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8.若在平面直角坐标系中函数$y=-x+m$的图象不经过第一象限，则关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$有
1或2
个实数根.答案
8.1或2
解析
【分析】
解题时首先根据一次函数的图象性质推导m的取值范围，再对关于x的方程分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的符号判断实根个数，最后综合两类情况得到结果。
【解析】
1. 确定m的取值范围：
一次函数$y=-x+m$的斜率$k=-1＜0$，图象呈下降趋势，若图象不经过第一象限，则其与y轴的交点$(0,m)$在y轴的非正半轴，因此$m≤0$。
2. 分情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的实根个数：
① 当$m=0$时，方程化简为$x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-1$，有1个实数根；
② 当$m＜0$时，方程是一元二次方程，其中二次项系数$a=m$，一次项系数$b=1$，常数项$c=1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4× m×1=1-4m$。
因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，可得$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程有1或2个实数根。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图象性质；一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合了函数与方程的知识，解题的核心是先根据一次函数的图象特征得到m的取值范围，需要注意对二次项系数是否为0进行分类讨论，避免漏掉m=0时方程为一元一次方程的情况造成漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一次函数的图象性质推导m的取值范围，再对关于x的方程分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当m≠0时，方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的符号判断实根个数，最后综合两类情况得到结果。
【解析】
1. 确定m的取值范围：
一次函数$y=-x+m$的斜率$k=-1＜0$，图象呈下降趋势，若图象不经过第一象限，则其与y轴的交点$(0,m)$在y轴的非正半轴，因此$m≤0$。
2. 分情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的实根个数：
① 当$m=0$时，方程化简为$x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-1$，有1个实数根；
② 当$m＜0$时，方程是一元二次方程，其中二次项系数$a=m$，一次项系数$b=1$，常数项$c=1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4× m×1=1-4m$。
因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，可得$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程有1或2个实数根。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图象性质；一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合了函数与方程的知识，解题的核心是先根据一次函数的图象特征得到m的取值范围，需要注意对二次项系数是否为0进行分类讨论，避免漏掉m=0时方程为一元一次方程的情况造成漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一个根为1,求$m^2 +2m +2026$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一个根为1,求$m^2 +2m +2026$的值.
答案
9.(1)证明:$\because \Delta=(2m)^2-4(m^2-1)=4＞0$,
$\therefore$无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当$x=1$时,$m^2+2m=0$,$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$.
$\therefore$无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当$x=1$时,$m^2+2m=0$,$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论m取何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需验证方程的根的判别式$\Delta$恒大于0即可。首先明确方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，根据结果的正负性即可完成证明。
(2) 已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程可得到关于m的等式，整理后能直接得出$m^2+2m$的值，再整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解m的取值，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = (2m)^2-4×1×(m^2-1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$，
$\therefore$ 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：把$x=1$代入原方程，得$1+2m+m^2-1=0$，
整理得$m^2+2m=0$，
$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{2026}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察根的判别式的应用和方程根的定义的理解，第二问用到的整体代入思想是代数求值类题目中的常用技巧，熟练掌握可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明无论m取何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需验证方程的根的判别式$\Delta$恒大于0即可。首先明确方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，根据结果的正负性即可完成证明。
(2) 已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，将$x=1$代入原方程可得到关于m的等式，整理后能直接得出$m^2+2m$的值，再整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解m的取值，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = (2m)^2-4×1×(m^2-1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$，
$\therefore$ 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：把$x=1$代入原方程，得$1+2m+m^2-1=0$，
整理得$m^2+2m=0$，
$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{2026}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察根的判别式的应用和方程根的定义的理解，第二问用到的整体代入思想是代数求值类题目中的常用技巧，熟练掌握可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
10.已知关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0 $和$ cx^2 + bx + a = 0(a≠0) $，判断下列说法是否正确，并说明理由。
①若$ a + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
②若$ b^2 + 4ac ＜ 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
③若$ a - b + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有两个不相等的实数根。
④若方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个实数根，则方程$ cx^2 + bx + a = 0 $一定有两个实数根。
①若$ a + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
②若$ b^2 + 4ac ＜ 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
③若$ a - b + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有两个不相等的实数根。
④若方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个实数根，则方程$ cx^2 + bx + a = 0 $一定有两个实数根。
答案
10.①②正确,③④错误.
理由如下:$\because a+c=0$,$\therefore a=-c$,$\therefore b^2-4ac=b^2+4c^2\ge0$,故方程有实数根,①正确.
$\because b^2+4ac＜0$,$\therefore 4ac＜0$,$\therefore b^2-4ac＞0$,故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,②正确.
$\because a-b+c=0$,$\therefore b=a+c$,$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2\ge0$,故方程有实数根但不一定有两个不相等的实数根,③错误.
当$c=0$时,方程$cx^2+bx+a=0$为一元一次方程,只有一个实数根,故④错误.
理由如下:$\because a+c=0$,$\therefore a=-c$,$\therefore b^2-4ac=b^2+4c^2\ge0$,故方程有实数根,①正确.
