登录
1.用配方法解一元二次方程$x^2 -12x=7$时，方程两边同时(
A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
C
)。A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心步骤：本题已经完成了常数项移到等号右侧的步骤，得到$x^2 -12x=7$，接下来需要给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左边配成完全平方式，我们只需计算出一次项系数一半的平方，就能确定需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，需在方程两边同时加一次项系数一半的平方。
本题方程$x^2 -12x=7$的一次项系数为$-12$，
一次项系数一半的平方为：$(\dfrac{-12}{2})^2=(-6)^2=36$，
因此方程两边同时加36，就可将左边配成完全平方式$(x-6)^2$，符合配方法要求。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法的基本操作规则，配方法是解一元二次方程的常用方法，也是后续二次函数求顶点等内容的基础，需要熟练掌握其操作步骤。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心步骤：本题已经完成了常数项移到等号右侧的步骤，得到$x^2 -12x=7$，接下来需要给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左边配成完全平方式，我们只需计算出一次项系数一半的平方，就能确定需要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，需在方程两边同时加一次项系数一半的平方。
本题方程$x^2 -12x=7$的一次项系数为$-12$，
一次项系数一半的平方为：$(\dfrac{-12}{2})^2=(-6)^2=36$，
因此方程两边同时加36，就可将左边配成完全平方式$(x-6)^2$，符合配方法要求。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法的基本操作规则，配方法是解一元二次方程的常用方法，也是后续二次函数求顶点等内容的基础，需要熟练掌握其操作步骤。
【难度系数】
0.9
2.用配方法解方程$x^2 -4x +2=0$，下列配方正确的是(
A.$(x-2)^2=2$
B.$(x+2)^2=2$
C.$(x-2)^2=-2$
D.$(x-2)^2=6$
A
).A.$(x-2)^2=2$
B.$(x+2)^2=2$
C.$(x-2)^2=-2$
D.$(x-2)^2=6$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断哪个配方正确，需按照配方法的步骤逐步推导：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理结果对比选项即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 4x = -2$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
第三步：将左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得：
$(x-2)^2 = 2$
对比选项，A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方式”的步骤，属于一元二次方程解法的常规基础题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个配方正确，需按照配方法的步骤逐步推导：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理结果对比选项即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 4x = -2$
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
第三步：将左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得：
$(x-2)^2 = 2$
对比选项，A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方式”的步骤，属于一元二次方程解法的常规基础题。
【难度系数】
0.8
3.一元二次方程$x^2 + 6x + n = 0$配方变形为$(x+3)^2 = 2$，则$n$的值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
B
）.A.7
B.8
C.9
D.10
答案
3.A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，回忆配方法的步骤，先将原方程移项，再给等式两边加上一次项系数一半的平方完成配方，结合已知的配方结果建立关于n的方程求解；思路二，直接将配方后的方程展开整理，与原一元二次方程对比常数项即可得到n的值，两种方法均围绕配方法的原理展开，计算难度较低。
【解析】
方法1：利用配方法过程推导
原方程为$x^2 + 6x + n = 0$，
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 6x = -n$，
第二步，配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，可得：
$x^2 + 6x +9 = -n +9$，即$(x+3)^2 = 9 -n$，
由题知配方结果为$(x+3)^2=2$，因此有$9 -n =2$，
解得$n=9-2=7$。
方法2：展开配方后方程对比
将$(x+3)^2=2$用完全平方公式展开得：$x^2 +6x +9 =2$，
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 +6x +7=0$，
与原方程$x^2 +6x +n=0$对比，二次项、一次项系数均相等，因此常数项也相等，即$n=7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程 2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，熟悉完全平方公式的结构特征，计算时注意移项变号的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，回忆配方法的步骤，先将原方程移项，再给等式两边加上一次项系数一半的平方完成配方，结合已知的配方结果建立关于n的方程求解；思路二，直接将配方后的方程展开整理，与原一元二次方程对比常数项即可得到n的值，两种方法均围绕配方法的原理展开，计算难度较低。
【解析】
方法1：利用配方法过程推导
原方程为$x^2 + 6x + n = 0$，
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 6x = -n$，
第二步，配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，可得：
$x^2 + 6x +9 = -n +9$，即$(x+3)^2 = 9 -n$，
由题知配方结果为$(x+3)^2=2$，因此有$9 -n =2$，
解得$n=9-2=7$。
方法2：展开配方后方程对比
将$(x+3)^2=2$用完全平方公式展开得：$x^2 +6x +9 =2$，
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 +6x +7=0$，
