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9.下面是小红用配方法解一元二次方程$2x^2 +4x -8=0$的过程:
解:二次项系数化为1,得$x^2 +2x -4=0$……第①步,
移项,得$x^2 +2x=4$……第②步,
配方,得$x^2 +2x +4=4+4$,即$(x+2)^2=8$……第③步,
由此可得$x+2=\pm2\sqrt{2}$……第④步,
$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$……第⑤步.
(1)配方法所依据的公式是
(2)上面解答过程,从第
(3)写出正确的解答过程.
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
解:二次项系数化为1,得$x^2 +2x -4=0$……第①步,
移项,得$x^2 +2x=4$……第②步,
配方,得$x^2 +2x +4=4+4$,即$(x+2)^2=8$……第③步,
由此可得$x+2=\pm2\sqrt{2}$……第④步,
$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$……第⑤步.
(1)配方法所依据的公式是
完全平方公式
(填“完全平方公式”或“平方差公式”).(2)上面解答过程,从第
③
步开始出现错误.(3)写出正确的解答过程.
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
答案
9.(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意的事项:先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简.(答案不唯一)
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意的事项:先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简.(答案不唯一)
解析
【分析】
（1）配方法的核心是将含未知数的二次三项式凑成完全平方式，其推导依据是完全平方公式，据此可直接作答；
（2）按照配方法的步骤逐行排查：配方时需给等式两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为2，一半的平方是1，原解答第③步错误加了4，因此从第③步开始出错；
（3）正确解答遵循配方法标准流程：先化二次项系数为1，再移项将常数项移到等号右侧，随后正确配方得到完全平方式，最后开平方求出方程的两个解；
（4）结合配方法解题过程中的常见易错点，比如移项要变号、配方时等式两边需加同一个数、开平方要取正负等，任选角度提出合理建议即可。
【解析】
(1) 配方法是利用完全平方公式将式子变形，因此依据的公式是完全平方公式。
(2) 第③步配方时，一次项系数为2，一次项系数一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，应该给方程两边同时加1，原步骤错误加了4，因此从第③步开始出现错误。
(3) 正确解答过程：
二次项系数化为1，得$x^2 + 2x - 4 = 0$
移项，得$x^2 + 2x = 4$
配方，得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x+1)^2 = 5$
开平方，得$x + 1 = \pm\sqrt{5}$
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$
(4) 示例建议：配方时要注意给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，不能只给左边加而漏加右边。（答案合理即可）
【答案】
(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意正确运用完全平方公式，配方时等式两边需同时加上相同的数。（答案不唯一）
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程求解
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置了多个维度的问题，既考查了配方法的原理，也考查了运算过程中的易错点，能够有效检验学生对一元二次方程配方法解法的掌握程度，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
（1）配方法的核心是将含未知数的二次三项式凑成完全平方式，其推导依据是完全平方公式，据此可直接作答；
（2）按照配方法的步骤逐行排查：配方时需给等式两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为2，一半的平方是1，原解答第③步错误加了4，因此从第③步开始出错；
（3）正确解答遵循配方法标准流程：先化二次项系数为1，再移项将常数项移到等号右侧，随后正确配方得到完全平方式，最后开平方求出方程的两个解；
（4）结合配方法解题过程中的常见易错点，比如移项要变号、配方时等式两边需加同一个数、开平方要取正负等，任选角度提出合理建议即可。
【解析】
(1) 配方法是利用完全平方公式将式子变形，因此依据的公式是完全平方公式。
(2) 第③步配方时，一次项系数为2，一次项系数一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，应该给方程两边同时加1，原步骤错误加了4，因此从第③步开始出现错误。
(3) 正确解答过程：
二次项系数化为1，得$x^2 + 2x - 4 = 0$
移项，得$x^2 + 2x = 4$
配方，得$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x+1)^2 = 5$
开平方，得$x + 1 = \pm\sqrt{5}$
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$
(4) 示例建议：配方时要注意给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，不能只给左边加而漏加右边。（答案合理即可）
【答案】
(1)完全平方公式
(2)③
(3)二次项系数化为1,得$x^2+2x-4=0$,
移项,得$x^2+2x=4$,
配方,得$x^2+2x+1=4+1$,即$(x+1)^2=5$,
由此可得$x+1=\pm\sqrt{5}$,即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意正确运用完全平方公式，配方时等式两边需同时加上相同的数。（答案不唯一）
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程求解
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置了多个维度的问题，既考查了配方法的原理，也考查了运算过程中的易错点，能够有效检验学生对一元二次方程配方法解法的掌握程度，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
10.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2 -2x +2$的最小值.
解:$x^2 -2x +2 = x^2 -2x +1 +1 = (x-1)^2 +1$,∵无论x取何实数,都有$(x-1)^2 ≥0$,∴$(x-1)^2 +1 ≥1$,即$x^2 -2x +2$的最小值为1.
【尝试应用】(1)请直接写出$x^2 -6x +7$的最小值
【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义.
【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.
例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式$x^2 -2x +2$的最小值.
解:$x^2 -2x +2 = x^2 -2x +1 +1 = (x-1)^2 +1$,∵无论x取何实数,都有$(x-1)^2 ≥0$,∴$(x-1)^2 +1 ≥1$,即$x^2 -2x +2$的最小值为1.
