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8.已知长方形的长宽之和为$p$，面积为$q$，设宽为$x$，根据图形面积的关系可构造方程$x(p-x)=q$.如图，由四个一样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，用$p$，$q$表示$x=\frac{1}{2}(p-\sqrt{p^2-4q})$，从而得到形如$-x^2+px=q$的一元二次方程的其中一个根的求根公式.则$x$的表达式中$\sqrt{p^2-4q}$所表示的几何量是
小正方形的边长
。答案
8.小正方形的边长
解析
【分析】
我们可以从图形的面积关系入手推导：第一步，先确定大正方形的边长，已知长方形的长与宽之和为p，观察图形可知大正方形的边长刚好等于长方形长与宽的和，可先求出大正方形的面积；第二步，计算四个长方形的总面积，已知单个长方形面积为q，四个长方形总面积为4q；第三步，中间小正方形的面积等于大正方形面积减去四个长方形的面积，可得小正方形面积为$p^2-4q$；第四步，正方形的边长是面积的算术平方根，因此对小正方形面积开平方得到的$\sqrt{p^2-4q}$就是小正方形的边长，对应题干中的代数式。
【解析】
解：观察图形推导如下：
1. 大正方形的边长为长方形长与宽的和，即边长为$p$，因此大正方形的面积为$p^2$；
2. 单个长方形面积为$q$，4个完全相同的长方形总面积为$4q$；
3. 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个长方形的面积，即$S_{\mathrm{小正方形}}=p^2-4q$；
4. 正方形的边长是其面积的算术平方根，因此小正方形的边长为$\sqrt{p^2-4q}$，即$\sqrt{p^2-4q}$表示的几何量是小正方形的边长。
【答案】
小正方形的边长
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式几何意义；代数式几何意义
【点评】
本题将代数运算和几何图形结合，考查数形结合思想的应用，通过面积关系推导代数式的几何意义，能帮助大家更直观地理解配方法解一元二次方程的原理。
【难度系数】
0.7
我们可以从图形的面积关系入手推导：第一步，先确定大正方形的边长，已知长方形的长与宽之和为p，观察图形可知大正方形的边长刚好等于长方形长与宽的和，可先求出大正方形的面积；第二步，计算四个长方形的总面积，已知单个长方形面积为q，四个长方形总面积为4q；第三步，中间小正方形的面积等于大正方形面积减去四个长方形的面积，可得小正方形面积为$p^2-4q$；第四步，正方形的边长是面积的算术平方根，因此对小正方形面积开平方得到的$\sqrt{p^2-4q}$就是小正方形的边长，对应题干中的代数式。
【解析】
解：观察图形推导如下：
1. 大正方形的边长为长方形长与宽的和，即边长为$p$，因此大正方形的面积为$p^2$；
2. 单个长方形面积为$q$，4个完全相同的长方形总面积为$4q$；
3. 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个长方形的面积，即$S_{\mathrm{小正方形}}=p^2-4q$；
4. 正方形的边长是其面积的算术平方根，因此小正方形的边长为$\sqrt{p^2-4q}$，即$\sqrt{p^2-4q}$表示的几何量是小正方形的边长。
【答案】
小正方形的边长
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式几何意义；代数式几何意义
【点评】
本题将代数运算和几何图形结合，考查数形结合思想的应用，通过面积关系推导代数式的几何意义，能帮助大家更直观地理解配方法解一元二次方程的原理。
【难度系数】
0.7
9.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比,等于腰部以下与全身的身长比,可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m,按照上述比例,雕像腰部以下为多长？
答案
9.设雕像腰部以下的身长为$x$ m,
依题意列方程$x^2=5(5-x)$,整理得$x^2+5x-25=0$,此时$a=1,b=5,c=-25$,
$\because \Delta=b^2-4ac=125＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
即$x_1=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$(负值舍去).
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m.
依题意列方程$x^2=5(5-x)$,整理得$x^2+5x-25=0$,此时$a=1,b=5,c=-25$,
$\because \Delta=b^2-4ac=125＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
即$x_1=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$(负值舍去).
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m.
