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8.若在平面直角坐标系中函数$y=-x+m$的图象不经过第一象限，则关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$有
1或2
个实数根.答案
8.1或2
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先根据一次函数的图象性质，确定参数m的取值范围；第二步针对含参数m的方程，分二次项系数为0（即方程为一元一次方程）和二次项系数不为0（即方程为一元二次方程，用根的判别式判断实根个数）两种情况分类讨论，最终汇总得到实根的总个数。
【解析】
解：
∵一次函数$y=-x+m$的斜率$k=-1＜0$，图象不经过第一象限，
∴函数与$y$轴的交点不在$y$轴正半轴，即$m≤0$。
接下来分两种情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的实根个数：
1. 当$m=0$时，方程化为$x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-1$，此时有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4× m×1 = 1-4m$，
∵$m＜0$，
∴$-4m＞0$，因此$\Delta = 1-4m ＞ 1 ＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程有1或2个实数根。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将一次函数性质与方程根的个数判断相结合，解题核心是先准确求出m的取值范围，再注意对二次项系数是否为0分类讨论，避免遗漏m=0的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：第一步先根据一次函数的图象性质，确定参数m的取值范围；第二步针对含参数m的方程，分二次项系数为0（即方程为一元一次方程）和二次项系数不为0（即方程为一元二次方程，用根的判别式判断实根个数）两种情况分类讨论，最终汇总得到实根的总个数。
【解析】
解：
∵一次函数$y=-x+m$的斜率$k=-1＜0$，图象不经过第一象限，
∴函数与$y$轴的交点不在$y$轴正半轴，即$m≤0$。
接下来分两种情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的实根个数：
1. 当$m=0$时，方程化为$x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-1$，此时有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，方程是一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4× m×1 = 1-4m$，
∵$m＜0$，
∴$-4m＞0$，因此$\Delta = 1-4m ＞ 1 ＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程有1或2个实数根。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将一次函数性质与方程根的个数判断相结合，解题核心是先准确求出m的取值范围，再注意对二次项系数是否为0分类讨论，避免遗漏m=0的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9.已知关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一个根为1,求$m^2 +2m +2026$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有一个根为1,求$m^2 +2m +2026$的值.
答案
9.(1)证明:$\because \Delta=(2m)^2-4(m^2-1)=4＞0$,
$\therefore$无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当$x=1$时,$m^2+2m=0$,$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$.
$\therefore$无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当$x=1$时,$m^2+2m=0$,$\therefore m^2+2m+2026=0+2026=2026$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，判断Δ是否恒大于0。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，若结果恒为正即可得证。
(2)已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，即可得到关于m的关系式，不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法就能直接求出目标代数式的值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - 1)=4m^2 - 4m^2 + 4=4＞0$，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程有一个根为1，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 + 2m×1 + m^2 -1=0$，
化简得$m^2 + 2m=0$，
将$m^2 + 2m=0$代入$m^2 +2m +2026$得：
原式$=0 + 2026=2026$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2026$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的根的定义
3.整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问侧重对根的判别式的应用考察，第二问考察根的定义和整体代入的数学思想，解题时不需要求解m的具体值，用整体代入可简化计算，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，判断Δ是否恒大于0。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，若结果恒为正即可得证。
(2)已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，即可得到关于m的关系式，不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法就能直接求出目标代数式的值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 + 2mx + m^2 -1=0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - 1)=4m^2 - 4m^2 + 4=4＞0$，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：
∵方程有一个根为1，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 + 2m×1 + m^2 -1=0$，
化简得$m^2 + 2m=0$，
将$m^2 + 2m=0$代入$m^2 +2m +2026$得：
原式$=0 + 2026=2026$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2026$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的根的定义
3.整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问侧重对根的判别式的应用考察，第二问考察根的定义和整体代入的数学思想，解题时不需要求解m的具体值，用整体代入可简化计算，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
10.已知关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0 $和$ cx^2 + bx + a = 0(a≠0) $，判断下列说法是否正确，并说明理由。
①若$ a + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
②若$ b^2 + 4ac ＜ 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
③若$ a - b + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有两个不相等的实数根。
④若方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个实数根，则方程$ cx^2 + bx + a = 0 $一定有两个实数根。
①若$ a + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
②若$ b^2 + 4ac ＜ 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有实数根。
③若$ a - b + c = 0 $，则方程$ ax^2 + bx + c = 0 $一定有两个不相等的实数根。
④若方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个实数根，则方程$ cx^2 + bx + a = 0 $一定有两个实数根。
答案
10.①②正确,③④错误.
