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9.下面是小红用配方法解一元二次方程$2x^2 +4x -8=0$的过程:
解:二次项系数化为1,得$x^2 +2x -4=0$……第①步,
移项,得$x^2 +2x=4$……第②步,
配方,得$x^2 +2x +4=4+4$,即$(x+2)^2=8$……第③步,
由此可得$x+2=\pm2\sqrt{2}$……第④步,
$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$……第⑤步.
(1)配方法所依据的公式是
(2)上面解答过程,从第
(3)写出正确的解答过程.
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
解:二次项系数化为1,得$x^2 +2x -4=0$……第①步,
移项,得$x^2 +2x=4$……第②步,
配方,得$x^2 +2x +4=4+4$,即$(x+2)^2=8$……第③步,
由此可得$x+2=\pm2\sqrt{2}$……第④步,
$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$……第⑤步.
(1)配方法所依据的公式是
完全平方公式
(填“完全平方公式”或“平方差公式”).(2)上面解答过程,从第
③
步开始出现错误.(3)写出正确的解答过程.
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
答案
9.(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意的事项:先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简.(答案不唯一)
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意的事项:先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简.(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 配方法的核心是把含未知数的部分凑成完全平方式，回忆对应的乘法公式即可得到答案；
(2) 按照配方法的规则，配方时需要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，逐行核对解题步骤，就能找到出错的位置；
(3) 严格遵循配方法解一元二次方程的步骤：先将二次项系数化为1，再移项，接着正确添加常数项配方，之后开平方，最后求出方程的根即可；
(4) 结合解题过程中的常见易错点，比如移项变号、配方时常数项添加错误等，提出合理建议即可。
【解析】
(1) 配方法需要将含未知数的代数式凑成完全平方式，所依据的公式是完全平方公式；
(2) 第③步配方时，一次项系数为2，它的一半是1，平方为1，应该给方程左右两边同时加1，原题误加了4，因此从第③步开始出现错误；
(3) 正确解答过程：
二次项系数化为1，得$x^2 +2x -4=0$，
移项，得$x^2 +2x=4$，
配方，得$x^2 +2x +1=4+1$，即$(x+1)^2=5$，
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；
(4) 可以从常见易错点出发提建议，合理即可。
【答案】
(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)示例：用配方法解一元二次方程时，配方要给等式两边同时加一次项系数一半的平方（答案不唯一）
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设题，涵盖原理判断、错因查找、规范求解、注意事项总结四个考查方向，能有效检验学生对配方法步骤的掌握程度，牢记配方规则、细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
(1) 配方法的核心是把含未知数的部分凑成完全平方式，回忆对应的乘法公式即可得到答案；
(2) 按照配方法的规则，配方时需要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，逐行核对解题步骤，就能找到出错的位置；
(3) 严格遵循配方法解一元二次方程的步骤：先将二次项系数化为1，再移项，接着正确添加常数项配方，之后开平方，最后求出方程的根即可；
(4) 结合解题过程中的常见易错点，比如移项变号、配方时常数项添加错误等，提出合理建议即可。
【解析】
(1) 配方法需要将含未知数的代数式凑成完全平方式，所依据的公式是完全平方公式；
(2) 第③步配方时，一次项系数为2，它的一半是1，平方为1，应该给方程左右两边同时加1，原题误加了4，因此从第③步开始出现错误；
(3) 正确解答过程：
二次项系数化为1，得$x^2 +2x -4=0$，
移项，得$x^2 +2x=4$，
配方，得$x^2 +2x +1=4+1$，即$(x+1)^2=5$，
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；
(4) 可以从常见易错点出发提建议，合理即可。
【答案】
(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)示例：用配方法解一元二次方程时，配方要给等式两边同时加一次项系数一半的平方（答案不唯一）
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设题，涵盖原理判断、错因查找、规范求解、注意事项总结四个考查方向，能有效检验学生对配方法步骤的掌握程度，牢记配方规则、细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
10.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2 -2x +2$的最小值.
解:$x^2 -2x +2 = x^2 -2x +1 +1 = (x-1)^2 +1$,∵无论x取何实数,都有$(x-1)^2 ≥0$,∴$(x-1)^2 +1 ≥1$,即$x^2 -2x +2$的最小值为1.
【尝试应用】(1)请直接写出$x^2 -6x +7$的最小值
【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义.
【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2 -2x +2$的最小值.
解:$x^2 -2x +2 = x^2 -2x +1 +1 = (x-1)^2 +1$,∵无论x取何实数,都有$(x-1)^2 ≥0$,∴$(x-1)^2 +1 ≥1$,即$x^2 -2x +2$的最小值为1.
【尝试应用】(1)请直接写出$x^2 -6x +7$的最小值
-2
.【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义.
【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.
答案
10.(1)$-2$
(2)$3x^2+12x+13=3(x+2)^2+1$,$\because (x+2)^2\ge0$,$\therefore 3x^2+12x+13＞0$.
