长度大于半圆的弧，需用三个字母表示，符合要求的有$\overset{\frown}{ABC}$、$\overset{\frown}{ABD}$、$\overset{\frown}{ADC}$，共3条；
4. 计数以A为端点的劣弧：劣弧是长度小于半圆的弧，符合要求的有$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$，共2条。
【答案】
$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直径的定义；弦的定义；弧的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确理解圆的各类相关概念的区别，按照固定顺序梳理计数即可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆圆的相关基本概念：直径是经过圆心的弦；弦是连接圆上任意两点的线段；优弧是大于半圆的弧，通常用三个字母表示；劣弧是小于半圆的弧。接下来按照定义逐一分类计数即可，计数时注意按照顺序梳理，避免重复和遗漏。
【解析】
1. 计数直径：根据直径的定义，经过圆心的弦为直径，图中仅线段AB经过圆心O，因此直径有1条；
2. 计数弦：根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段为弦，图中的弦有AB、AC、BC、BD、CD，共5条；
3. 计数以A为端点的优弧：优弧是长度大于半圆的弧，需用三个字母表示，符合要求的有$\overset{\frown}{ABC}$、$\overset{\frown}{ABD}$、$\overset{\frown}{ADC}$，共3条；
4. 计数以A为端点的劣弧：劣弧是长度小于半圆的弧，符合要求的有$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$，共2条。
【答案】
$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直径的定义；弦的定义；弧的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确理解圆的各类相关概念的区别，按照固定顺序梳理计数即可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ AOD = 50°$，$AD // OC$，则$∠ BOC$的度数是。
答案
$\boldsymbol{65°}$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用同圆半径相等的性质，可知△AOD为等腰三角形，已知顶角∠AOD的度数，结合三角形内角和即可求出底角∠OAD的度数；第二步，根据平行线的性质，找到∠BOC与∠OAD的等量关系；第三步，代入∠OAD的度数计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ OA和OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，即△AOD为等腰三角形，$∠ OAD=∠ ODA$。
∵ $∠ AOD=50°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ OAD=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ BOC=∠ OAD$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ BOC=65°$。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将圆的基础性质和三角形、平行线的性质结合考查，难度较低，熟练掌握各基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题可按三步思考：第一步，利用同圆半径相等的性质，可知△AOD为等腰三角形，已知顶角∠AOD的度数，结合三角形内角和即可求出底角∠OAD的度数；第二步，根据平行线的性质，找到∠BOC与∠OAD的等量关系；第三步，代入∠OAD的度数计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ OA和OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，即△AOD为等腰三角形，$∠ OAD=∠ ODA$。
∵ $∠ AOD=50°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ OAD=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ BOC=∠ OAD$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ BOC=65°$。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将圆的基础性质和三角形、平行线的性质结合考查，难度较低，熟练掌握各基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
三、解答题
7. 如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为$\overset{\frown}{AC}$上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为点E，F，求EF的长.
7. 如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为$\overset{\frown}{AC}$上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为点E，F，求EF的长.
答案
解：连接OD。
∵ 半圆O的直径AB=8，
∴ 圆O的半径$OD=OA=\frac{1}{2}AB=4$。
∵ $OC⊥ AB$，$DE⊥ OC$，$DF⊥ OA$，
∴ $∠ DEO=∠ EOF=∠ DFO=90°$，
∴ 四边形DEOF是矩形，
∴ $EF=OD=4$。
∵ 半圆O的直径AB=8，
∴ 圆O的半径$OD=OA=\frac{1}{2}AB=4$。
∵ $OC⊥ AB$，$DE⊥ OC$，$DF⊥ OA$，
∴ $∠ DEO=∠ EOF=∠ DFO=90°$，
∴ 四边形DEOF是矩形，
∴ $EF=OD=4$。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：图中有多个垂直关系，可先判断四边形DEOF的形状；再结合圆的性质：同圆的所有半径相等，我们可通过作辅助线OD，将待求的EF转化为与OD相等的线段求解。第一步连接OD，先根据直径求出圆的半径长度；第二步根据三个内角为直角的四边形是矩形，证明四边形DEOF是矩形；第三步利用矩形对角线相等的性质，得到EF=OD，即可求出EF的长。
【解析】
解：连接OD。
∵ 半圆O的直径AB=8，
∴ 圆O的半径$OD=\frac{1}{2}AB=4$。
∵ $OC⊥AB$，$DE⊥OC$，$DF⊥OA$，
∴ $∠DEO=∠EOF=∠DFO=90°$，
∴ 四边形DEOF是矩形，
∴ $EF=OD=4$。
【答案】
EF的长为4
【知识点】
圆的基本性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是合理添加辅助线OD，利用转化思想将所求线段的长度转化为圆的半径长度求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定性质和圆的基础性质。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：图中有多个垂直关系，可先判断四边形DEOF的形状；再结合圆的性质：同圆的所有半径相等，我们可通过作辅助线OD，将待求的EF转化为与OD相等的线段求解。第一步连接OD，先根据直径求出圆的半径长度；第二步根据三个内角为直角的四边形是矩形，证明四边形DEOF是矩形；第三步利用矩形对角线相等的性质，得到EF=OD，即可求出EF的长。
【解析】
解：连接OD。
∵ 半圆O的直径AB=8，
∴ 圆O的半径$OD=\frac{1}{2}AB=4$。
∵ $OC⊥AB$，$DE⊥OC$，$DF⊥OA$，
∴ $∠DEO=∠EOF=∠DFO=90°$，
∴ 四边形DEOF是矩形，
∴ $EF=OD=4$。
【答案】
EF的长为4
【知识点】
圆的基本性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是合理添加辅助线OD，利用转化思想将所求线段的长度转化为圆的半径长度求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定性质和圆的基础性质。
【难度系数】
0.8
