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1.一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$的根的判别式的值是（
A.$-7$
B.$25$
C.$\pm5$
D.$5$
B
）.A.$-7$
B.$25$
C.$\pm5$
D.$5$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$，解题步骤为：第一步从给出的方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），尤其要注意系数的正负号；第二步将三个系数代入判别式公式，按照有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$，对应一般形式可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$，
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的掌握程度，解题的易错点是提取系数时忽略符号，只要准确识别各项系数、规范计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$，解题步骤为：第一步从给出的方程中对应找出$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项），尤其要注意系数的正负号；第二步将三个系数代入判别式公式，按照有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$，对应一般形式可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$，
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的掌握程度，解题的易错点是提取系数时忽略符号，只要准确识别各项系数、规范计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
2.关于一元二次方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$的根的情况，下列说法正确的是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
C
).A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
2.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路为：首先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；再将三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的结果；最后根据$\Delta$的正负性对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=\frac{3}{2}$，代入判别式公式计算得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×\frac{3}{2} = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，解题核心是牢记判别式取值与根的三种对应关系，计算时注意系数符号和分数运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路为：首先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；再将三个系数代入判别式公式计算出$\Delta$的结果；最后根据$\Delta$的正负性对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=\frac{3}{2}$，代入判别式公式计算得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×\frac{3}{2} = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，解题核心是牢记判别式取值与根的三种对应关系，计算时注意系数符号和分数运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
3.下列方程中,有两个相等的实数根的是(
A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
B
).A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况判断，可结合直接开平方法的特征分析：对于形如$(x-m)^2 = k$的一元二次方程，根的情况由等号右侧的$k$决定：当$k＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$k=0$时，方程有两个相等的实数根；当$k＜0$时，方程无实数根。解题时只需逐一判断各选项中等号右侧数值的正负或是否为0，即可得出结果。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：等号右侧为$-1＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
B选项：等号右侧为$0$，开方得$x-2=0$，解得$x_1=x_2=2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
C选项：等号右侧为$1＞0$，开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=3,x_2=1$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：等号右侧为$2＞0$，开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判定；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握直接开平方法解方程时，等号右侧常数的取值对应根的三种情况，熟练掌握该知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的情况判断，可结合直接开平方法的特征分析：对于形如$(x-m)^2 = k$的一元二次方程，根的情况由等号右侧的$k$决定：当$k＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$k=0$时，方程有两个相等的实数根；当$k＜0$时，方程无实数根。解题时只需逐一判断各选项中等号右侧数值的正负或是否为0，即可得出结果。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：等号右侧为$-1＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
B选项：等号右侧为$0$，开方得$x-2=0$，解得$x_1=x_2=2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
C选项：等号右侧为$1＞0$，开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=3,x_2=1$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：等号右侧为$2＞0$，开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判定；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握直接开平方法解方程时，等号右侧常数的取值对应根的三种情况，熟练掌握该知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2x -1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k＞-1$
B.$k＞1$
C.$k≠0$
D.$k＞-1$且$k≠0$
D
).A.$k＞-1$
B.$k＞1$
C.$k≠0$
D.$k＞-1$且$k≠0$
答案
4.D
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：首先，方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。分别根据这两个条件求出k的范围后，取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：① 因为$kx^2 + 2x -1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k≠0$；
② 方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 -4ac$（其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$），可得：
$\Delta = 2^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4+4k＞0$，得$k ＞ -1$；
③ 综合两个条件，$k$的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$。
结合题意，本题选择D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、一元一次不等式求解
【点评】
本题是常见易错题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，避免仅通过判别式求解范围而漏看条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：首先，方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。分别根据这两个条件求出k的范围后，取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：① 因为$kx^2 + 2x -1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$k≠0$；
② 方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 -4ac$（其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$），可得：
$\Delta = 2^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4+4k＞0$，得$k ＞ -1$；
③ 综合两个条件，$k$的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$。
结合题意，本题选择D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、一元一次不等式求解
【点评】
本题是常见易错题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，避免仅通过判别式求解范围而漏看条件导致错选。
【难度系数】
0.7
5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+k=0$.
(1)若$k=0$,解此方程.
(2)若方程没有实数根,求$k$的最小整数值.
(1)若$k=0$,解此方程.
(2)若方程没有实数根,求$k$的最小整数值.
答案
5.(1)由条件可知方程为$x^2+2x=0$,
配方,得$(x+1)^2=1$,
由此可得$x+1=\pm1$,$x_1=0$,$x_2=-2$.