与原方程$x^2 +6x +n=0$对比，二次项、一次项系数均相等，因此常数项也相等，即$n=7$。
【答案】
A
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程 2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，熟悉完全平方公式的结构特征，计算时注意移项变号的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.用配方法解一元二次方程$4x^2 -4x=1$，下列变形正确的是（
A.$(x-\dfrac{1}{2})^2=0$
B.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-1)^2=\dfrac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=0$
B
）.A.$(x-\dfrac{1}{2})^2=0$
B.$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-1)^2=\dfrac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=0$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的变形，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数不为1的一元二次方程，第一步先将二次项系数化为1，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对原方程$4x^2 -4x=1$进行变形：
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - x = \dfrac{1}{4}$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数$-1$一半的平方，即$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$
左边利用完全平方公式整理，右边计算得：
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{2}$
对比选项，B选项符合变形结果。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，避免因漏除系数或配方计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的变形，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数不为1的一元二次方程，第一步先将二次项系数化为1，第二步在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对原方程$4x^2 -4x=1$进行变形：
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - x = \dfrac{1}{4}$
第二步：配方，方程两边同时加上一次项系数$-1$一半的平方，即$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，得：
$x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}$
左边利用完全平方公式整理，右边计算得：
$(x-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{2}$
对比选项，B选项符合变形结果。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，避免因漏除系数或配方计算错误失分。
【难度系数】
0.8
5.用配方法解方程.
(1)$x^2 -8x +1=0$.
(2)$4x^2 -4x +1=9$.
(1)$x^2 -8x +1=0$.
(2)$4x^2 -4x +1=9$.
答案
5.(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$.
(2)$x_1=2,x_2=-1$.
(2)$x_1=2,x_2=-1$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n\ge0$）的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经为1，可直接移项后配方；第(2)题可按通用步骤计算，也可先识别左边的完全平方结构简化计算。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -8x +1=0$：
第一步：移项，得 $x^2 -8x = -1$
第二步：配方，两边同时加上一次项系数$-8$一半的平方$(-4)^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
整理得 $(x-4)^2 = 15$
第三步：开平方，得 $x-4 = \pm\sqrt{15}$
解得 $x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$
(2) 解方程$4x^2 -4x +1=9$：
第一步：观察左边符合完全平方形式，原方程可整理为：
$(2x-1)^2=9$
第二步：开平方，得 $2x-1 = \pm3$
第三步：求解：
当$2x-1=3$时，$2x=4$，$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，$x=-1$
即$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，对于结构特殊的方程可先观察是否符合完全平方形式，能简化计算过程，注意开平方时不要漏掉负根。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n\ge0$）的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经为1，可直接移项后配方；第(2)题可按通用步骤计算，也可先识别左边的完全平方结构简化计算。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -8x +1=0$：
第一步：移项，得 $x^2 -8x = -1$
第二步：配方，两边同时加上一次项系数$-8$一半的平方$(-4)^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = -1 +16$
整理得 $(x-4)^2 = 15$
第三步：开平方，得 $x-4 = \pm\sqrt{15}$
解得 $x_1=4+\sqrt{15}$，$x_2=4-\sqrt{15}$
(2) 解方程$4x^2 -4x +1=9$：
第一步：观察左边符合完全平方形式，原方程可整理为：
$(2x-1)^2=9$
第二步：开平方，得 $2x-1 = \pm3$
第三步：求解：
当$2x-1=3$时，$2x=4$，$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，$x=-1$
即$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=4+\sqrt{15},x_2=4-\sqrt{15}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，对于结构特殊的方程可先观察是否符合完全平方形式，能简化计算过程，注意开平方时不要漏掉负根。
【难度系数】
0.8
6.用配方法解方程$x^2 -4x +1=0$时，把方程变为$(x+h)^2 =k$的形式，则$h$，$k$的值分别是（