$\because b^2+4ac＜0$,$\therefore 4ac＜0$,$\therefore b^2-4ac＞0$,故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,②正确.
$\because a-b+c=0$,$\therefore b=a+c$,$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2\ge0$,故方程有实数根但不一定有两个不相等的实数根,③错误.
当$c=0$时,方程$cx^2+bx+a=0$为一元一次方程,只有一个实数根,故④错误.
解析
【分析】
判断方程根的情况的核心思路如下：1. 先明确方程类型：若二次项系数不为0，属于一元二次方程，可通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断根的个数；若二次项系数为0且一次项系数不为0，属于一元一次方程，仅有1个实数根。2. 结合每个小问给出的条件，代入判别式计算并判断符号，同时注意二次项系数是否为0的特殊情况。具体到每个小问：①可将$a=-c$代入判别式判断符号；②可通过$b^2+4ac＜0$推导$4ac$的符号，进而得到判别式的符号；③可将$b=a+c$代入判别式，判断判别式是否一定大于0；④需注意第二个方程的二次项系数$c$可能为0，此时方程不是一元二次方程。
【解析】
我们依据以下规则判断：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，$\Delta＞0$时有两个不相等实数根，$\Delta=0$时有两个相等实数根，$\Delta＜0$时无实数根；若二次项系数为0、一次项系数不为0，方程为一元一次方程，有1个实数根。
①$\because a+c=0$，$\therefore a=-c$，代入判别式得$\Delta = b^2-4ac = b^2-4·(-c)· c = b^2+4c^2$。$\because$平方数非负，$\therefore b^2+4c^2\ge0$，故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根，①正确。
②$\because b^2+4ac＜0$，$\therefore 4ac＜-b^2\le0$，即$4ac＜0$，那么$\Delta = b^2-4ac = b^2+(-4ac)$，其中$b^2\ge0$，$-4ac＞0$，$\therefore \Delta＞0$，故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根，②正确。
③$\because a-b+c=0$，$\therefore b=a+c$，代入判别式得$\Delta = b^2-4ac = (a+c)^2-4ac = (a-c)^2\ge0$，当$a=c$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，因此不一定有两个不相等的实数根，③错误。
④若方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，说明$a≠0$且$\Delta\ge0$，但$c$可能为0，此时方程$cx^2+bx+a=0$变为$bx+a=0$，是一元一次方程，仅有1个实数根，因此不一定有两个实数根，④错误。
【答案】
①②正确，③④错误。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元一次方程的定义
【点评】
本题考查方程根的相关判断，解题时除了要熟练运用判别式分析根的情况，还要特别注意二次项系数的取值，避免忽略二次项系数为0时方程变为一元一次方程的特殊情况，因思维定势导致判断错误。
【难度系数】
0.6
判断方程根的情况的核心思路如下：1. 先明确方程类型：若二次项系数不为0，属于一元二次方程，可通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断根的个数；若二次项系数为0且一次项系数不为0，属于一元一次方程，仅有1个实数根。2. 结合每个小问给出的条件，代入判别式计算并判断符号，同时注意二次项系数是否为0的特殊情况。具体到每个小问：①可将$a=-c$代入判别式判断符号；②可通过$b^2+4ac＜0$推导$4ac$的符号，进而得到判别式的符号；③可将$b=a+c$代入判别式，判断判别式是否一定大于0；④需注意第二个方程的二次项系数$c$可能为0，此时方程不是一元二次方程。
【解析】
我们依据以下规则判断：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，$\Delta＞0$时有两个不相等实数根，$\Delta=0$时有两个相等实数根，$\Delta＜0$时无实数根；若二次项系数为0、一次项系数不为0，方程为一元一次方程，有1个实数根。
①$\because a+c=0$，$\therefore a=-c$，代入判别式得$\Delta = b^2-4ac = b^2-4·(-c)· c = b^2+4c^2$。$\because$平方数非负，$\therefore b^2+4c^2\ge0$，故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根，①正确。
②$\because b^2+4ac＜0$，$\therefore 4ac＜-b^2\le0$，即$4ac＜0$，那么$\Delta = b^2-4ac = b^2+(-4ac)$，其中$b^2\ge0$，$-4ac＞0$，$\therefore \Delta＞0$，故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根，②正确。
③$\because a-b+c=0$，$\therefore b=a+c$，代入判别式得$\Delta = b^2-4ac = (a+c)^2-4ac = (a-c)^2\ge0$，当$a=c$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，因此不一定有两个不相等的实数根，③错误。
④若方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，说明$a≠0$且$\Delta\ge0$，但$c$可能为0，此时方程$cx^2+bx+a=0$变为$bx+a=0$，是一元一次方程，仅有1个实数根，因此不一定有两个实数根，④错误。
【答案】
①②正确，③④错误。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元一次方程的定义
【点评】
本题考查方程根的相关判断，解题时除了要熟练运用判别式分析根的情况，还要特别注意二次项系数的取值，避免忽略二次项系数为0时方程变为一元一次方程的特殊情况，因思维定势导致判断错误。
【难度系数】
0.6
