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1.一元二次方程$x^2 -1=0$的解是（
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
C
）.A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的基础解法，观察方程结构可知没有一次项，可选择直接开平方法或因式分解法求解。若用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对两侧同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏解；若用因式分解法，可利用平方差公式分解左侧多项式，将二次方程转化为两个一次方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：直接开平方法
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2=1$
2. 对等式两边同时开平方，得$x=\pm1$
即方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$
方法二：因式分解法
1. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将方程左侧分解因式，得$(x+1)(x-1)=0$
2. 根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，可得$x+1=0$或$x-1=0$
3. 分别解两个一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=1$
综上，方程的解为$x_1=1,x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 直接开平方法 3. 因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，主要考查对一元二次方程基础解法的掌握，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的基础解法，观察方程结构可知没有一次项，可选择直接开平方法或因式分解法求解。若用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对两侧同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏解；若用因式分解法，可利用平方差公式分解左侧多项式，将二次方程转化为两个一次方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：直接开平方法
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2=1$
2. 对等式两边同时开平方，得$x=\pm1$
即方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$
方法二：因式分解法
1. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将方程左侧分解因式，得$(x+1)(x-1)=0$
2. 根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，可得$x+1=0$或$x-1=0$
3. 分别解两个一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=1$
综上，方程的解为$x_1=1,x_2=-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 直接开平方法 3. 因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，主要考查对一元二次方程基础解法的掌握，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x-2)^2=9$的解是（
A.$x_1=5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=11,x_2=-7$
D.$x_1=-11,x_2=-7$
A
）.A.$x_1=5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=11,x_2=-7$
D.$x_1=-11,x_2=-7$
答案
2.A
解析
【分析】
观察方程结构，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先依据平方根的定义，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对等式$(x-2)^2=9$两边直接开平方，可得：
$x-2=\pm\sqrt{9}$，即$x-2=\pm3$
分两种情况计算：
① 当$x-2=3$时，解得$x=3+2=5$；
② 当$x-2=-3$时，解得$x=-3+2=-1$。
因此原方程的解为$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，解题核心是识别方程的适用形式，通过降次将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
观察方程结构，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先依据平方根的定义，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对等式$(x-2)^2=9$两边直接开平方，可得：
$x-2=\pm\sqrt{9}$，即$x-2=\pm3$
分两种情况计算：
① 当$x-2=3$时，解得$x=3+2=5$；
② 当$x-2=-3$时，解得$x=-3+2=-1$。
因此原方程的解为$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，解题核心是识别方程的适用形式，通过降次将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
3.用直接开平方法解方程$(x-3)^2=8$，得方程的根为(
A.$x=3+2\sqrt{3}$
B.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
C.$x=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
B
).A.$x=3+2\sqrt{3}$
B.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
C.$x=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察方程形式，左边是含未知数的一次式的平方，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先把$(x-3)$看作整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解后将二次根式化为最简形式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$(x-3)^2=8$两边直接开平方，得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此可得两个一元一次方程：
$x-3=2\sqrt{2}$ 或 $x-3=-2\sqrt{2}$
分别求解得：
$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的运用，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏根，同时要熟练掌握二次根式的化简规则，防止因化简错误丢分。
【难度系数】
0.85
首先观察方程形式，左边是含未知数的一次式的平方，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先把$(x-3)$看作整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解后将二次根式化为最简形式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$(x-3)^2=8$两边直接开平方，得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此可得两个一元一次方程：
$x-3=2\sqrt{2}$ 或 $x-3=-2\sqrt{2}$
分别求解得：
$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的运用，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏根，同时要熟练掌握二次根式的化简规则，防止因化简错误丢分。
【难度系数】
0.85
4.关于$x$的一元二次方程$(x+2)^2=p$有实数根，则$p$的取值范围是（
A.$p＞0$
B.$p≥0$
C.全体实数
D.无法确定
B
）.A.$p＞0$
B.$p≥0$
C.全体实数
D.无法确定
答案
4.B
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：一是利用平方的固有性质，任意实数的平方都是非负数，方程左边是$(x+2)$的平方，取值必然大于等于0，因此右边的$p$需要满足同等条件才能让方程有实数解；二是可以把方程整理为一元二次方程的一般形式，结合一元二次方程有实根时判别式$\Delta≥0$的规则计算$p$的范围，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x+2)^2≥0$。
要使一元二次方程$(x+2)^2=p$有实数根，等式右边的$p$需要满足$p≥0$。
方法二：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+4x+4-p=0$
一元二次方程有实根的条件是判别式$\Delta≥0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=4-p$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=4^2-4×1×(4-p)=16-16+4p=4p$
令$\Delta≥0$，即$4p≥0$，解得$p≥0$。
综上，$p$的取值范围是$p≥0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都围绕核心基础知识点展开，既可以用平方性质快速得到答案，也可以通过判别式计算验证，重点考查对基础定理、性质的熟练运用能力。
【难度系数】
0.9
解题可从两个思路入手：一是利用平方的固有性质，任意实数的平方都是非负数，方程左边是$(x+2)$的平方，取值必然大于等于0，因此右边的$p$需要满足同等条件才能让方程有实数解；二是可以把方程整理为一元二次方程的一般形式，结合一元二次方程有实根时判别式$\Delta≥0$的规则计算$p$的范围，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：根据平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$(x+2)^2≥0$。
要使一元二次方程$(x+2)^2=p$有实数根，等式右边的$p$需要满足$p≥0$。
方法二：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+4x+4-p=0$
一元二次方程有实根的条件是判别式$\Delta≥0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=4-p$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=4^2-4×1×(4-p)=16-16+4p=4p$
令$\Delta≥0$，即$4p≥0$，解得$p≥0$。
综上，$p$的取值范围是$p≥0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都围绕核心基础知识点展开，既可以用平方性质快速得到答案，也可以通过判别式计算验证，重点考查对基础定理、性质的熟练运用能力。
【难度系数】
0.9
5.解方程.
