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三、解答题
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，将$△ ABC$绕点B顺时针旋转得到$△ A'BC'$，其中点$A'$是点A的对应点，连接$AA'$，$CC'$. 求证：$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$.
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，将$△ ABC$绕点B顺时针旋转得到$△ A'BC'$，其中点$A'$是点A的对应点，连接$AA'$，$CC'$. 求证：$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$.
答案
证明：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'$，$BC=BC'$，$∠ A'BC'=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABC' = ∠ A'BC' - ∠ ABC'$，即$∠ ABA' = ∠ CBC'$。
又$\because \frac{BC}{AB}=\frac{BC'}{BA'}=\frac{3}{4}$，
$\therefore △ CBC' ∽ △ ABA'$，
$\therefore \frac{CC'}{AA'}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'$，$BC=BC'$，$∠ A'BC'=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABC' = ∠ A'BC' - ∠ ABC'$，即$∠ ABA' = ∠ CBC'$。
又$\because \frac{BC}{AB}=\frac{BC'}{BA'}=\frac{3}{4}$，
$\therefore △ CBC' ∽ △ ABA'$，
$\therefore \frac{CC'}{AA'}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
要证明$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$，可通过证明包含这两条线段的三角形相似推导比值。第一步先在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理求出$BC$的长度，得到$BC$与$AB$的比值；第二步结合旋转的性质，得到对应边相等、旋转角相等，推出$△ CBC'$和$△ ABA'$的两边对应成比例且夹角相等，证明两三角形相似；第三步根据相似三角形对应边成比例，即可得到所求线段的比值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'$，$BC=BC'$，$∠ A'BC'=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABC' = ∠ A'BC' - ∠ ABC'$，即$∠ ABA' = ∠ CBC'$。
又$\because \frac{BC}{AB}=\frac{BC'}{BA'}=\frac{3}{4}$，
$\therefore △ CBC' ∽ △ ABA'$，
$\therefore \frac{CC'}{AA'}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$，得证。
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转相关的典型几何证明题，解题核心是结合旋转性质找到相似三角形的判定条件，对基础知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要证明$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$，可通过证明包含这两条线段的三角形相似推导比值。第一步先在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理求出$BC$的长度，得到$BC$与$AB$的比值；第二步结合旋转的性质，得到对应边相等、旋转角相等，推出$△ CBC'$和$△ ABA'$的两边对应成比例且夹角相等，证明两三角形相似；第三步根据相似三角形对应边成比例，即可得到所求线段的比值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$AB=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由旋转的性质可知：$BA=BA'$，$BC=BC'$，$∠ A'BC'=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABC' = ∠ A'BC' - ∠ ABC'$，即$∠ ABA' = ∠ CBC'$。
又$\because \frac{BC}{AB}=\frac{BC'}{BA'}=\frac{3}{4}$，
$\therefore △ CBC' ∽ △ ABA'$，
$\therefore \frac{CC'}{AA'}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{CC'}{AA'}=\dfrac{3}{4}$，得证。
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转相关的典型几何证明题，解题核心是结合旋转性质找到相似三角形的判定条件，对基础知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在正方形ABCD中,点E在边DC上,点F在边CB的延长线上,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1) 求证: $△ ADE ≌ △ ABF$;
(2) 填空: $△ ABF$可以由$△ ADE$绕着旋转中心点,按顺时针方向至少旋转°得到;
(3) 若$BC=8$, $DE=6$,求$△ AEF$的面积.
