1.（深圳中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE，若四边形ECDF为菱形，则a的值为（）


A.1
B.2
C.3
D.4

1. B 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ CD = AB = 4.
∵ 四边形 ECDF 为菱形,
∴ EC = CD = 4.
∵ BC = 6,
∴ BE = BC - CE = 2,
∴ a = 2.故选 B.

2. 在实验课上,为判断一个四边形是否为菱形,琪琪用仪器进行了测量,首先测量出两组对边分别相等,然后再测量出,最后得到结论:这个四边形是菱形.则横线处应填（）

A.两组对边分别平行
B.两条对角线垂直
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等

2. B 解析:
∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
∴ 该四边形是平行四边形.
∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴ 测量出两条对角线垂直后,可判定该四边形是菱形.故选 B.

3. (2026·深圳期中)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且$AE=CF$,添加一个适当的条件,使四边形BEDF是菱形,这个条件可以是.(填一个正确条件即可)

3. DE=DF(答案不唯一) 解析:在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,则 OB = OD, OA = OC.
∵ AE = CF,
∴ OE = OF.在四边形 BEDF 中,OB = OD,OE = OF,则四边形 BEDF 是平行四边形,当 DE = DF 时,四边形 BEDF 是菱形;当 DE = EB 时,四边形 BEDF 是菱形;当 BE = BF 时,四边形 BEDF 是菱形;当 FB = DF 时,四边形 BEDF 是菱形;当 DC = CB 时,$□ ABCD$ 是菱形,
∴ CA 平分 $∠BCD$,即 $∠BCF = ∠DCF$.
∵ DC = BC, $∠BCF = ∠DCF$, CF = CF,
∴ $△DCF ≌ △BCF$(SAS),则 FB = DF,即四边形 BEDF 是菱形;当 DC = DA 时,$□ ABCD$ 是菱形,
∴ DC = DA,
∴ $∠DCF = ∠DAE$.
∵ AE = CF,
∴ $△DCF ≌ △DAE$(SAS),则 DE = DF,即四边形 BEDF 是菱形;当 AB = AD 时,$□ ABCD$ 是菱形,
∴ AC 平分 $∠BAD$,即 $∠BAE = ∠DAE$.
∵ AB = AD, $∠BAE = ∠DAE$, AE = AE,
∴ $△ABE ≌ △ADE$(SAS),则 DE = BE,即四边形 BEDF 是菱形;当 AB = BC 时,$□ ABCD$ 是菱形,
∴ AB = BC,
∴ $∠BAE = ∠BCF$.又
∵ AE = CF,
∴ $△BAE ≌ △BCF$(SAS),则 BE = BF,即四边形 BEDF 是菱形;此外,由对角线互相垂直也可以判定四边形 BEDF 是菱形,选取其中一个即可.

4. 改编题（2024·广元中考）如图，已知平行四边形ABCD，EF垂直平分对角线AC交AC于点O，连接AE，CF。求证：四边形AFCE是菱形。

4.
∵ 直线 EF 是线段 AC 的垂直平分线,
∴ EA = EC, FA = FC,$∠COE = ∠AOF = 90°$, OA = OC.又
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,
∴ $∠ECO = ∠FAO$,
∴ $△COE ≌ △AOF$,
∴ EC = FA.
∴ EA = EC = FA = FC,
∴ 四边形 AFCE 是菱形.

5. 新趋势 开放性试题（岳阳中考）如图，点E，F分别在$□ ABCD$的边AB，BC上，$AE=CF$，连接DE，DF.请从以下三个条件：①$∠ 1=∠ 2$；②$DE=DF$；③$∠ 3=∠ 4$中选择一个合适的作为已知条件，使$□ ABCD$为菱形.你添加的条件是；(填序号)
请根据你添加的条件，证明$□ ABCD$为菱形.

5. ①(或③)
证明:添加①$∠1 = ∠2$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $∠A = ∠C$.在 $△ADE$ 和 $△CDF$ 中,
∵ $∠1 = ∠2$, $∠A = ∠C$,$AE = CF$,
∴ $△ADE ≌ △CDF$,
∴ AD = CD,
∴ $□ ABCD$ 为菱形.
添加③$∠3 = ∠4$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $∠A = ∠C$.在 $△ADE$ 和 $△CDF$ 中,
∵ $∠3 = ∠4$,$AE = CF$,$∠A = ∠C$,
∴ $△ADE ≌ △CDF$,
∴ AD = CD,
∴ $□ ABCD$ 为菱形.

6. 如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两位同学的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE,则四边形AFCE是菱形.
乙:分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,分别交BC于点E,交AD于点F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是 ()


A.仅甲正确
B.仅乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误

6. C 解析:甲的作法正确.如图①,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,
∴ $∠DAC = ∠ACB$.
∵ EF 是 AC 的垂直平分线,
∴ AO = CO. 在 $△AOE$ 和 $△COF$ 中,
∵ $∠EAO = ∠FCO$, AO = CO, $∠AOE = ∠COF$,
∴ $△AOE ≌ △COF$,
∴ AE = CF.
∵ AE // CF,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ EF ⊥ AC,
∴ 平行四边形 AECF 是菱形.乙的作法正确.如图②,
∵ AD // BC,
∴ $∠1 = ∠2$, $∠6 = ∠4$.
∵ BF 平分 $∠ABC$,AE 平分 $∠BAD$,
∴ $∠2 = ∠3$, $∠5 = ∠6$,
∴ $∠1 = ∠3$, $∠5 = ∠4$,
∴ AB = AF,AB = BE,
∴ AF = BE.又
∵ AF // BE,
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形.
∵ AB = AF,
∴ 平行四边形 ABEF 是菱形.故选 C.