(1) $(x+6)^2 -9=0$.
(2) $(2x-1)^2=16$.
(1) $(x+6)^2 -9=0$.
(2) $(2x-1)^2=16$.
答案
5.(1)$x_1=-3,x_2=-9$.
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题两个一元二次方程均符合“完全平方式=非负数”的结构特征，适合采用直接开平方法求解。解题思路为：先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再根据平方根的性质开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，最后分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$(x+6)^2 -9=0$
移项，得：$(x+6)^2=9$
开平方，得：$x+6=\pm3$
即得到两个一元一次方程：$x+6=3$ 或 $x+6=-3$
分别求解：
当$x+6=3$时，解得$x=-3$；
当$x+6=-3$时，解得$x=-9$。
(2) 解方程$(2x-1)^2=16$
开平方，得：$2x-1=\pm4$
即得到两个一元一次方程：$2x-1=4$ 或 $2x-1=-4$
分别求解：
当$2x-1=4$时，$2x=5$，解得$x=\frac{5}{2}$；
当$2x-1=-4$时，$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$；(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是利用直接开平方法实现降次，将二次方程转化为已学的一次方程求解，熟练掌握该方法可为后续学习其他解一元二次方程的方法打下基础。
【难度系数】
0.85
本题两个一元二次方程均符合“完全平方式=非负数”的结构特征，适合采用直接开平方法求解。解题思路为：先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再根据平方根的性质开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，最后分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$(x+6)^2 -9=0$
移项，得：$(x+6)^2=9$
开平方，得：$x+6=\pm3$
即得到两个一元一次方程：$x+6=3$ 或 $x+6=-3$
分别求解：
当$x+6=3$时，解得$x=-3$；
当$x+6=-3$时，解得$x=-9$。
(2) 解方程$(2x-1)^2=16$
开平方，得：$2x-1=\pm4$
即得到两个一元一次方程：$2x-1=4$ 或 $2x-1=-4$
分别求解：
当$2x-1=4$时，$2x=5$，解得$x=\frac{5}{2}$；
当$2x-1=-4$时，$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$；(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是利用直接开平方法实现降次，将二次方程转化为已学的一次方程求解，熟练掌握该方法可为后续学习其他解一元二次方程的方法打下基础。
【难度系数】
0.85
6.方程$\sqrt{2}x^2=\sqrt{8}$的解为（
A.$x=\pm\sqrt{2}$
B.$x=\pm2$
C.$x=\pm\sqrt{3}$
D.$x=\pm4$
A
）.A.$x=\pm\sqrt{2}$
B.$x=\pm2$
C.$x=\pm\sqrt{3}$
D.$x=\pm4$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先化简方程中的二次根式，再将$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的定义求出方程的解，再对应选项即可。本题属于可直接用开平方法求解的一元二次方程，先处理系数和常数项的二次根式是解题的第一步。
【解析】
解：原方程为$\sqrt{2}x^2=\sqrt{8}$
1. 化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此方程可化为：
$\sqrt{2}x^2=2\sqrt{2}$
2. 将$x^2$的系数化为1，方程两边同时除以$\sqrt{2}$，得：
$x^2=2$
3. 根据平方根的定义开平方，得：
$x=\pm\sqrt{2}$
因此方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的化简运算和直接开平方法解一元二次方程的应用，熟练掌握二次根式的性质和平方根的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先化简方程中的二次根式，再将$x^2$的系数化为1，最后根据平方根的定义求出方程的解，再对应选项即可。本题属于可直接用开平方法求解的一元二次方程，先处理系数和常数项的二次根式是解题的第一步。
【解析】
解：原方程为$\sqrt{2}x^2=\sqrt{8}$
1. 化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此方程可化为：
$\sqrt{2}x^2=2\sqrt{2}$
2. 将$x^2$的系数化为1，方程两边同时除以$\sqrt{2}$，得：
