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1.用配方法解一元二次方程$x^2 -12x=7$时，方程两边同时(
A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
C
)。A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
答案
1.C
解析
【分析】
要使用配方法解该一元二次方程，核心是将方程左侧凑成完全平方式。首先回忆配方法的操作规则：当一元二次方程的二次项系数为1，且常数项已移至等号右侧时，只需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧转化为完全平方式。本题方程已满足二次项系数为1、常数项在右侧的前提，只需计算一次项系数一半的平方即可确定需要添加的数。
【解析】
1. 观察方程$x^2 -12x=7$，二次项系数为1，常数项已移到等号右侧，符合配方的前置要求。
2. 找到一次项系数为$-12$，计算它一半的平方：$(\frac{-12}{2})^2=(-6)^2=36$。
3. 给方程两边同时加36，左侧即可凑成完全平方式：$x^2-12x+36=7+36$，即$(x-6)^2=43$，完成配方步骤。
因此方程两边需要同时加36，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作，只要牢记二次项系数为1时配方需加“一次项系数一半的平方”这个规则，就能快速得出答案，是解一元二次方程必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解该一元二次方程，核心是将方程左侧凑成完全平方式。首先回忆配方法的操作规则：当一元二次方程的二次项系数为1，且常数项已移至等号右侧时，只需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧转化为完全平方式。本题方程已满足二次项系数为1、常数项在右侧的前提，只需计算一次项系数一半的平方即可确定需要添加的数。
【解析】
1. 观察方程$x^2 -12x=7$，二次项系数为1，常数项已移到等号右侧，符合配方的前置要求。
2. 找到一次项系数为$-12$，计算它一半的平方：$(\frac{-12}{2})^2=(-6)^2=36$。
3. 给方程两边同时加36，左侧即可凑成完全平方式：$x^2-12x+36=7+36$，即$(x-6)^2=43$，完成配方步骤。
因此方程两边需要同时加36，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作，只要牢记二次项系数为1时配方需加“一次项系数一半的平方”这个规则，就能快速得出答案，是解一元二次方程必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解方程$x^2 -4x +2=0$，下列配方正确的是(
A.$(x-2)^2=2$
B.$(x+2)^2=2$
C.$(x-2)^2=-2$
D.$(x-2)^2=6$
A
).A.$(x-2)^2=2$
B.$(x+2)^2=2$
C.$(x-2)^2=-2$
D.$(x-2)^2=6$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断哪个选项的配方正确，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后整理结果对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +2=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 4x = -2$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在等式两边同时加4，得
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
第三步：将左侧写成完全平方形式，右侧合并同类项，得
$(x-2)^2=2$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的核心步骤，熟练掌握移项变号、凑完全平方式的操作要领即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项的配方正确，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后整理结果对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +2=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 4x = -2$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在等式两边同时加4，得
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
第三步：将左侧写成完全平方形式，右侧合并同类项，得
$(x-2)^2=2$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的核心步骤，熟练掌握移项变号、凑完全平方式的操作要领即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.一元二次方程$x^2 + 6x + n = 0$配方变形为$(x+3)^2 = 2$，则$n$的值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
B
）.A.7
B.8
C.9
D.10
答案
3.A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，将已知的配方后方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比常数项即可得到n的值；思路二，对原方程按照配方法的步骤进行配方，结合已知的配方结果列等式求解n。配方法的核心是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边构造成完全平方式。
【解析】
方法一：展开配方后的方程
根据完全平方公式将$(x+3)^2=2$展开，得：
$x^2 + 6x + 9 = 2$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 + 6x + 7 = 0$
与原方程$x^2 + 6x + n = 0$对比，常数项对应相等，因此$n=7$。
方法二：对原方程配方列等式
将原方程$x^2 + 6x + n = 0$移项，得：
$x^2 + 6x = -n$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，得：
$x^2 + 6x +9 = 9 -n$
左边写成完全平方式为$(x+3)^2 = 9 -n$
已知配方结果为$(x+3)^2=2$，因此：
$9 -n =2$
解得$n=9-2=7$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查对配方法步骤的掌握程度，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一，将已知的配方后方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比常数项即可得到n的值；思路二，对原方程按照配方法的步骤进行配方，结合已知的配方结果列等式求解n。配方法的核心是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边构造成完全平方式。
【解析】
方法一：展开配方后的方程
根据完全平方公式将$(x+3)^2=2$展开，得：
$x^2 + 6x + 9 = 2$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 + 6x + 7 = 0$
与原方程$x^2 + 6x + n = 0$对比，常数项对应相等，因此$n=7$。
方法二：对原方程配方列等式
将原方程$x^2 + 6x + n = 0$移项，得：
$x^2 + 6x = -n$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，得：