(1) 求证: $△ ADE ≌ △ ABF$;
(2) 填空: $△ ABF$可以由$△ ADE$绕着旋转中心点,按顺时针方向至少旋转°得到;
(3) 若$BC=8$, $DE=6$,求$△ AEF$的面积.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∵ 点F在CB的延长线上，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABF=∠ D$。
在$△ ADE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}AD=AB \\∠ D=∠ ABF \\DE=BF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ ABF$（SAS）。
(2)
$A$；$90$
(3) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$BC=8$，
∴ $AD=BC=8$，$∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由(1)知$△ ADE ≌ △ ABF$，
∴ $AE=AF$，$∠ DAE=∠ BAF$，
∴ $∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE=∠ DAB=90°$，
即$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴ $S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · AE · AF=\frac{1}{2} × 10 × 10=50$。
答：$△ AEF$的面积为50。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∵ 点F在CB的延长线上，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABF=∠ D$。
在$△ ADE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}AD=AB \\∠ D=∠ ABF \\DE=BF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ ABF$（SAS）。
(2)
$A$；$90$
(3) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$BC=8$，
∴ $AD=BC=8$，$∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由(1)知$△ ADE ≌ △ ABF$，
∴ $AE=AF$，$∠ DAE=∠ BAF$，
∴ $∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE=∠ DAB=90°$，
即$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴ $S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · AE · AF=\frac{1}{2} × 10 × 10=50$。
答：$△ AEF$的面积为50。
解析
【分析】
(1)要证明△ADE≌△ABF，首先利用正方形的性质得到对应边AD=AB，对应角∠D=∠ABF=90°，再结合题目给出的DE=BF的条件，即可用SAS判定定理证明全等。
(2)观察两个三角形的位置关系，公共顶点A即为旋转中心，对应边AD顺时针旋转到AB的最小角度就是∠DAB的度数。
(3)先根据正方形边长得到AD的长度，用勾股定理求出AE的长；再由全等的性质得到AE=AF，且推出∠EAF=90°，确定△AEF是等腰直角三角形，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∵ 点F在CB的延长线上，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABF=∠ D$。
在$△ ADE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}AD=AB \\∠ D=∠ ABF \\DE=BF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ ABF$（SAS）。
(2) △ADE和△ABF的公共顶点为A，即旋转中心是A；AD顺时针旋转到AB的夹角为∠DAB=90°，因此顺时针方向至少旋转90°。
(3) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$BC=8$，
∴ $AD=BC=8$，$∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由(1)知$△ ADE ≌ △ ABF$，
∴ $AE=AF$，$∠ DAE=∠ BAF$，
∴ $∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE=∠ DAB=90°$，
即$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴ $S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · AE · AF=\frac{1}{2} × 10 × 10=50$。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $A$；$90$
(3) $50$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将正方形、全等三角形、旋转的核心知识点结合考查，解题关键是熟练掌握各基础图形的性质，找准全等判定条件和旋转对应要素，同时结合勾股定理完成计算，是旋转章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADE≌△ABF，首先利用正方形的性质得到对应边AD=AB，对应角∠D=∠ABF=90°，再结合题目给出的DE=BF的条件，即可用SAS判定定理证明全等。
(2)观察两个三角形的位置关系，公共顶点A即为旋转中心，对应边AD顺时针旋转到AB的最小角度就是∠DAB的度数。
(3)先根据正方形边长得到AD的长度，用勾股定理求出AE的长；再由全等的性质得到AE=AF，且推出∠EAF=90°，确定△AEF是等腰直角三角形，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∵ 点F在CB的延长线上，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$∠ ABF=∠ D$。
在$△ ADE$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}AD=AB \\∠ D=∠ ABF \\DE=BF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ ABF$（SAS）。
(2) △ADE和△ABF的公共顶点为A，即旋转中心是A；AD顺时针旋转到AB的夹角为∠DAB=90°，因此顺时针方向至少旋转90°。
(3) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$BC=8$，
∴ $AD=BC=8$，$∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由(1)知$△ ADE ≌ △ ABF$，
∴ $AE=AF$，$∠ DAE=∠ BAF$，
∴ $∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE=∠ DAB=90°$，
即$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴ $S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · AE · AF=\frac{1}{2} × 10 × 10=50$。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $A$；$90$
(3) $50$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将正方形、全等三角形、旋转的核心知识点结合考查，解题关键是熟练掌握各基础图形的性质，找准全等判定条件和旋转对应要素，同时结合勾股定理完成计算，是旋转章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠A=120°,AB=2.现将△ABC 以点 B 为旋转中心顺时针旋转 45°,得到△A'B'C',延长 C'A' 交直线 BC 于点 D.求 A'D 的长.