$x^2=2$
3. 根据平方根的定义开平方，得：
$x=\pm\sqrt{2}$
因此方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的化简运算和直接开平方法解一元二次方程的应用，熟练掌握二次根式的性质和平方根的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
7.若$(x+3)$与$(x-3)$互为倒数，则$x$的值是
$\pm\sqrt{10}$
。答案
7.$\pm\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时首先根据倒数的性质：互为倒数的两个数乘积为1，列出关于x的等式；观察等式左边是两个二项式相乘，且符合“两数和乘两数差”的形式，可利用平方差公式化简，得到一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵(x+3)与(x-3)互为倒数，
∴(x+3)(x-3)=1，
由平方差公式展开得：$x^2 - 9 = 1$，
移项合并同类项得：$x^2 = 10$，
直接开平方得：$x = ±\sqrt{10}$。
【答案】
$\pm\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握倒数的性质和整式乘法公式，在解一元二次方程时注意不要漏解负根。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据倒数的性质：互为倒数的两个数乘积为1，列出关于x的等式；观察等式左边是两个二项式相乘，且符合“两数和乘两数差”的形式，可利用平方差公式化简，得到一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵(x+3)与(x-3)互为倒数，
∴(x+3)(x-3)=1，
由平方差公式展开得：$x^2 - 9 = 1$，
移项合并同类项得：$x^2 = 10$，
直接开平方得：$x = ±\sqrt{10}$。
【答案】
$\pm\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握倒数的性质和整式乘法公式，在解一元二次方程时注意不要漏解负根。
【难度系数】
0.75
8.若$a$为方程$(x-\sqrt{17})^2=100$的一个根，$b$为方程$(y-4)^2=17$的一个根，且$a$，$b$都是正数，则$a-b=$
6
。答案
8.6
解析
【分析】
本题可通过直接开平方法分别求解两个一元二次方程，再结合a、b均为正数的条件筛选出符合要求的根，最后代入计算a-b的值即可。解题思路如下：第一步，对第一个方程直接开平方，得到a的两个可能取值，根据a是正数排除负根，确定a的值；第二步，对第二个方程直接开平方，得到b的两个可能取值，根据b是正数排除负根，确定b的值；第三步，将a、b的值代入a-b计算结果。
【解析】
1. 求解a的值：
解方程$(x-\sqrt{17})^2=100$，直接开平方得：
$x-\sqrt{17}=\pm10$
移项得$x=\sqrt{17}\pm10$
因为a是正数，$\sqrt{17}-10＜0$不符合要求，故舍去，所以$a=\sqrt{17}+10$。
2. 求解b的值：
解方程$(y-4)^2=17$，直接开平方得：
$y-4=\pm\sqrt{17}$
移项得$y=4\pm\sqrt{17}$
因为b是正数，$4-\sqrt{17}＜0$不符合要求，故舍去，所以$b=4+\sqrt{17}$。
3. 计算a-b：
$a-b=(\sqrt{17}+10)-(4+\sqrt{17})=\sqrt{17}+10-4-\sqrt{17}=6$
【答案】
6
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题的关键是根据a、b为正数的条件正确筛选根，计算时互为相反数的二次根式可相互抵消，降低运算难度。
【难度系数】
0.7
本题可通过直接开平方法分别求解两个一元二次方程，再结合a、b均为正数的条件筛选出符合要求的根，最后代入计算a-b的值即可。解题思路如下：第一步，对第一个方程直接开平方，得到a的两个可能取值，根据a是正数排除负根，确定a的值；第二步，对第二个方程直接开平方，得到b的两个可能取值，根据b是正数排除负根，确定b的值；第三步，将a、b的值代入a-b计算结果。
【解析】
1. 求解a的值：
解方程$(x-\sqrt{17})^2=100$，直接开平方得：
$x-\sqrt{17}=\pm10$
移项得$x=\sqrt{17}\pm10$
因为a是正数，$\sqrt{17}-10＜0$不符合要求，故舍去，所以$a=\sqrt{17}+10$。
2. 求解b的值：
解方程$(y-4)^2=17$，直接开平方得：
$y-4=\pm\sqrt{17}$
移项得$y=4\pm\sqrt{17}$
因为b是正数，$4-\sqrt{17}＜0$不符合要求，故舍去，所以$b=4+\sqrt{17}$。
3. 计算a-b：
$a-b=(\sqrt{17}+10)-(4+\sqrt{17})=\sqrt{17}+10-4-\sqrt{17}=6$
【答案】
6
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题的关键是根据a、b为正数的条件正确筛选根，计算时互为相反数的二次根式可相互抵消，降低运算难度。
【难度系数】
0.7
