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1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
A.对角线互相垂直
B.对边平行
C.对角相等
D.对角线相等
D
）A.对角线互相垂直
B.对边平行
C.对角相等
D.对角线相等
答案
1. D 解析:
∵ 矩形和菱形都是平行四边形,
∴ 对边平行,对角相等是二者都具有的性质.对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质,对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质.故选 D.
∵ 矩形和菱形都是平行四边形,
∴ 对边平行,对角相等是二者都具有的性质.对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质,对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质.故选 D.
2. (2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 (
A.6
B.5
C.4
D.3
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
2. C 解析:根据矩形ABCD的性质,得OA=OB=OC=OD=1/2AC.
∵ ∠ABD=60°,
∴ △AOB是等边三角形.
∵ AB=2,
∴ OA=OB=AB=1/2AC=2,则AC=4.故选 C.
∵ ∠ABD=60°,
∴ △AOB是等边三角形.
∵ AB=2,
∴ OA=OB=AB=1/2AC=2,则AC=4.故选 C.
3. 两个矩形的位置如图所示,若∠1=124°,则∠2的度数为 (
A.34°
B.56°
C.79°
D.146°
B
)A.34°
B.56°
C.79°
D.146°
答案
3. B 解析:如图
,∵ ∠1 = 124°,
∴ ∠3 = 180° - ∠1 = 180°-124°=56°.
∵ 图中的四边形是矩形,
∴ ∠4=90°-∠3=90°-56°=34°,
∴ ∠2=90°-∠4=90°-34°=56°.故选 B.
4. (2025·沈阳期中)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,BF=BG,若AB=4,CE=10,则AG的长为 (
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
C
)A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
答案
4. C 解析:
∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC=90°.
∵ CE=10,F 为 CE 的中点,
∴ BF=1/2CE=5,
∴ BG=BF=5,
∴ AG=√(BG²-AB²)=3,故选 C.
∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC=90°.
∵ CE=10,F 为 CE 的中点,
∴ BF=1/2CE=5,
∴ BG=BF=5,
∴ AG=√(BG²-AB²)=3,故选 C.
5. (2025·陕西中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连接AE,CF.若四边形AECF为菱形,则这个菱形的面积为
39/4
.答案
5. 39/4 解析:
∵ 四边形 AECF 为菱形,
∴ AF = AE = EC = FC.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ CD=AB=3,AD=BC=2,∠ADC=90°,设 DF=x,则 AF=AD+DF=2+x,
∴ CF=AF=2+x.
∵ 在Rt△CFD 中,DC²+DF²=CF²,即 3²+x²=(2+x)²,
∴ x=5/4,即DF=5/4.
∴ AF=2+x=13/4,
∴ 菱形的面积为 AF·CD=13/4×3=39/4.
∵ 四边形 AECF 为菱形,
∴ AF = AE = EC = FC.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ CD=AB=3,AD=BC=2,∠ADC=90°,设 DF=x,则 AF=AD+DF=2+x,
∴ CF=AF=2+x.
∵ 在Rt△CFD 中,DC²+DF²=CF²,即 3²+x²=(2+x)²,
∴ x=5/4,即DF=5/4.
∴ AF=2+x=13/4,
∴ 菱形的面积为 AF·CD=13/4×3=39/4.
6. 如图,点O是矩形ABCD的对称中心,E,F分别是边AB,CD上的点,且$BE=DF$,已知矩形ABCD的面积是32,那么图中阴影部分的面积为
8
.答案
6. 8 解析:
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ OB = OD,AB // CD,
∴ ∠OBE=∠ODF.
在△OBE 和△ODF 中,
$\begin{cases} ∠BOE=∠DOF,\\ OB=OD,\\ ∠OBE=∠ODF, \end{cases}$
∴ △OBE≌△ODF(ASA),
∴ S△OBE = S△ODF,
∴ S阴影 = S△OBE + S△OCF = S△ODF + S△OCF = S△ODC = 1/4 S矩形ABCD = 1/4×32=8.故答案为 8.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ OB = OD,AB // CD,
∴ ∠OBE=∠ODF.
在△OBE 和△ODF 中,
$\begin{cases} ∠BOE=∠DOF,\\ OB=OD,\\ ∠OBE=∠ODF, \end{cases}$
∴ △OBE≌△ODF(ASA),
∴ S△OBE = S△ODF,
∴ S阴影 = S△OBE + S△OCF = S△ODF + S△OCF = S△ODC = 1/4 S矩形ABCD = 1/4×32=8.故答案为 8.
7. (哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF=
46°或106°
.答案
7. 46°或 106° 解析:如图①
,当 F 在 AB 上时,∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ OD = OA,
∴ ∠OAD = ∠ODA = 38°,
∴ ∠AOB=∠ADO+∠DAO=76°.
∵ ∠BOF=30°,
∴ ∠AOF=∠AOB-∠BOF=46°.如图②
,当 F 在 BC 上时,∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ OD = OA,
∴ ∠OAD = ∠ODA = 38°,
∴ ∠AOB=∠ADO+∠DAO=76°.
∵ ∠BOF=30°,
∴ ∠AOF=∠AOB+∠BOF=106°.综上,∠AOF=46°或 106°.
易错提醒 本题的解题关键是要分两种情况讨论,注意不要漏解.
8. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点A作AF//BD,过点B作BF//AC,两线相交于点F.
(1)求证:四边形AEBF是菱形;
(2)连接CF,交BD于点G,若BD⊥CF,请直接写出∠AED的度数为
(1)求证:四边形AEBF是菱形;
(2)连接CF,交BD于点G,若BD⊥CF,请直接写出∠AED的度数为
60
°.答案
8. (1)
∵ 四边形 ABCD 为矩形,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,
∴ AE=BE.又
∵ AF//BD,BF//AC,
∴ 四边形 AEBF 为平行四边形.
∵ AE=BE,
∴ 四边形 AEBF 是菱形.
(2)60 解析:如图
,连接 EF.∵ BD⊥CF,AF//BD,
∴ AF⊥CF,
∴ ∠AFC=90°.
∵ E 为 AC 的中点,
∴ 在 Rt△AFC中,AE=FE=CE.又
∵ 四边形 AEBF 为菱形,
∴ AE = AF,
∴ AE = AF = FE,即△AEF 为等边三角形,
∴ ∠AEF=60°.根据菱形的性质可得∠BEF=∠AEF=60°,
∴ ∠AED=60°.
9. 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF = ∠AFC，∠FAE = ∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（
A.7°
B.21°
C.23°
D.24°
C
）A.7°
B.21°
C.23°
D.24°
答案
9. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BCD=90°,AB//CD,
∴ ∠FEA = ∠ECD.
∵ ∠ACF = ∠AFC, ∠FAE = ∠FEA,
∴ ∠ACF=∠AFC=2∠FEA.设∠ECD=x,则∠ACF=2x,
∴ ∠ACD=3x,
∴ 3x+21°=90°,解得 x=23°.故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BCD=90°,AB//CD,
∴ ∠FEA = ∠ECD.
∵ ∠ACF = ∠AFC, ∠FAE = ∠FEA,
∴ ∠ACF=∠AFC=2∠FEA.设∠ECD=x,则∠ACF=2x,
∴ ∠ACD=3x,
∴ 3x+21°=90°,解得 x=23°.故选 C.
