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8.已知长方形的长宽之和为$p$，面积为$q$，设宽为$x$，根据图形面积的关系可构造方程$x(p-x)=q$.如图，由四个一样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，用$p$，$q$表示$x=\frac{1}{2}(p-\sqrt{p^2-4q})$，从而得到形如$-x^2+px=q$的一元二次方程的其中一个根的求根公式.则$x$的表达式中$\sqrt{p^2-4q}$所表示的几何量是
小正方形的边长
。答案
8.小正方形的边长
解析
【分析】
解题时可从图形的面积组成关系入手思考：首先明确大正方形由4个相同的长方形和1个中间的小正方形构成，先根据长方形长宽之和为p确定大正方形的边长，计算出大正方形的面积；再结合单个长方形面积q算出4个长方形的总面积；两者的差值就是中间小正方形的面积，最后结合正方形边长和面积的对应关系，就能推出√(p²-4q)对应的几何量。
【解析】
1. 大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，已知长方形长宽之和为p，因此大正方形的面积为$ p^2 $。
2. 每个长方形的面积为q，4个长方形的总面积为$ 4q $。
3. 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个长方形的总面积，即小正方形面积为$ p^2-4q $。
4. 正方形的边长是其面积的算术平方根，因此小正方形的边长为$ \sqrt{p^2-4q} $，即该表达式对应的几何量是小正方形的边长。
【答案】
小正方形的边长
【知识点】
1. 完全平方公式几何背景
2. 正方形面积计算
3. 数形结合思想
【点评】
本题将代数公式与几何图形相结合，通过面积关系推导代数式的几何含义，既能帮助学生直观理解一元二次方程求根公式的来源，也能考查学生对数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可从图形的面积组成关系入手思考：首先明确大正方形由4个相同的长方形和1个中间的小正方形构成，先根据长方形长宽之和为p确定大正方形的边长，计算出大正方形的面积；再结合单个长方形面积q算出4个长方形的总面积；两者的差值就是中间小正方形的面积，最后结合正方形边长和面积的对应关系，就能推出√(p²-4q)对应的几何量。
【解析】
1. 大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，已知长方形长宽之和为p，因此大正方形的面积为$ p^2 $。
2. 每个长方形的面积为q，4个长方形的总面积为$ 4q $。
3. 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个长方形的总面积，即小正方形面积为$ p^2-4q $。
4. 正方形的边长是其面积的算术平方根，因此小正方形的边长为$ \sqrt{p^2-4q} $，即该表达式对应的几何量是小正方形的边长。
【答案】
小正方形的边长
【知识点】
1. 完全平方公式几何背景
2. 正方形面积计算
3. 数形结合思想
【点评】
本题将代数公式与几何图形相结合，通过面积关系推导代数式的几何含义，既能帮助学生直观理解一元二次方程求根公式的来源，也能考查学生对数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
9.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比,等于腰部以下与全身的身长比,可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m,按照上述比例,雕像腰部以下为多长？
答案
9.设雕像腰部以下的身长为$x$ m,
依题意列方程$x^2=5(5-x)$,整理得$x^2+5x-25=0$,此时$a=1,b=5,c=-25$,
$\because \Delta=b^2-4ac=125＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
即$x_1=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$(负值舍去).
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m.
依题意列方程$x^2=5(5-x)$,整理得$x^2+5x-25=0$,此时$a=1,b=5,c=-25$,
$\because \Delta=b^2-4ac=125＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
即$x_1=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}$(负值舍去).
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m.