$\therefore$无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2+12x+13}$都有意义.
(3)$\because AC+BD=10$,$\therefore BD=10-AC$,
$\because AC⊥ BD$,$\therefore$四边形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\because -\frac{1}{2}(AC-5)^2\le0$,$\therefore$当AC=5时,四边形ABCD的面积最大,最大值为$\frac{25}{2}$.
(2)$3x^2+12x+13=3(x+2)^2+1$,$\because (x+2)^2\ge0$,$\therefore 3x^2+12x+13＞0$.
$\therefore$无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2+12x+13}$都有意义.
(3)$\because AC+BD=10$,$\therefore BD=10-AC$,
$\because AC⊥ BD$,$\therefore$四边形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\because -\frac{1}{2}(AC-5)^2\le0$,$\therefore$当AC=5时,四边形ABCD的面积最大,最大值为$\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求二次三项式的最小值，可通过配方法将式子变形为“完全平方式+常数”的结构，利用完全平方的非负性即可得到最小值。
(2) 要说明二次根式总有意义，需证明被开方数恒大于0，对被开方数配方后判断其最小值的正负即可。
(3) 对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的一半，结合AC+BD=10的条件，将面积表示为关于AC的代数式，再配方即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x +7$配方：
$x^2 -6x +7 = x^2 -6x +9 -2 = (x-3)^2 -2$
∵无论x取何实数，都有$(x-3)^2 ≥0$，
∴$(x-3)^2 -2 ≥ -2$，即$x^2 -6x +7$的最小值为$-2$。
(2) 对被开方数$3x^2 +12x +13$配方：
$3x^2 +12x +13 = 3(x^2 +4x) +13 = 3(x^2 +4x +4 -4) +13 = 3(x+2)^2 +1$
∵无论x取何实数，都有$(x+2)^2 ≥0$，
∴$3(x+2)^2 +1 ≥1 ＞0$，即被开方数恒为正数，
因此无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义。
(3) 设$AC=a$，则$BD=10-a$，
∵$AC⊥BD$，
∴四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}a(10-a)$
对面积表达式配方：
$S=-\frac{1}{2}a^2 +5a = -\frac{1}{2}(a^2 -10a +25 -25) = -\frac{1}{2}(a-5)^2 +\frac{25}{2}$
∵$-\frac{1}{2}(a-5)^2 ≤0$，
∴当$a=5$即$AC=BD=5$时，$S$取得最大值$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) 无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义，证明如上；
(3) 四边形ABCD的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$（或12.5）。
【知识点】
配方法的应用、二次根式有意义的条件、对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题考查配方法在不同场景下的拓展应用，覆盖了代数式最值、二次根式性质、几何面积最值三类考点，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，灵活运用完全平方式的非负性分析问题，同时要牢记对角线互相垂直的四边形面积公式，才能快速建立几何问题的代数表达式。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次三项式的最小值，可通过配方法将式子变形为“完全平方式+常数”的结构，利用完全平方的非负性即可得到最小值。
(2) 要说明二次根式总有意义，需证明被开方数恒大于0，对被开方数配方后判断其最小值的正负即可。
(3) 对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的一半，结合AC+BD=10的条件，将面积表示为关于AC的代数式，再配方即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x +7$配方：
$x^2 -6x +7 = x^2 -6x +9 -2 = (x-3)^2 -2$
∵无论x取何实数，都有$(x-3)^2 ≥0$，
∴$(x-3)^2 -2 ≥ -2$，即$x^2 -6x +7$的最小值为$-2$。
(2) 对被开方数$3x^2 +12x +13$配方：
$3x^2 +12x +13 = 3(x^2 +4x) +13 = 3(x^2 +4x +4 -4) +13 = 3(x+2)^2 +1$
∵无论x取何实数，都有$(x+2)^2 ≥0$，
∴$3(x+2)^2 +1 ≥1 ＞0$，即被开方数恒为正数，
因此无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义。
(3) 设$AC=a$，则$BD=10-a$，
∵$AC⊥BD$，
∴四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}a(10-a)$
对面积表达式配方：
$S=-\frac{1}{2}a^2 +5a = -\frac{1}{2}(a^2 -10a +25 -25) = -\frac{1}{2}(a-5)^2 +\frac{25}{2}$
∵$-\frac{1}{2}(a-5)^2 ≤0$，
∴当$a=5$即$AC=BD=5$时，$S$取得最大值$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) 无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义，证明如上；
(3) 四边形ABCD的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$（或12.5）。
【知识点】
配方法的应用、二次根式有意义的条件、对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题考查配方法在不同场景下的拓展应用，覆盖了代数式最值、二次根式性质、几何面积最值三类考点，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，灵活运用完全平方式的非负性分析问题，同时要牢记对角线互相垂直的四边形面积公式，才能快速建立几何问题的代数表达式。
【难度系数】
0.7
