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9.用直接开平方法解方程.
(1) $64(x-1)^2 -100=0$.
(2) $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$.
(3) $(3x+1)^2=\frac{1}{4}(2x-1)^2$.
(4) $(x-1)^2 -4(x-1)=-4$.
(1) $64(x-1)^2 -100=0$.
(2) $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$.
(3) $(3x+1)^2=\frac{1}{4}(2x-1)^2$.
(4) $(x-1)^2 -4(x-1)=-4$.
答案
9.(1)移项,并将二次项系数化为1,得$(x-1)^2=\frac{25}{16}$,
由此可得$x-1=\frac{5}{4}$,或$x-1=-\frac{5}{4}$,
即$x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$.
(2)左边写成完全平方式,得$(x-3)^2=(5-2x)^2$,
由此可得$x-3=5-2x$,或$x-3=-(5-2x)$,
即$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$.
(3)开平方,得$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$,或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$,
即$x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$.
(4)移项,得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$,
配方,得$(x-1-2)^2=0$,
即$(x-3)^2=0$,
由此可得$x_1=x_2=3$.
由此可得$x-1=\frac{5}{4}$,或$x-1=-\frac{5}{4}$,
即$x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$.
(2)左边写成完全平方式,得$(x-3)^2=(5-2x)^2$,
由此可得$x-3=5-2x$,或$x-3=-(5-2x)$,
即$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$.
(3)开平方,得$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$,或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$,
即$x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$.
(4)移项,得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$,
配方,得$(x-1-2)^2=0$,
即$(x-3)^2=0$,
由此可得$x_1=x_2=3$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再开平方降次为两个一元一次方程求解，各小问解题思路如下：
(1) 先将常数项移到等号右侧，再将$(x-1)^2$的系数化为1，最后开平方得到两个一次方程求解；
(2) 先将左侧整理为完全平方式，此时等号两侧均为完全平方形式，直接开平方即可降次求解；
(3) 等号两侧均为非负的完全平方形式，直接开平方，注意右侧需考虑正负两种情况，再解对应的一次方程；
(4) 将$(x-1)$看作整体，移项后用完全平方公式配方，得到完全平方式等于0的形式，再开平方求解。
【解析】
(1) 移项得$64(x-1)^2=100$，将二次项系数化为1，得$(x-1)^2=\frac{25}{16}$，开平方得$x-1=\pm\frac{5}{4}$，即$x-1=\frac{5}{4}$或$x-1=-\frac{5}{4}$，解得对应根。
(2) 左侧用完全平方公式整理得$(x-3)^2=(5-2x)^2$，开平方得$x-3=\pm(5-2x)$，即$x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，分别解两个一元一次方程得对应根。
(3) 开平方得$3x+1=\pm\frac{1}{2}(2x-1)$，即$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$，分别去括号、移项求解一次方程得对应根。
(4) 移项得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$，将$(x-1)$看作整体，用完全平方公式配方得$(x-1-2)^2=0$，即$(x-3)^2=0$，开平方得重根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$
(2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(3) $x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$
(4) $x_1=x_2=3$
【知识点】
直接开平方法；完全平方公式；整体思想解方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练将方程转化为可开平方的完全平方形式，开平方时要注意正负两种情况避免漏解，遇到含相同整体的式子优先用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再开平方降次为两个一元一次方程求解，各小问解题思路如下：
(1) 先将常数项移到等号右侧，再将$(x-1)^2$的系数化为1，最后开平方得到两个一次方程求解；
(2) 先将左侧整理为完全平方式，此时等号两侧均为完全平方形式，直接开平方即可降次求解；
(3) 等号两侧均为非负的完全平方形式，直接开平方，注意右侧需考虑正负两种情况，再解对应的一次方程；
(4) 将$(x-1)$看作整体，移项后用完全平方公式配方，得到完全平方式等于0的形式，再开平方求解。
【解析】
(1) 移项得$64(x-1)^2=100$，将二次项系数化为1，得$(x-1)^2=\frac{25}{16}$，开平方得$x-1=\pm\frac{5}{4}$，即$x-1=\frac{5}{4}$或$x-1=-\frac{5}{4}$，解得对应根。
(2) 左侧用完全平方公式整理得$(x-3)^2=(5-2x)^2$，开平方得$x-3=\pm(5-2x)$，即$x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，分别解两个一元一次方程得对应根。
(3) 开平方得$3x+1=\pm\frac{1}{2}(2x-1)$，即$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$，分别去括号、移项求解一次方程得对应根。
(4) 移项得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$，将$(x-1)$看作整体，用完全平方公式配方得$(x-1-2)^2=0$，即$(x-3)^2=0$，开平方得重根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$
(2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(3) $x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$
(4) $x_1=x_2=3$
【知识点】
直接开平方法；完全平方公式；整体思想解方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练将方程转化为可开平方的完全平方形式，开平方时要注意正负两种情况避免漏解，遇到含相同整体的式子优先用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.8
10.已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求$△ ABC$的周长.
答案
10.$\because (x-3)^2=1,\therefore x-3=\pm1$,解得$x_1=4,x_2=2$.
一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，
当底边长为4,腰长为2时,4=2+2,此时不能构成三角形；
当底边长为2,腰长为4时,可以构成三角形.
