9.用直接开平方法解方程.
(1) $64(x-1)^2 -100=0$.
(2) $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$.
(3) $(3x+1)^2=\frac{1}{4}(2x-1)^2$.
(4) $(x-1)^2 -4(x-1)=-4$.

9.(1)移项,并将二次项系数化为1,得$(x-1)^2=\frac{25}{16}$,
由此可得$x-1=\frac{5}{4}$,或$x-1=-\frac{5}{4}$,
即$x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$.
(2)左边写成完全平方式,得$(x-3)^2=(5-2x)^2$,
由此可得$x-3=5-2x$,或$x-3=-(5-2x)$,
即$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$.
(3)开平方,得$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$,或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$,
即$x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$.
(4)移项,得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$,
配方,得$(x-1-2)^2=0$,
即$(x-3)^2=0$,
由此可得$x_1=x_2=3$.

【分析】
直接开平方法的核心是将方程变形为“(含未知数的完全平方式)²=非负常数”的形式，再利用平方根的定义开平方转化为两个一元一次方程求解。各小题思考路径如下：
(1)先将常数项移到等号右侧，再把$(x-1)^2$的系数化为1，得到可开平方的标准形式后求解；
(2)先把左侧二次三项式用完全平方公式变形，此时等号左右均为完全平方式，开平方时注意右侧需考虑正负两种情况，再分别解一元一次方程；
(3)等号两边均为完全平方式，直接开平方后注意右侧系数和正负号共同参与运算，再求解；
(4)将$(x-1)$看作整体，移项后左侧可化为完全平方式且右侧为0，开平方后得到重根。
【解析】
(1) 移项得$64(x-1)^2=100$，将二次项系数化为1，得$(x-1)^2=\frac{25}{16}$，
根据平方根定义得$x-1=\frac{5}{4}$或$x-1=-\frac{5}{4}$，
解得$x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$。
(2) 左侧用完全平方公式变形得$(x-3)^2=(5-2x)^2$，
开平方得$x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，
解第一个方程：$3x=8$，得$x=\frac{8}{3}$；解第二个方程：$-x=-2$，得$x=2$，
即$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$。
(3) 开平方得$3x+1=\frac{1}{2}(2x-1)$或$3x+1=-\frac{1}{2}(2x-1)$，
解第一个方程：$2x=-\frac{3}{2}$，得$x=-\frac{3}{4}$；解第二个方程：$4x=-\frac{1}{2}$，得$x=-\frac{1}{8}$，
即$x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$。
(4) 移项得$(x-1)^2-4(x-1)+4=0$，
将$(x-1)$看作整体配方得$(x-1-2)^2=0$，即$(x-3)^2=0$，
开平方得$x-3=0$，即$x_1=x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{9}{4},x_2=-\frac{1}{4}$
(2) $x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(3) $x_1=-\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{8}$
(4) $x_1=x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、整体思想
【点评】
这是直接开平方法解一元二次方程的经典题型组，覆盖了该方法的所有常见考法，能有效训练该方法的应用能力，解题时需注意开平方不要遗漏负根，重根要规范书写。
【难度系数】
0.75

10.已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求$△ ABC$的周长.

10.$\because (x-3)^2=1,\therefore x-3=\pm1$,解得$x_1=4,x_2=2$.
一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，
当底边长为4,腰长为2时,4=2+2,此时不能构成三角形；
当底边长为2,腰长为4时,可以构成三角形.
$\therefore △ ABC$的周长为$2+4+4=10$.

【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个根；结合题目说明两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，此时需要分类讨论两种情况：①第一个根为底边长，第二个根为腰长；②第二个根为底边长，第一个根为腰长；每种情况都需要用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$(x-3)^2=1$，
两边直接开平方得：$x-3=\pm1$，
移项解得：$x_1=4$，$x_2=2$。
第二步：结合等腰三角形的性质分类讨论：
情况1：若底边长为4，腰长为2，
此时三边长度为2、2、4，
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 该情况不能构成三角形，舍去。
情况2：若底边长为2，腰长为4，
此时三边长度为2、4、4，
$\because 2+4＞4$，满足三角形三边关系，
$\therefore$ 该情况成立，三角形周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将方程求解和三角形相关知识结合考查，解题时需注意要对等腰三角形的底和腰进行分类讨论，同时不能忽略验证三边是否满足构成三角形的条件，避免得出错误结果。
【难度系数】
0.7

11.对于一元二次方程,我国古代数学家研究过其几何解法.以解方程$x^2+8x=48$为例:如图,先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$2x$的矩形,最后补上四个边长为2的小正方形,得到一个大正方形,其面积为$48+4×2×2=64$,边长为$x+4$,则$(x+4)^2=64$,故方程的正数解为$x=4$.尝试用此方法求方程$x^2+12x-108=0$的正数解.

11.$\because x^2+12x-108=0,\therefore x^2+12x=108$.
先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$3x$的矩形,最后补上四个边长为3的小正方形,得到一个大正方形,其边长为$x+6$,面积为$108+4×3×3=144$,则$(x+6)^2=144$,故方程的正数解为$x=6$.

【分析】
解题时首先参考题干给出的几何配方法思路，第一步先将方程整理为$x^2+bx=c$的形式，再根据一次项系数确定四个矩形的面积及对应宽度：一次项系数是4个矩形的面积和，因此每个矩形面积为一次项除以4，可得矩形的另一边长，也就是后续补的小正方形的边长；接着计算四个小正方形的总面积，将其与方程右侧的常数相加即可得到拼成的大正方形的面积；再根据大正方形的边长等于原小正方形边长加两倍的小正方形边长，列出完全平方形式的等式，最后开方取正数解即可。
【解析】
$\because x^2+12x-108=0,\therefore x^2+12x=108$.
先构造一个面积为$x^2$的正方形，再以正方形的边为矩形的一边构造四个面积为$3x$的矩形，最后补上四个边长为3的小正方形，得到一个大正方形，其边长为$x+6$，面积为$108+4×3×3=144$，则$(x+6)^2=144$，因为x为正数，所以$x+6=12$，解得$x=6$。
【答案】
$x=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程的解
【点评】
本题结合古代几何解法考查配方法的应用，将代数运算与几何面积相结合，能帮助直观理解配方法的原理，解题核心是找准配方时需要添加的常数项，结合面积关系列出等式即可求解。
【难度系数】
0.7