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出的核心等量关系：腰部以上身长与腰部以下身长的比，等于腰部以下身长与全身身长的比。我们可以先设腰部以下身长为未知数，用全身长减去腰部以下长表示出腰部以上的长度，再将对应量代入比例关系，交叉相乘得到一元二次方程，之后用公式法求解方程，最后结合长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到最终结果。
【解析】
解：设雕像腰部以下的身长为$x$ m，
依题意列比例式：$\frac{5-x}{x}=\frac{x}{5}$，交叉相乘得$x^2=5(5-x)$，
整理为一元二次方程一般形式：$x^2+5x-25=0$，其中$a=1,b=5,c=-25$，
$\because \Delta=b^2-4ac=5^2-4×1×(-25)=125＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{-5\pm5\sqrt{5}}{2}$，
由于身长为正数，$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m。
【知识点】
一元二次方程应用；公式法解方程；比例基本性质
【点评】
本题是结合生活美感设计的实际应用题，解题核心是准确提取题目中的比例关系建立方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目给出的核心等量关系：腰部以上身长与腰部以下身长的比，等于腰部以下身长与全身身长的比。我们可以先设腰部以下身长为未知数，用全身长减去腰部以下长表示出腰部以上的长度，再将对应量代入比例关系，交叉相乘得到一元二次方程，之后用公式法求解方程，最后结合长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，就能得到最终结果。
【解析】
解：设雕像腰部以下的身长为$x$ m，
依题意列比例式：$\frac{5-x}{x}=\frac{x}{5}$，交叉相乘得$x^2=5(5-x)$，
整理为一元二次方程一般形式：$x^2+5x-25=0$，其中$a=1,b=5,c=-25$，
$\because \Delta=b^2-4ac=5^2-4×1×(-25)=125＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{-5\pm5\sqrt{5}}{2}$，
由于身长为正数，$x_2=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
雕像腰部以下的身长为$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}$ m。
【知识点】
一元二次方程应用；公式法解方程；比例基本性质
【点评】
本题是结合生活美感设计的实际应用题，解题核心是准确提取题目中的比例关系建立方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
10.定义新运算:对于两个不相等的实数$a,b$, $\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如$\max\{1,3\}=3$,$\max\{-1,-3\}=-1$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=\frac{x^2 -2x -1}{2}$,求$x$的值.
答案
10.若$x＞-x$,即$x＞0$,则$x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-4x-1=0$,
解得$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$(负值舍去)；
若$x＜-x$,即$x＜0$,则$-x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-1=0$,
解得$x_1=-1$,$x_2=1$(正值舍去).
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$.
解得$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$(负值舍去)；
若$x＜-x$,即$x＜0$,则$-x=\frac{x^2-2x-1}{2}$,即$x^2-1=0$,
解得$x_1=-1$,$x_2=1$(正值舍去).
$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$.
解析
【分析】
本题为新定义运算题型，解题核心是理解$\max\{a,b\}$取两数中较大值的规则。由于$x$和$-x$不相等，因此分两种情况讨论：①当$x＞-x$即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$；②当$x＜-x$即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$。分别将两种情况代入已知等式得到一元二次方程，求解后检验解是否符合对应情况的$x$取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ＞ -x$，即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$，代入等式得：
$x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
两边同乘2整理得：$x^2 -4x -1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，
因为$x＞0$，$2-\sqrt{5}＜0$不符合要求，舍去，故$x=2+\sqrt{5}$；
2. 当$x ＜ -x$，即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$，代入等式得：
$-x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
两边同乘2整理得：$x^2 -1=0$，
解得：$x=\pm1$，
因为$x＜0$，$x=1$不符合要求，舍去，故$x=-1$。
综上，$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$。
【答案】
$2+\sqrt{5}$或$-1$
【知识点】
1.新定义运算 2.解一元二次方程 3.分类讨论
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合，解题的关键是根据$\max$的运算规则正确分类讨论，求出方程的解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
本题为新定义运算题型，解题核心是理解$\max\{a,b\}$取两数中较大值的规则。由于$x$和$-x$不相等，因此分两种情况讨论：①当$x＞-x$即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$；②当$x＜-x$即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$。分别将两种情况代入已知等式得到一元二次方程，求解后检验解是否符合对应情况的$x$取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ＞ -x$，即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$，代入等式得：
$x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
两边同乘2整理得：$x^2 -4x -1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，
因为$x＞0$，$2-\sqrt{5}＜0$不符合要求，舍去，故$x=2+\sqrt{5}$；
2. 当$x ＜ -x$，即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$，代入等式得：
$-x=\frac{x^2 -2x -1}{2}$
两边同乘2整理得：$x^2 -1=0$，
解得：$x=\pm1$，
因为$x＜0$，$x=1$不符合要求，舍去，故$x=-1$。
综上，$x$的值为$2+\sqrt{5}$或$-1$。
【答案】
$2+\sqrt{5}$或$-1$
【知识点】
1.新定义运算 2.解一元二次方程 3.分类讨论
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合，解题的关键是根据$\max$的运算规则正确分类讨论，求出方程的解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
