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1.用公式法解方程$x^2 - 3x - 4 = 0$，对应$a$,$b$,$c$的值分别是（
A.1,3,4
B.0,−3,−4
C.1,3,−4
D.1,−3,−4
D
）.A.1,3,4
B.0,−3,−4
C.1,3,−4
D.1,−3,−4
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：我们规定一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意确定系数时必须连同项前面的符号一起判断。解题时先确认题干给出的方程是否符合一般形式，再分别对应提取二次项、一次项、常数项的系数即可匹配选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
题干方程$x^2 - 3x - 4 = 0$已经是一般形式，对比可得：
二次项为$x^2$，系数$a=1$；
一次项为$-3x$，系数$b=-3$；
常数项为$-4$，即$c=-4$。
因此$a,b,c$对应的值为1，-3，-4。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是提取系数时忽略项前面的负号，只要牢记判断系数要连同符号一同提取，就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：我们规定一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意确定系数时必须连同项前面的符号一起判断。解题时先确认题干给出的方程是否符合一般形式，再分别对应提取二次项、一次项、常数项的系数即可匹配选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$\boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)}$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
题干方程$x^2 - 3x - 4 = 0$已经是一般形式，对比可得：
二次项为$x^2$，系数$a=1$；
一次项为$-3x$，系数$b=-3$；
常数项为$-4$，即$c=-4$。
因此$a,b,c$对应的值为1，-3，-4。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是提取系数时忽略项前面的负号，只要牢记判断系数要连同符号一同提取，就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - c = 0$能用公式法求解的前提是（
A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
C
）.A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程要有实数根，也就是判别式$\Delta ≥ 0$。接下来我们只需要对应找到给定方程的各项系数，代入判别式公式列出关于$c$的不等式，解不等式就能得到$c$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）能用公式法求解的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-c) = 4 + 4c$
令$\Delta≥0$，即$4+4c≥0$，
解不等式：$4c≥-4$，得$c≥-1$。
因此符合要求的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解方程条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查公式法解一元二次方程的适用条件，解题的关键是正确计算判别式，注意不要混淆方程中常数项的符号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程要有实数根，也就是判别式$\Delta ≥ 0$。接下来我们只需要对应找到给定方程的各项系数，代入判别式公式列出关于$c$的不等式，解不等式就能得到$c$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）能用公式法求解的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-c) = 4 + 4c$
令$\Delta≥0$，即$4+4c≥0$，
解不等式：$4c≥-4$，得$c≥-1$。
因此符合要求的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解方程条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查公式法解一元二次方程的适用条件，解题的关键是正确计算判别式，注意不要混淆方程中常数项的符号。
【难度系数】
0.8
3.用公式法解关于$x$的一元二次方程得$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$，则该一元二次方程可能是（
A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
C
）。A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的求根公式：对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需将题目给出的求根式子和标准求根公式逐项对应，分别确定$a、b、c$的取值，就能写出对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的求根式子$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$与标准公式逐项对应：
1. 由分母$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 由分子的一次项部分$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 由根号内的常数项$4ac=4×4×1$，代入$a=4$，可得$c=1$。
因此对应的一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是对公式法解一元二次方程的逆向考查，只要熟练掌握求根公式的结构，准确对应各项系数就能快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程的求根公式：对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需将题目给出的求根式子和标准求根公式逐项对应，分别确定$a、b、c$的取值，就能写出对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的求根式子$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$与标准公式逐项对应：
1. 由分母$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 由分子的一次项部分$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 由根号内的常数项$4ac=4×4×1$，代入$a=4$，可得$c=1$。
因此对应的一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是对公式法解一元二次方程的逆向考查，只要熟练掌握求根公式的结构，准确对应各项系数就能快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4.关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的一个根是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，则$c$的值是（
A.－3
B.－1
C.1
D.3
B
）.A.－3
B.－1
C.1
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根代入原方程等式必然成立。我们只需把$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程$x^2 - x + c = 0$，就能得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值，计算时注意遵循二次根式的运算规则。
【解析】
∵ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的根
∴ 将$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程得：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
先计算平方项：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4}=\frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4}=\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
代入原式化简：
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{(3 + \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{5})}{2} + c = 0$
$1 + c = 0$
解得$c=-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根满足原方程，代入后准确计算二次根式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根代入原方程等式必然成立。我们只需把$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程$x^2 - x + c = 0$，就能得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值，计算时注意遵循二次根式的运算规则。
【解析】
∵ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的根
∴ 将$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程得：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
先计算平方项：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\frac{1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4}=\frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4}=\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
代入原式化简：
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{(3 + \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{5})}{2} + c = 0$
$1 + c = 0$
解得$c=-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根满足原方程，代入后准确计算二次根式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
5.用公式法解方程.
(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 1 = 3x$.
(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 1 = 3x$.
答案
5.(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$.