A.$2,17$
B.$-2,15$
C.$2,5$
D.$-2,3$
D
）。A.$2,17$
B.$-2,15$
C.$2,5$
D.$-2,3$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法的标准步骤对原方程变形，再和目标形式$(x+h)^2=k$对比得到$h$、$k$的值。思考路径如下：第一步，先将原方程的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步，根据完全平方公式的结构，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步，将左侧整理成$(x+h)^2$的形式，对比对应项即可求出$h$和$k$。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 4x = -1$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -1 +4$
3. 左侧写成完全平方形式：$(x-2)^2=3$，变形为$(x+(-2))^2=3$
对比$(x+h)^2=k$，可得$h=-2$，$k=3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意一次项系数的符号，避免出现$h$符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照配方法的标准步骤对原方程变形，再和目标形式$(x+h)^2=k$对比得到$h$、$k$的值。思考路径如下：第一步，先将原方程的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步，根据完全平方公式的结构，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步，将左侧整理成$(x+h)^2$的形式，对比对应项即可求出$h$和$k$。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 4x = -1$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = -1 +4$
3. 左侧写成完全平方形式：$(x-2)^2=3$，变形为$(x+(-2))^2=3$
对比$(x+h)^2=k$，可得$h=-2$，$k=3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，注意一次项系数的符号，避免出现$h$符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.7
7.已知方程$x^2 -6x + q =0$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，则q的值是
2
.答案
7.2
解析
【分析】
要求q的值，我们可以结合配方法的步骤对原方程进行配方，再和题目给出的配方后形式对应建立方程求解。首先回忆配方法的操作：先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，得到的配方结果和已知的$(x-p)^2=7$对比，即可求出q的值。
【解析】
对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -q$
2. 配方，给等式两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$3^2=9$：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
整理得：$(x-3)^2 = 9 - q$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此对应可得$9 - q =7$，解得：
$q=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，重点考查对配方法操作步骤的掌握，熟练掌握配方规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求q的值，我们可以结合配方法的步骤对原方程进行配方，再和题目给出的配方后形式对应建立方程求解。首先回忆配方法的操作：先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，得到的配方结果和已知的$(x-p)^2=7$对比，即可求出q的值。
【解析】
对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -q$
2. 配方，给等式两边同时加一次项系数$-6$一半的平方，即$3^2=9$：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
整理得：$(x-3)^2 = 9 - q$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此对应可得$9 - q =7$，解得：
$q=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，重点考查对配方法操作步骤的掌握，熟练掌握配方规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.用配方法解关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$，配方后的方程为
$(x-1)^2=m+1$
。答案
8.$(x-1)^2=m+1$
解析
【分析】
要使用配方法解一元二次方程，首先明确配方法的核心步骤：①将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式。本题中先移项把常数项$-m$移到右侧，再计算一次项系数$-2$的一半的平方是1，两边同时加1即可完成配方。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = m$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，给等式左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
第三步：将左侧写成完全平方形式，即：
$(x-1)^2 = m + 1$
【答案】
$(x-1)^2=m+1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边要同时加相同的数保证等式成立，熟练掌握步骤后可快速完成配方。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解一元二次方程，首先明确配方法的核心步骤：①将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式。本题中先移项把常数项$-m$移到右侧，再计算一次项系数$-2$的一半的平方是1，两边同时加1即可完成配方。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = m$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，给等式左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = m + 1$
第三步：将左侧写成完全平方形式，即：
$(x-1)^2 = m + 1$
【答案】
$(x-1)^2=m+1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时等式两边要同时加相同的数保证等式成立，熟练掌握步骤后可快速完成配方。
【难度系数】
0.8