解析
【分析】
这是一道结合生活实际的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确题目给出的比例关系：腰部以上身长:腰部以下身长=腰部以下身长:全身身长；接着设腰部以下身长为未知数，用全身长减去未知数表示出腰部以上的长度；再将对应量代入比例式，交叉相乘得到一元二次方程；随后用公式法解方程，最后结合长度为正的实际意义舍去不符合的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设雕像腰部以下的身长为$ x $ m，则腰部以上的身长为$ (5-x) $ m。
根据题意列比例式：
$\frac{5-x}{x}=\frac{x}{5}$
交叉相乘得：
$x^2=5(5-x)$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+5x-25=0$
其中$a=1,b=5,c=-25$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×1×(-25)=125＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm5\sqrt{5}}{2}$
由于长度不能为负数，故$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$不符合实际，舍去。
【答案】
$\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{m}$（或$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{m}$）
【知识点】
黄金分割，一元二次方程应用，公式法解方程
【点评】
本题结合视觉美感设计的生活场景，考查了学生提取等量关系列方程、求解一元二次方程的能力，解题时要注意结合实际意义检验根的合理性，避免保留不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活实际的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确题目给出的比例关系：腰部以上身长:腰部以下身长=腰部以下身长:全身身长；接着设腰部以下身长为未知数，用全身长减去未知数表示出腰部以上的长度；再将对应量代入比例式，交叉相乘得到一元二次方程；随后用公式法解方程，最后结合长度为正的实际意义舍去不符合的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设雕像腰部以下的身长为$ x $ m，则腰部以上的身长为$ (5-x) $ m。
根据题意列比例式：
$\frac{5-x}{x}=\frac{x}{5}$
交叉相乘得：
$x^2=5(5-x)$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+5x-25=0$
其中$a=1,b=5,c=-25$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×1×(-25)=125＞0$
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm5\sqrt{5}}{2}$
由于长度不能为负数，故$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$不符合实际，舍去。
【答案】
$\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{m}$（或$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{m}$）
【知识点】
黄金分割，一元二次方程应用，公式法解方程
【点评】
本题结合视觉美感设计的生活场景，考查了学生提取等量关系列方程、求解一元二次方程的能力，解题时要注意结合实际意义检验根的合理性，避免保留不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
10.定义新运算:对于两个不相等的实数$a,b$, $\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如$\max\{1,3\}=3$,$\max\{-1,-3\}=-1$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=\frac{x^2 -2x -1}{2}$,求$x$的值.
答案
10.若$x＞-x$,即$x＞0$,则$x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-4x-1=0$,
解得$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$(负值舍去)；
若$x＜-x$,即$x＜0$,则$-x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-1=0$,
解得$x_1=-1$,$x_2=1$(正值舍去).
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$.
解得$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$(负值舍去)；
若$x＜-x$,即$x＜0$,则$-x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-1=0$,
解得$x_1=-1$,$x_2=1$(正值舍去).
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$.
解析
【分析】
首先明确新运算$\max\{a,b\}$的含义：取两个不相等实数$a,b$中的较大值，因此需要先判断$x$与$-x$的大小关系，分两类讨论：①当$x＞0$时，$x＞-x$，此时$\max\{x,-x\}=x$；②当$x＜0$时，$x＜-x$，此时$\max\{x,-x\}=-x$。将对应取值代入等式得到一元二次方程，求解后验证解是否符合当前分类的取值范围，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则，分两种情况讨论：
1. 若$x＞-x$，即$x＞0$，则$\max\{x,-x\}=x$，代入等式得：
$x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
去分母整理得$x^2-4x-1=0$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$，其中$2-\sqrt{5}$为负值，不符合$x＞0$的前提，舍去。
2. 若$x＜-x$，即$x＜0$，则$\max\{x,-x\}=-x$，代入等式得：
$-x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
去分母整理得$x^2-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$，其中$1$为正值，不符合$x＜0$的前提，舍去。
【答案】
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新概念的理解能力和一元二次方程的求解能力，解题的关键是根据新运算规则正确划分讨论情况，求解后要结合分类的前提条件验根，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先明确新运算$\max\{a,b\}$的含义：取两个不相等实数$a,b$中的较大值，因此需要先判断$x$与$-x$的大小关系，分两类讨论：①当$x＞0$时，$x＞-x$，此时$\max\{x,-x\}=x$；②当$x＜0$时，$x＜-x$，此时$\max\{x,-x\}=-x$。将对应取值代入等式得到一元二次方程，求解后验证解是否符合当前分类的取值范围，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
根据新运算规则，分两种情况讨论：
1. 若$x＞-x$，即$x＞0$，则$\max\{x,-x\}=x$，代入等式得：
$x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
去分母整理得$x^2-4x-1=0$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$，其中$2-\sqrt{5}$为负值，不符合$x＞0$的前提，舍去。
2. 若$x＜-x$，即$x＜0$，则$\max\{x,-x\}=-x$，代入等式得：
$-x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
去分母整理得$x^2-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$，其中$1$为正值，不符合$x＜0$的前提，舍去。
【答案】
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新概念的理解能力和一元二次方程的求解能力，解题的关键是根据新运算规则正确划分讨论情况，求解后要结合分类的前提条件验根，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