理由如下:$\because a+c=0$,$\therefore a=-c$,$\therefore b^2-4ac=b^2+4c^2\ge0$,故方程有实数根,①正确.
$\because b^2+4ac＜0$,$\therefore 4ac＜0$,$\therefore b^2-4ac＞0$,故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,②正确.
$\because a-b+c=0$,$\therefore b=a+c$,$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2\ge0$,故方程有实数根但不一定有两个不相等的实数根,③错误.
当$c=0$时,方程$cx^2+bx+a=0$为一元一次方程,只有一个实数根,故④错误.
理由如下:$\because a+c=0$,$\therefore a=-c$,$\therefore b^2-4ac=b^2+4c^2\ge0$,故方程有实数根,①正确.
$\because b^2+4ac＜0$,$\therefore 4ac＜0$,$\therefore b^2-4ac＞0$,故方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,②正确.
$\because a-b+c=0$,$\therefore b=a+c$,$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2\ge0$,故方程有实数根但不一定有两个不相等的实数根,③错误.
当$c=0$时,方程$cx^2+bx+a=0$为一元一次方程,只有一个实数根,故④错误.
解析
【分析】
本题围绕方程实数根的判断展开，核心解题依据为：1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；2. 若二次项系数为0，方程退化为一元一次方程，需单独判断根的情况。
各说法的思考路径：①将$a=-c$代入判别式判断符号；②由$b^2+4ac＜0$推导$ac$的符号，进而判断判别式符号；③将$b=a+c$代入判别式，判断其是否恒大于0；④注意第二个方程二次项系数$c$可能为0，方程变为一元一次方程。
【解析】
逐个分析4个说法：
①若$a+c=0$，则$a=-c$，且$a≠0$故$c≠0$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4·(-c)· c=b^2+4c^2$，
$\because b^2≥0,4c^2＞0$，$\therefore \Delta≥0$，方程一定有实数根，故①正确；
②若$b^2+4ac＜0$，则$4ac＜-b^2≤0$，即$ac＜0$，
$\therefore -4ac＞0$，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，即一定有实数根，故②正确；
③若$a-b+c=0$，则$b=a+c$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，
当$a=c$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，因此不一定有两个不相等的实数根，故③错误；
④若方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，则$a≠0$且$\Delta=b^2-4ac≥0$，
当$c=0$时，方程$cx^2+bx+a=0$变为$bx+a=0$，是一元一次方程，只有1个实数根，因此不一定有两个实数根，故④错误。
【答案】
①②正确，③④错误，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；方程根的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略判别式等于0时方程只有两个相等的实数根，不符合“两个不相等的实数根”的要求；二是忽略二次项系数可能为0，方程退化为一次方程的情况，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
本题围绕方程实数根的判断展开，核心解题依据为：1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；2. 若二次项系数为0，方程退化为一元一次方程，需单独判断根的情况。
各说法的思考路径：①将$a=-c$代入判别式判断符号；②由$b^2+4ac＜0$推导$ac$的符号，进而判断判别式符号；③将$b=a+c$代入判别式，判断其是否恒大于0；④注意第二个方程二次项系数$c$可能为0，方程变为一元一次方程。
【解析】
逐个分析4个说法：
①若$a+c=0$，则$a=-c$，且$a≠0$故$c≠0$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4·(-c)· c=b^2+4c^2$，
$\because b^2≥0,4c^2＞0$，$\therefore \Delta≥0$，方程一定有实数根，故①正确；
②若$b^2+4ac＜0$，则$4ac＜-b^2≤0$，即$ac＜0$，
$\therefore -4ac＞0$，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，方程一定有两个不相等的实数根，即一定有实数根，故②正确；
③若$a-b+c=0$，则$b=a+c$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，
当$a=c$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，因此不一定有两个不相等的实数根，故③错误；
④若方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，则$a≠0$且$\Delta=b^2-4ac≥0$，
当$c=0$时，方程$cx^2+bx+a=0$变为$bx+a=0$，是一元一次方程，只有1个实数根，因此不一定有两个实数根，故④错误。
【答案】
①②正确，③④错误，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；方程根的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略判别式等于0时方程只有两个相等的实数根，不符合“两个不相等的实数根”的要求；二是忽略二次项系数可能为0，方程退化为一次方程的情况，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