【尝试应用】(1)请直接写出$x^2 -6x +7$的最小值
-2
.【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义.
【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.
答案
10.(1)$-2$
(2)$3x^2+12x+13=3(x+2)^2+1$,$\because (x+2)^2\ge0$,$\therefore 3x^2+12x+13＞0$.
$\therefore$无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2+12x+13}$都有意义.
(3)$\because AC+BD=10$,$\therefore BD=10-AC$,
$\because AC⊥ BD$,$\therefore$四边形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\because -\frac{1}{2}(AC-5)^2\le0$,$\therefore$当AC=5时,四边形ABCD的面积最大,最大值为$\frac{25}{2}$.
(2)$3x^2+12x+13=3(x+2)^2+1$,$\because (x+2)^2\ge0$,$\therefore 3x^2+12x+13＞0$.
$\therefore$无论x取何实数,二次根式$\sqrt{3x^2+12x+13}$都有意义.
(3)$\because AC+BD=10$,$\therefore BD=10-AC$,
$\because AC⊥ BD$,$\therefore$四边形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC(10-AC)=-\frac{1}{2}(AC-5)^2+\frac{25}{2}$,
$\because -\frac{1}{2}(AC-5)^2\le0$,$\therefore$当AC=5时,四边形ABCD的面积最大,最大值为$\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
（1）求二次三项式的最小值，核心是用配方法将式子变形为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性，常数部分就是最小值。
（2）要说明二次根式无论x取何值都有意义，需证明被开方数恒大于0，对被开方的二次三项式配方，判断其最小值大于0即可。
（3）对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$，先根据$AC+BD=10$用AC表示出BD，代入面积公式得到关于AC的二次式，再用配方法求这个二次式的最大值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-6x+7$配方：
$x^2-6x+7=x^2-6x+9-2=(x-3)^2-2$，
∵无论x取何实数，$(x-3)^2≥0$，
∴$(x-3)^2-2≥-2$，即最小值为$-2$。
(2) 对被开方数$3x^2+12x+13$配方：
$3x^2+12x+13=3(x^2+4x)+13=3(x^2+4x+4-4)+13=3(x+2)^2+1$，
∵无论x取何实数，$(x+2)^2≥0$，
∴$3(x+2)^2+1≥1＞0$，即被开方数恒为正数，
∴无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义。
(3) 设$AC$的长为$m$，
∵$AC+BD=10$，
∴$BD=10-m$，
∵$AC⊥ BD$，
∴四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}m(10-m)$，
对面积表达式变形：
$S=-\frac{1}{2}m^2+5m=-\frac{1}{2}(m^2-10m)=-\frac{1}{2}(m^2-10m+25-25)=-\frac{1}{2}(m-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}(m-5)^2≤0$，
∴当$m=5$即$AC=5$时，$S$取得最大值，最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；
(2) 无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义，证明见解析；
(3) 四边形ABCD的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$。
【知识点】
配方法的应用；二次根式有意义的条件；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题围绕配方法的应用展开考查，覆盖代数最值、二次根式判定、几何最值三类场景，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，结合完全平方式的非负性求解二次式的最值，同时需要牢记特殊四边形的面积公式。
【难度系数】
0.7
（1）求二次三项式的最小值，核心是用配方法将式子变形为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性，常数部分就是最小值。
（2）要说明二次根式无论x取何值都有意义，需证明被开方数恒大于0，对被开方的二次三项式配方，判断其最小值大于0即可。
（3）对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$，先根据$AC+BD=10$用AC表示出BD，代入面积公式得到关于AC的二次式，再用配方法求这个二次式的最大值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-6x+7$配方：
$x^2-6x+7=x^2-6x+9-2=(x-3)^2-2$，
∵无论x取何实数，$(x-3)^2≥0$，
∴$(x-3)^2-2≥-2$，即最小值为$-2$。
(2) 对被开方数$3x^2+12x+13$配方：
$3x^2+12x+13=3(x^2+4x)+13=3(x^2+4x+4-4)+13=3(x+2)^2+1$，
∵无论x取何实数，$(x+2)^2≥0$，
∴$3(x+2)^2+1≥1＞0$，即被开方数恒为正数，
∴无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义。
(3) 设$AC$的长为$m$，
∵$AC+BD=10$，
∴$BD=10-m$，
∵$AC⊥ BD$，
∴四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}m(10-m)$，
对面积表达式变形：
$S=-\frac{1}{2}m^2+5m=-\frac{1}{2}(m^2-10m)=-\frac{1}{2}(m^2-10m+25-25)=-\frac{1}{2}(m-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}(m-5)^2≤0$，
∴当$m=5$即$AC=5$时，$S$取得最大值，最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；
(2) 无论x取何实数，二次根式$\sqrt{3x^2 +12x +13}$都有意义，证明见解析；
(3) 四边形ABCD的面积最大值为$\boldsymbol{\frac{25}{2}}$。
【知识点】
配方法的应用；二次根式有意义的条件；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题围绕配方法的应用展开考查，覆盖代数最值、二次根式判定、几何最值三类场景，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，结合完全平方式的非负性求解二次式的最值，同时需要牢记特殊四边形的面积公式。
【难度系数】
0.7