$\therefore △ ABC$的周长为$2+4+4=10$.
一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，
当底边长为4,腰长为2时,4=2+2,此时不能构成三角形；
当底边长为2,腰长为4时,可以构成三角形.
$\therefore △ ABC$的周长为$2+4+4=10$.
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步因为两个根分别对应等腰三角形的底边长和腰长，需要分两种情况讨论底和腰的取值，每种情况都要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，排除不符合的情况；第三步将符合条件的三边长度相加，即可得到三角形周长。
【解析】
解：先解方程$(x-3)^2=1$，
两边开平方得：$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
∵方程的两个解分别是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，分两种情况讨论：
①当底边长为4，腰长为2时，
∵$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此不能构成三角形，该情况舍去；
②当底边长为2，腰长为4时，
∵$2+4＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于一元二次方程和三角形性质的综合基础题，解题的易错点是分类讨论后忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，导致多算错误的周长结果，养成分类讨论后验证合理性的习惯即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步因为两个根分别对应等腰三角形的底边长和腰长，需要分两种情况讨论底和腰的取值，每种情况都要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，排除不符合的情况；第三步将符合条件的三边长度相加，即可得到三角形周长。
【解析】
解：先解方程$(x-3)^2=1$，
两边开平方得：$x-3=\pm1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
∵方程的两个解分别是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，分两种情况讨论：
①当底边长为4，腰长为2时，
∵$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此不能构成三角形，该情况舍去；
②当底边长为2，腰长为4时，
∵$2+4＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于一元二次方程和三角形性质的综合基础题，解题的易错点是分类讨论后忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，导致多算错误的周长结果，养成分类讨论后验证合理性的习惯即可避免出错。
【难度系数】
0.7
11.对于一元二次方程,我国古代数学家研究过其几何解法.以解方程$x^2+8x=48$为例:如图,先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$2x$的矩形,最后补上四个边长为2的小正方形,得到一个大正方形,其面积为$48+4×2×2=64$,边长为$x+4$,则$(x+4)^2=64$,故方程的正数解为$x=4$.尝试用此方法求方程$x^2+12x-108=0$的正数解.
答案
11.$\because x^2+12x-108=0,\therefore x^2+12x=108$.
先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$3x$的矩形,最后补上四个边长为3的小正方形,得到一个大正方形,其边长为$x+6$,面积为$108+4×3×3=144$,则$(x+6)^2=144$,故方程的正数解为$x=6$.
先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$3x$的矩形,最后补上四个边长为3的小正方形,得到一个大正方形,其边长为$x+6$,面积为$108+4×3×3=144$,则$(x+6)^2=144$,故方程的正数解为$x=6$.
解析
【分析】
这是一道利用几何构造理解配方法、求解一元二次方程的题目，解题思路可参考给出的例题步骤：首先将待解方程变形为$x^2+bx=c$的形式；再根据一次项系数$b$确定构造的四个矩形的面积，进而得到矩形短边的长度，也就是四个角需要补充的小正方形的边长；最后计算拼接后大正方形的面积，结合大正方形边长的表达式列出完全平方形式的方程，开方后取正数值即为方程的正数解。
【解析】
解：先对$x^2+12x-108=0$移项，得$x^2+12x=108$。
类比题中的构造方法：先构造面积为$x^2$的正方形，再以正方形的边为一边构造四个面积为$3x$的矩形，四个矩形总面积为$12x$，对应方程的一次项，此时四个角空缺的是边长为3的小正方形，补上四个小正方形后得到的大正方形边长为$x+2×3=x+6$。
大正方形的面积等于原有图形面积与四个小正方形面积之和，因此：
$(x+6)^2=108+4×3×3$
计算得$(x+6)^2=144$
开平方得$x+6=\pm12$，舍去负解，取正数解得$x=6$。
【答案】
$x=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式的几何意义
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，通过直观的面积构造帮助理解配方法的本质，重点考查阅读理解和方法迁移能力，掌握材料中的构造逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用几何构造理解配方法、求解一元二次方程的题目，解题思路可参考给出的例题步骤：首先将待解方程变形为$x^2+bx=c$的形式；再根据一次项系数$b$确定构造的四个矩形的面积，进而得到矩形短边的长度，也就是四个角需要补充的小正方形的边长；最后计算拼接后大正方形的面积，结合大正方形边长的表达式列出完全平方形式的方程，开方后取正数值即为方程的正数解。
【解析】
解：先对$x^2+12x-108=0$移项，得$x^2+12x=108$。
类比题中的构造方法：先构造面积为$x^2$的正方形，再以正方形的边为一边构造四个面积为$3x$的矩形，四个矩形总面积为$12x$，对应方程的一次项，此时四个角空缺的是边长为3的小正方形，补上四个小正方形后得到的大正方形边长为$x+2×3=x+6$。
大正方形的面积等于原有图形面积与四个小正方形面积之和，因此：
$(x+6)^2=108+4×3×3$
计算得$(x+6)^2=144$
开平方得$x+6=\pm12$，舍去负解，取正数解得$x=6$。
【答案】
$x=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式的几何意义
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，通过直观的面积构造帮助理解配方法的本质，重点考查阅读理解和方法迁移能力，掌握材料中的构造逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
