7. 如图，D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC内任意一点，连接OA，OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.若四边形DGFE是菱形，则OA与BC要满足的数量关系是。

7. OA=BC 解析:
∵ D,E 分别是 AB,AC 的中点,
∴ DE // BC,$DE = \frac{1}{2}BC$.同理,$GF // BC$,$GF = \frac{1}{2}BC$,
∴ DE // GF, DE = GF,
∴ 四边形 DGFE 是平行四边形. 在 $△AOC$ 中, E, F 分别为 AC,OC 的中点,
∴ $EF = \frac{1}{2}OA$.若 OA = BC,则 EF = GF,可得平行四边形 DGFE 是菱形,
∴ 当 OA = BC 时,四边形 DGFE 是菱形.

8. 如图①，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC=6$，点P是底边BC上的一个动点. $PD// AC$，$PE// AB$.
(1)四边形ADPE的周长为.
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？并说明理由.
(3)如果$△ ABC$不是等腰三角形(如图②)，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？并说明理由.

8. (1)12 解析:
∵ PD // AC,PE // AB,
∴ $∠DPB = ∠C$, $∠EPC = ∠B$.
∵ AB = AC,
∴ $∠B = ∠C$,
∴ $∠B = ∠DPB$, $∠C = ∠EPC$,
∴ DB = DP,PE = EC,
∴ 四边形 ADPE 的周长是 AD + DP + PE + AE = AB + AC = 6×2 = 12.
(2)当点 P 运动到 BC 中点时,四边形 ADPE 是菱形.理由如下:
∵ PD // AC,PE // AB,
∴ 四边形 ADPE 是平行四边形,由(1)得 $∠DPB = ∠EPC$.
∵ 点 P 是 BC 的中点,
∴ PB = PC. 在 $△DBP$ 和 $△ECP$ 中, $∠B = ∠C$, BP = CP, $∠DPB = ∠EPC$,
∴ $△DBP ≌ △ECP$,
∴ DP = EP,
∴ 平行四边形 ADPE 是菱形.
(3)如图,点 P 运动到 $∠BAC$ 的平分线上时,四边形 ADPE 是菱形.理由如下:
∵ PD // AC, PE // AB,
∴ 四边形 ADPE 是平行四边形.
∵ AP 平分 $∠BAC$,
∴ $∠1 = ∠2$.
∵ AB // EP,
∴ $∠1 = ∠3$,
∴ $∠2 = ∠3$,
∴ AE = EP,
∴ 平行四边形 ADPE 是菱形.

9. 新题型 新定义 我们定义:以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形.如图①,在菱形ABCD中,连接AC,在AD的延长线上取点E使得$AE=AC$,以CA,AE为边作菱形CAEF,我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”.
(1)如图②,在菱形ABCD中,连接AC,在BC的延长线上作$CF=CA$,作$∠ACF$的平分线CE交AD的延长线于点E,连接FE.求证:四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”.
(2)如图③,菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”,过点C作$CH⊥AE$于点H,对角线AC,BD相交于点O.连接EO,若$EO=\sqrt{2}CH$,试判断ED与BD之间的数量关系,并加以证明.

9. (1)
∵ CE 平分 $∠FCA$,
∴ $∠FCE = ∠ACE$.
∵ BC // AE,
∴ $∠FCE = ∠AEC = ∠ACE$,
∴ AE = AC = FC.又
∵ AE // FC,
∴ 四边形 AEFC 为平行四边形,
∴ $□ AEFC$ 为菱形,即菱形 AEFC 为菱形 ABCD 的“伴随菱形”.
(2)$ED = BD$.证明如下:
如图,过点 E 作 $EM ⊥ CF$ 于点 M,$EN ⊥ CA$ 于点 N,$EK ⊥ BD$ 的延长线于点 K,连接 EB.
∵ 四边形 AEFC 为菱形,
∴ HC = EM,点 E 在 $∠ACF$ 的平分线上,
∴ EM = EN,
∴ $EO = \sqrt{2}CH = \sqrt{2}EN$, 又 $∠ENO = 90°$, 由勾股定理可得 ON = EN,
∴ $∠EON = 45°$,
∴ OE 平分 $∠COD$,
∴ EK = EN = EM,
∴ 点 E 在 $∠KBM$ 的平分线上,即 $∠MBE = ∠KBE$.
又
∵ BF // AE,
∴ $∠MBE = ∠BED = ∠KBE$,
∴ DB = DE.