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的值；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；③$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$计算；第(2)题需要先移项整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先将方程$2x^2 + 1 = 3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
这里$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 =9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，
当取加号时：$x_1=\frac{3+1}{4}=1$，当取减号时：$x_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是熟练掌握公式法的解题步骤，计算时要注意$a、b、c$的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的值；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$无实数根；③$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a、b、c$计算；第(2)题需要先移项整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先将方程$2x^2 + 1 = 3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
这里$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 =9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，
当取加号时：$x_1=\frac{3+1}{4}=1$，当取减号时：$x_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是熟练掌握公式法的解题步骤，计算时要注意$a、b、c$的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
6.下列方程最适合用公式法求解的是(
A.$(x-3)^2=2$
B.$x^2 -10x +25=0$
C.$x^2 +2x=0$
D.$2x^2 +3x -1=0$
D
).A.$(x-3)^2=2$
B.$x^2 -10x +25=0$
C.$x^2 +2x=0$
D.$2x^2 +3x -1=0$
答案
6.D
解析
【分析】
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先要明确一元二次方程各类解法的适用场景：直接开平方法适用于可整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的方程；因式分解法适用于左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程；公式法是通用解法，更适合无法用上述两种简便方法快速求解的方程。解题时我们逐个分析选项的方程形式，匹配对应最优解法，最终选出最适合公式法的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项适用的解法：
A. 方程$(x-3)^2=2$是“完全平方式=常数”的形式，最适合用直接开平方法求解，不符合要求；
B. 方程$x^2 -10x +25=0$左边可因式分解为$(x-5)^2$，即$(x-5)^2=0$，最适合用因式分解法或直接开平方法求解，不符合要求；
C. 方程$x^2 +2x=0$左边可提公因式分解为$x(x+2)=0$，最适合用因式分解法求解，不符合要求；
D. 方程$2x^2 +3x -1=0$无法通过直接开平方法、因式分解法快速求解，最适合用公式法求解，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的灵活选择，解题的关键是熟练掌握各类解法的适用条件，结合方程特征判断最优解法，属于基础概念应用类考题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先要明确一元二次方程各类解法的适用场景：直接开平方法适用于可整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的方程；因式分解法适用于左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程；公式法是通用解法，更适合无法用上述两种简便方法快速求解的方程。解题时我们逐个分析选项的方程形式，匹配对应最优解法，最终选出最适合公式法的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项适用的解法：
A. 方程$(x-3)^2=2$是“完全平方式=常数”的形式，最适合用直接开平方法求解，不符合要求；
B. 方程$x^2 -10x +25=0$左边可因式分解为$(x-5)^2$，即$(x-5)^2=0$，最适合用因式分解法或直接开平方法求解，不符合要求；
C. 方程$x^2 +2x=0$左边可提公因式分解为$x(x+2)=0$，最适合用因式分解法求解，不符合要求；
D. 方程$2x^2 +3x -1=0$无法通过直接开平方法、因式分解法快速求解，最适合用公式法求解，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的灵活选择，解题的关键是熟练掌握各类解法的适用条件，结合方程特征判断最优解法，属于基础概念应用类考题。
【难度系数】
0.8
7.已知$a$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的较小的一个根，则下面对$a$的估值正确的是(
A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
A
).A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
答案
7.A
解析
【分析】
解题可按两步走：①先利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，确定较小根的代数表达式；②估算无理数$\sqrt{29}$的取值范围，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-5$。
第一步：计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 -4×1×(-5) = 9+20=29＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：由求根公式得方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，其中较小的根为$a=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$。
第三步：估算$\sqrt{29}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜29＜36$，所以$5＜\sqrt{29}＜6$。
根据不等式性质，不等号两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-6＜-\sqrt{29}＜-5$；
不等号两边同时加3，得$-3＜3-\sqrt{29}＜-2$；
不等号两边同时除以2，得$-1.5＜\frac{3-\sqrt{29}}{2}＜-1$，即$-1.5＜a＜-1$。
因此选项A符合估值结果。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算，不等式的性质
【点评】
本题是基础的综合应用类题目，解题时要注意区分较大根和较小根的表达式，对无理数估值后利用不等式性质推导范围时，切记不等号两边乘负数时要改变方向，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题可按两步走：①先利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，确定较小根的代数表达式；②估算无理数$\sqrt{29}$的取值范围，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-5$。
第一步：计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 -4×1×(-5) = 9+20=29＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：由求根公式得方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，其中较小的根为$a=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$。
第三步：估算$\sqrt{29}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜29＜36$，所以$5＜\sqrt{29}＜6$。
根据不等式性质，不等号两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-6＜-\sqrt{29}＜-5$；
不等号两边同时加3，得$-3＜3-\sqrt{29}＜-2$；
不等号两边同时除以2，得$-1.5＜\frac{3-\sqrt{29}}{2}＜-1$，即$-1.5＜a＜-1$。
因此选项A符合估值结果。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算，不等式的性质
【点评】
本题是基础的综合应用类题目，解题时要注意区分较大根和较小根的表达式，对无理数估值后利用不等式性质推导范围时，切记不等号两边乘负数时要改变方向，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