答案
解：
在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180°-120°}{2} = 30°$，
由旋转的性质可得：
$BA' = AB = 2$，$∠ BA'C' = ∠ BAC = 120°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 30°$，旋转角$∠ ABA' = ∠ CBC' = 45°$，
∴ $∠ A'BD = ∠ ABA' - ∠ ABC = 45° - 30° = 15°$，
∵ $∠ BA'D = 180° - ∠ BA'C' = 180° - 120° = 60°$，
∴ 在△BDA'中，$∠ BDA' = 180° - 15° - 60° = 105°$，
过点B作$BM ⊥$ 直线$C'D$于点M，
在Rt△BMA'中，$∠ BA'M=60°$，$BA'=2$，
∴ $A'M = BA' · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$BM = BA' · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
在Rt△BMD中，$∠ BDM = 180° - ∠ BDA' = 75°$，
∵ $\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{\tan45°+\tan30°}{1-\tan45°\tan30°} = 2+\sqrt{3}$，
∴ $DM = \frac{BM}{\tan75°} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3$，
又∵ $MA' = DM + A'D$，
∴ $A'D = MA' - DM = 1 - (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3}$。
答：$A'D$的长为$4-2\sqrt{3}$。
在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180°-120°}{2} = 30°$，
由旋转的性质可得：
$BA' = AB = 2$，$∠ BA'C' = ∠ BAC = 120°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 30°$，旋转角$∠ ABA' = ∠ CBC' = 45°$，
∴ $∠ A'BD = ∠ ABA' - ∠ ABC = 45° - 30° = 15°$，
∵ $∠ BA'D = 180° - ∠ BA'C' = 180° - 120° = 60°$，
∴ 在△BDA'中，$∠ BDA' = 180° - 15° - 60° = 105°$，
过点B作$BM ⊥$ 直线$C'D$于点M，
在Rt△BMA'中，$∠ BA'M=60°$，$BA'=2$，
∴ $A'M = BA' · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$BM = BA' · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
在Rt△BMD中，$∠ BDM = 180° - ∠ BDA' = 75°$，
∵ $\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{\tan45°+\tan30°}{1-\tan45°\tan30°} = 2+\sqrt{3}$，
∴ $DM = \frac{BM}{\tan75°} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3$，
又∵ $MA' = DM + A'D$，
∴ $A'D = MA' - DM = 1 - (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3}$。
答：$A'D$的长为$4-2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：首先利用等腰三角形内角和性质算出原三角形的底角度数；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，推导△BA'D的各内角度数；直接求A'D长度较困难，因此过B作C'D的垂线构造直角三角形，借助三角函数分别计算出相关线段的长度；最后根据线段的和差关系求出A'D的长度。
【解析】
在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
∴ $∠ ABC=∠ ACB = \frac{180°-120°}{2} = 30°$，
由旋转的性质可得：
$BA' = AB = 2$，$∠ BA'C' = ∠ BAC = 120°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 30°$，旋转角$∠ ABA' = 45°$，
∴ $∠ A'BD = ∠ ABA' - ∠ ABC = 45° - 30° = 15°$，
∵ $∠ BA'D = 180° - ∠ BA'C' = 180° - 120° = 60°$，
∴ 在△BDA'中，$∠ BDA' = 180° - 15° - 60° = 105°$，
过点B作$BM ⊥$ 直线$C'D$于点M，
在Rt△BMA'中，$∠ BA'M=60°$，$BA'=2$，
∴ $A'M = BA' · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$BM = BA' · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
在Rt△BMD中，$∠ BDM = 180° - ∠ BDA' = 75°$，
∵ $\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{\tan45°+\tan30°}{1-\tan45°\tan30°} = 2+\sqrt{3}$，
∴ $DM = \frac{BM}{\tan75°} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3$，
又
∵ $MA' = DM + A'D$，
∴ $A'D = MA' - DM = 1 - (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{4-2\sqrt{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、等腰三角形性质和解直角三角形的应用，解题核心是准确推导角度，通过作辅助线构造直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的边求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和角度和差的推导方法。
【难度系数】
0.4
解决这道题可按以下思路逐步推导：首先利用等腰三角形内角和性质算出原三角形的底角度数；再结合旋转的性质，得到旋转后对应边、对应角的等量关系，推导△BA'D的各内角度数；直接求A'D长度较困难，因此过B作C'D的垂线构造直角三角形，借助三角函数分别计算出相关线段的长度；最后根据线段的和差关系求出A'D的长度。
【解析】
在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
∴ $∠ ABC=∠ ACB = \frac{180°-120°}{2} = 30°$，
由旋转的性质可得：
$BA' = AB = 2$，$∠ BA'C' = ∠ BAC = 120°$，$∠ A'BC' = ∠ ABC = 30°$，旋转角$∠ ABA' = 45°$，
∴ $∠ A'BD = ∠ ABA' - ∠ ABC = 45° - 30° = 15°$，
∵ $∠ BA'D = 180° - ∠ BA'C' = 180° - 120° = 60°$，
∴ 在△BDA'中，$∠ BDA' = 180° - 15° - 60° = 105°$，
过点B作$BM ⊥$ 直线$C'D$于点M，
在Rt△BMA'中，$∠ BA'M=60°$，$BA'=2$，
∴ $A'M = BA' · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$BM = BA' · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
在Rt△BMD中，$∠ BDM = 180° - ∠ BDA' = 75°$，
∵ $\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{\tan45°+\tan30°}{1-\tan45°\tan30°} = 2+\sqrt{3}$，
∴ $DM = \frac{BM}{\tan75°} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 3$，
又
∵ $MA' = DM + A'D$，
∴ $A'D = MA' - DM = 1 - (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{4-2\sqrt{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、等腰三角形性质和解直角三角形的应用，解题核心是准确推导角度，通过作辅助线构造直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的边求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和角度和差的推导方法。
【难度系数】
0.4