$x^2 + 6x +9 = 9 -n$
左边写成完全平方式为$(x+3)^2 = 9 -n$
已知配方结果为$(x+3)^2=2$，因此：
$9 -n =2$
解得$n=9-2=7$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查对配方法步骤的掌握程度，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
4.用配方法解一元二次方程$4x^2 -4x=1$，下列变形正确的是（
A.$(x-\dfrac{1}{2})^2=0$
B.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-1)^2=\dfrac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=0$
B
）.A.$(x-\dfrac{1}{2})^2=0$
B.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-1)^2=\dfrac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=0$
答案
4.B
解析
【分析】
要使用配方法解该一元二次方程，需遵循配方法的常规步骤思考：首先将方程的二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，最后对比选项选出正确变形即可。
【解析】
解：已知方程$4x^2 -4x=1$，
第一步：化二次项系数为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - x = \dfrac{1}{4}$
第二步：配方，一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，方程两边同时加$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$
左边整理为完全平方式，右边合并同类项，得：
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{2}$
对比选项可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方前需先将二次项系数化为1，再正确计算需要添加的常数项，掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解该一元二次方程，需遵循配方法的常规步骤思考：首先将方程的二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，最后对比选项选出正确变形即可。
【解析】
解：已知方程$4x^2 -4x=1$，
第一步：化二次项系数为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - x = \dfrac{1}{4}$
第二步：配方，一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，方程两边同时加$\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$
左边整理为完全平方式，右边合并同类项，得：
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{2}$
对比选项可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意配方前需先将二次项系数化为1，再正确计算需要添加的常数项，掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.用配方法解方程.
(1)$x^2 -8x +1=0$.
(2)$4x^2 -4x +1=9$.
(1)$x^2 -8x +1=0$.
(2)$4x^2 -4x +1=9$.
答案
5.(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$.
(2)$x_1=2,x_2=-1$.
(2)$x_1=2,x_2=-1$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再用直接开平方法求解，通用解题步骤为：①移项，将常数项移到方程右侧；②若二次项系数不为1，先把二次项系数化为1；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。第(1)题二次项系数已经是1，直接按步骤移项、配方即可；第(2)题先移项、把二次项系数化为1后再配方计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -8x +1=0$
第一步：移项，将常数项移到右侧，得$x^2 -8x = -1$
第二步：配方，一次项系数为$-8$，它的一半的平方为$(-4)^2=16$，方程两边同时加16，得
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
整理得$(x-4)^2=15$
第三步：开平方，得$x-4=\pm\sqrt{15}$
解得$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$
(2) 解方程$4x^2 -4x +1=9$
第一步：移项整理，得$4x^2 -4x = 8$
第二步：二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得$x^2 -x = 2$
第三步：配方，一次项系数为$-1$，它的一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$，得
$x^2 -x +\frac{1}{4} = 2 +\frac{1}{4}$
整理得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$
第四步：开平方，得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$
解得$x_1=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$，$x_2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$
(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的操作流程，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的数，保证等式成立，开平方时不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再用直接开平方法求解，通用解题步骤为：①移项，将常数项移到方程右侧；②若二次项系数不为1，先把二次项系数化为1；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。第(1)题二次项系数已经是1，直接按步骤移项、配方即可；第(2)题先移项、把二次项系数化为1后再配方计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -8x +1=0$
第一步：移项，将常数项移到右侧，得$x^2 -8x = -1$
第二步：配方，一次项系数为$-8$，它的一半的平方为$(-4)^2=16$，方程两边同时加16，得
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
整理得$(x-4)^2=15$
第三步：开平方，得$x-4=\pm\sqrt{15}$
解得$x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$
(2) 解方程$4x^2 -4x +1=9$
第一步：移项整理，得$4x^2 -4x = 8$
第二步：二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得$x^2 -x = 2$
第三步：配方，一次项系数为$-1$，它的一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$，得
$x^2 -x +\frac{1}{4} = 2 +\frac{1}{4}$
整理得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$
