9. 一题多变 (2025河南郑州外国语学校期中)已知$∠1=∠2$,下列图形中,能确定$AB// CD$的是 ()

9. B

如图,下列条件:①$∠ 1=∠ 4$;②$∠ A=∠ 3$;③$∠ 1=∠ A$;④$∠ A+∠ 2=180°$,其中能判定$AB// FD$的个数为 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

变式题图 第10题图

变式 C

10. 趋势情境 跨学科 光的反射是一种物理现象.如图,平面反光镜AC斜放在地面AB上,一束光线从地面上的P点射出,DE是反射光线,已知$ND⊥AC$,$ND$平分$∠PDE$,且$∠APD=110°$.若要使反射光线$DE//AB$,则$∠CAB$的大小为.

10. 35°

11. (2025 陕西西安长安一中期末改编) 如图, 已知点 E 在 BD 上, 点 F,A,C 在 BD 上方, 连接 EF,EA,EC,EA 平分 ∠BEF,EC 平分 ∠DEF,连接 AB,CD.
(1)求证: AE ⊥ CE;

(2)若 ∠B = 2∠2, ∠C + ∠1 = 90°, 求证: AB//CD.

11. 证明:(1)因为 EA 平分$∠BEF$,EC 平分$∠DEF$(已知), 所以 $∠AEF = \frac{1}{2}∠BEF$, $∠CEF = \frac{1}{2}∠DEF$(角平分线的定义),
因为$∠BEF+∠DEF=180°$(平角的定义),
所以$∠AEF+∠CEF=90°$(等式的性质),
所以$∠AEC=90°$(等量代换),
所以$AE⊥CE$(垂直的定义);
(2)因为 EA 平分$∠BEF$,EC 平分$∠DEF$(已知),
所以$∠AEF = ∠1$, $∠DEF = 2∠2$(角平分线的定义).
因为$∠B=2∠2$(由(1)得),
所以$∠DEF=∠B$(等量代换),
所以$AB/\!/EF$(同位角相等,两直线平行).
因为$AE⊥CE$(已知),
所以$∠AEF+∠CEF=90°$(垂直的定义),
所以$∠1+∠CEF=90°$(等量代换).
因为$∠C+∠1=90°$(已知),
所以$∠C=∠CEF$(等量代换),
所以$CD/\!/EF$(内错角相等,两直线平行),
所以$AB/\!/CD$(平行于同一条直线的两条直线平行).

12. 万唯原创 中考新考法·综合与实践，在学习了平行线的判定之后，老师给大家布置了一道实践作业:对于一个锐角三角形纸片ABC,在不利用工具的情况下怎样折叠才能在三角形中作出其中一条边的平行线呢?小英同学的解决方案如下:
折叠方法:①如图,先将三角形纸片ABC的∠B折叠,使得点B的对应点B'落在线段AB上,折痕为DE;
②再将∠C折叠,使得折叠后点C的对应点C'落在线段B'D上,得到折痕DF;
③DF即为边AB的平行线.
请你根据所学知识说明小英作法的正确性.

12. 解:由折叠可知$∠B'ED=∠BED$,
$∠B'DE=\frac{1}{2}∠B'DB$,$∠C'DF=\frac{1}{2}∠C'DC$,
因为$∠B'ED+∠BED=180°$,
所以$∠B'ED=∠BED=90°$.
因为$∠BDB'+∠CDC'=180°$,
所以$∠B'DE+∠C'DF=\frac{1}{2}∠BDB'+\frac{1}{2}∠CDC'=\frac{1}{2}(∠BDB'+∠CDC')=90°$,
即$∠EDF=90°$,
所以$∠B'ED+∠EDF=180°$,
所以$DF/\!/AB$,
故小英的作法正确.