(2)由条件可知$\Delta＜0$,即$4-4k＜0$,解得$k＞1$.$\therefore k$的最小整数值为2.
配方,得$(x+1)^2=1$,
由此可得$x+1=\pm1$,$x_1=0$,$x_2=-2$.
(2)由条件可知$\Delta＜0$,即$4-4k＜0$,解得$k＞1$.$\therefore k$的最小整数值为2.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：(1)第一问先将k=0代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用配方法求解即可；(2)第二问已知方程无实根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围后，就能找出符合要求的最小整数值。
【解析】
(1)当k=0时，原方程为$x^2+2x=0$，
配方，得$(x+1)^2=1$，
开方可得$x+1=\pm1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
(2)对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，若方程没有实数根，则$\Delta＜0$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入判别式得：
$2^2-4×1× k＜0$，
即$4-4k＜0$，
解得$k＞1$，
因此k的最小整数值为2。
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=-2$；(2)2
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式的应用，不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，既考查了一元二次方程的求解方法，又考查了根的判别式和根的情况的对应关系，只要熟练掌握相关基础知识点，细心计算就能顺利完成。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路清晰：(1)第一问先将k=0代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用配方法求解即可；(2)第二问已知方程无实根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围后，就能找出符合要求的最小整数值。
【解析】
(1)当k=0时，原方程为$x^2+2x=0$，
配方，得$(x+1)^2=1$，
开方可得$x+1=\pm1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
(2)对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，若方程没有实数根，则$\Delta＜0$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入判别式得：
$2^2-4×1× k＜0$，
即$4-4k＜0$，
解得$k＞1$，
因此k的最小整数值为2。
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=-2$；(2)2
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式的应用，不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，既考查了一元二次方程的求解方法，又考查了根的判别式和根的情况的对应关系，只要熟练掌握相关基础知识点，细心计算就能顺利完成。
【难度系数】
0.85
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有实数根，则$k$的最大整数值是（
A.－3
B.－2
C.2
D.3
C
）.A.－3
B.－2
C.2
D.3
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：判别式Δ≥0；其次对应方程找到a、b、c的取值，代入判别式列出关于k的不等式；最后解不等式得到k的取值范围，从中找出最大整数即可对应选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的等价条件为判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
在方程$x^2+3x+k=0$中，$a=1$，$b=3$，$c=k$，代入判别式可得：
$\Delta = 3^2 - 4×1× k ≥0$
计算化简得：$9-4k≥0$
移项得：$4k≤9$
解得：$k≤2.25$
因此k的取值范围内最大的整数为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，计算时注意不等号方向不要出错，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：判别式Δ≥0；其次对应方程找到a、b、c的取值，代入判别式列出关于k的不等式；最后解不等式得到k的取值范围，从中找出最大整数即可对应选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的等价条件为判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
在方程$x^2+3x+k=0$中，$a=1$，$b=3$，$c=k$，代入判别式可得：
$\Delta = 3^2 - 4×1× k ≥0$
计算化简得：$9-4k≥0$
移项得：$4k≤9$
解得：$k≤2.25$
因此k的取值范围内最大的整数为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，计算时注意不等号方向不要出错，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7.对实数 $ m,n $ 定义运算“*”为 $ m*n = n^2 + 2m $，例如 $ 1*3 = 3^2 + 2×1 = 11 $，则关于 $ x $ 的方程 $ 2*x = x +5 $ 的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
B
)。A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
7.B
解析
【分析】
首先要理解题目给出的新定义运算规则，把“2*x”按照规则转化为普通代数式，再代入已知方程整理成标准的一元二次方程形式，最后通过计算根的判别式Δ的正负，就能判断方程根的情况。
【解析】
根据新定义运算$m*n = n^2 + 2m$，可得：
$2*x = x^2 + 2×2 = x^2 + 4$
将其代入方程$2*x = x +5$，得：
$x^2 + 4 = x + 5$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是正确根据新运算规则将特殊形式的方程转化为常规一元二次方程，再利用判别式的性质判断根的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先要理解题目给出的新定义运算规则，把“2*x”按照规则转化为普通代数式，再代入已知方程整理成标准的一元二次方程形式，最后通过计算根的判别式Δ的正负，就能判断方程根的情况。
【解析】
根据新定义运算$m*n = n^2 + 2m$，可得：
$2*x = x^2 + 2×2 = x^2 + 4$
将其代入方程$2*x = x +5$，得：
$x^2 + 4 = x + 5$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是正确根据新运算规则将特殊形式的方程转化为常规一元二次方程，再利用判别式的性质判断根的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