第四步：开平方，得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$
解得$x_1=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$，$x_2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$
(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的操作流程，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的数，保证等式成立，开平方时不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
6.用配方法解方程$x^2 -4x +1=0$时，把方程变为$(x+h)^2 =k$的形式，则$h$，$k$的值分别是（
A.$2,17$
B.$-2,15$
C.$2,5$
D.$-2,3$
D
）。A.$2,17$
B.$-2,15$
C.$2,5$
D.$-2,3$
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步将方程的常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后将得到的式子与$(x+h)^2 =k$的形式对比，即可确定$h$、$k$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -1$
2. 配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -1 +4$
3. 等号左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x-2)^2 = 3$，可变形为$(x + (-2))^2 = 3$
对比$(x+h)^2 =k$的形式，可得$h=-2$，$k=3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的基本操作流程，熟练掌握“移项、配方、变形”的步骤，计算时注意符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步将方程的常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后将得到的式子与$(x+h)^2 =k$的形式对比，即可确定$h$、$k$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = -1$
2. 配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -1 +4$
3. 等号左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x-2)^2 = 3$，可变形为$(x + (-2))^2 = 3$
对比$(x+h)^2 =k$的形式，可得$h=-2$，$k=3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的基本操作流程，熟练掌握“移项、配方、变形”的步骤，计算时注意符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
7.已知方程$x^2 -6x + q =0$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，则q的值是
2
.答案
7.2
解析
【分析】
要解这道题，我们可以先对给定的一元二次方程用配方法变形，再将变形后的式子和题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$对比，通过对应项相等建立关于q的方程，求解即可得到q的值。配方法的核心步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 -6x = -q$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
将左侧整理为完全平方式：$(x-3)^2 = 9 - q$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，对比两个式子可得：
$9 - q =7$
解得：$q=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可顺利解题，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以先对给定的一元二次方程用配方法变形，再将变形后的式子和题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$对比，通过对应项相等建立关于q的方程，求解即可得到q的值。配方法的核心步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 -6x = -q$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
将左侧整理为完全平方式：$(x-3)^2 = 9 - q$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，对比两个式子可得：
$9 - q =7$
解得：$q=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可顺利解题，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
8.用配方法解关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$，配方后的方程为
$(x-1)^2=m+1$
。答案
8.$(x-1)^2=m+1$
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路清晰：首先将方程中不含未知数的常数项移到等号右侧，仅保留含x的二次项和一次项在左侧；再根据完全平方公式的结构特征，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，得到配方后的方程。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - m = 0$移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = m$
一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给等号左右两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x-1)^2$，因此配方后的方程为：
$(x-1)^2 = m + 1$
【答案】
$(x-1)^2=m+1$
【知识点】
配方法；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意给左侧配方时，等号右侧需要加相同的数，避免漏加出错。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路清晰：首先将方程中不含未知数的常数项移到等号右侧，仅保留含x的二次项和一次项在左侧；再根据完全平方公式的结构特征，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，得到配方后的方程。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - m = 0$移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = m$
一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给等号左右两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x-1)^2$，因此配方后的方程为：
$(x-1)^2 = m + 1$
【答案】
$(x-1)^2=m+1$
【知识点】
配方法；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意给左侧配方时，等号右侧需要加相同的数，避免漏加出错。
【难度系数】
0.8
