10.（内江中考）如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是。

10. 5 解析 如图,作点 M 关于 BD 的对称点 Q,连接 NQ,交 BD 于点 P,连接 MP,此时 MP+NP 的值最小.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,∠QBP = ∠MBP,即点 Q 在 AB 上.
∵ MQ ⊥ BD,
∴ AC // MQ.
∵ M 为 BC 的中点,
∴ Q 为 AB 的中点.
∵ N 为 CD 的中点,四边形 ABCD 是菱形,
∴ BQ // CN,BQ=CN,
∴ 四边形 BQNC 是平行四边形,
∴ NQ=BC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ CP = $\frac{1}{2}AC=3$,BP = $\frac{1}{2}BD=4$. 在 Rt△BPC 中,由勾股定理得 BC=5,即 NQ=5.
∴ MP+NP=QP+NP=QN=5,即 PM+PN 的最小值是 5.
技法点拨 利用菱形的轴对称性,找出对称点,将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法.

11. 综合与实践课上,诸葛小组三位同学对含$60°$角的菱形进行探究.
【背景】在菱形$ABCD$中,$∠ B = 60°$,作$∠ PAQ=∠ B$,$AP$,$AQ$分别交边$BC$,$CD$于点$P$,$Q$(点$P$不与点$B$重合).
(1)【感知】如图①,若点$P$是边$BC$的中点,小南经过探索发现了线段$AP$与$AQ$之间的数量关系,请你写出这个数量关系:.
(2)【探究】如图②,小阳认为“若点$P$为$BC$上任意一点,(1)中的结论仍然成立”,你同意吗?请说明理由.

11. (1)$AP=AQ$ 解析: 如图①,连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,且 ∠B = 60°,
∴ AB = AD = BC = CD, ∠B = ∠D = 60°.
∴ △ABC和△ADC 都是等边三角形.
∴ ∠BAC = ∠DAC = 60°,AB = AD = AC.
∵ 点 P 是边 BC 的中点,
∴ AP ⊥ BC,∠BAP = ∠CAP = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°.
∵ ∠PAQ = ∠B = 60°,
∴ ∠CAQ = ∠PAQ - ∠CAP = 60° - 30° = 30°.
∴ ∠DAQ = ∠DAC - ∠CAQ = 60°-30°=30°,
∴ ∠CAQ = ∠DAQ.
∴ AQ ⊥ CD.
∴ ∠APB = ∠AQD = 90°. 在 △ABP 和 △ADQ 中,$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠APB=∠AQD,\\AB=AD,\end{cases}$
∴ △ABP≅△ADQ.
∴ AP=AQ.
(2)同意.理由如下:如图②,连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,且 ∠B = 60°,
∴ AB = AD = BC = CD, ∠B = ∠D = 60°.
∴ △ABC和△ADC 都是等边三角形.
∴ AB = AC, ∠B = ∠ACQ = ∠BAC = 60°.
∴ ∠BAP + ∠PAC = 60°.
∵ ∠PAQ = 60°,
∴ ∠PAC+∠CAQ=60°.
∴ ∠BAP = ∠CAQ.在△BAP 和 △CAQ 中,$\begin{cases}∠ABP=∠ACQ,\\AB=AC,\\∠BAP=∠CAQ,\end{cases}$
∴ △BAP≅△CAQ,
∴ AP=AQ.

12. 如图,在菱形ABCD中,AD=2,∠ABC=120°,E是BC边上的动点,P为对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.

12. $\sqrt{3}$ 解析 如图,连接 BD,连接 DE 交 AC 于点 P',连接 BP'.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AC 垂直平分 BD,
∴ P'B = P'D,
∴ P'E+P'B = P'E+P'D=DE.当 DE ⊥ BC 时,根据垂线段最短,此时 DE 的值最小,即 P 移动到此时 P'处时,PE+PB 为 P'E+P'B=DE 的值最小.
∵ AD = 2, ∠ABC = 120°,
∴ BC = DC = 2, ∠BCD = 60°,
∴ △BCD为等边三角形,
∴ CE = 1,
∴ DE = $\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{3}$,则 PE+PB 的最小值为$\sqrt{3}$,故答案为$\sqrt{3}$.

13. 在菱形ABCD中，$∠ ABC=60°$,E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且$CF=AE$,连接BE,EF.
(1)如图①,当E是线段AC的中点时,求证:$BE=EF$.
(2)如图②,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,请你判断(1)中的结论:(填“成立”或“不成立”).
(3)如图③,当点E是线段AC延长线上的任意一点,其他条件不变时,(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

13. (1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ △ABC是等边三角形,
∴ ∠BCA = 60°.
∵ E 是线段 AC 的中点,
∴ ∠CBE = ∠ABE = 30°,AE = CE.
∵ CF = AE,
∴ CE = CF,
∴ ∠F = ∠CEF = $\frac{1}{2}∠BCA = 30°$,
∴ ∠CBE = ∠F = 30°,
∴ BE = EF.
(2)成立 解析:如图①,过点 E 作 EG//BC 交 AB 于点 G.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠ABC = 60°,
∴ AB = BC,∠BCD = 120°,AB // CD,
∴ △ABC 是等边三角形,∠ACD = 60°,∠DCF = ∠ABC = 60°,
∴ ∠ECF = 120°,
∴ AB = AC,∠ACB = 60°. 又
∵ EG // BC,
∴ ∠AGE = ∠ABC = 60°.又
∵ ∠BAC = 60°,
∴ △AGE 是等边三角形,
∴ AG = AE = GE,
∴ BG = CE,∠BGE = 120° = ∠ECF.又
∵ CF = AE,
∴ GE = CF,在 △BGE 和 △ECF 中,$\begin{cases}BG=EC,\\∠BGE=∠ECF,\\GE=CF,\end{cases}$
∴ △BGE≅△ECF(SAS),
∴ BE=EF.
(3)结论成立.证明如下:如图②,过点 E 作 EG//BC 交 AB 的延长线于点 G.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB = BC.
∵ ∠ABC=60°,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ AB = AC,∠ACB = 60°,
∴ ∠ECF = 60°.
∵ EG // BC,
∴ ∠AGE = ∠ABC = 60°.
∵ ∠BAC = 60°,
∴ △AGE 是等边三角形,
∴ AG = AE = GE,
∴ BG = CE, ∠AGE = ∠ECF.
∵ CF = AE,
∴ GE = CF. 在 △BGE 和 △ECF 中, BG = EC, ∠BGE = ∠ECF,GE = CF,
∴ △BGE≅△ECF,
∴ BE=EF.
易错提醒 若辅助线选择错误,会增加证明难度,应优先考虑构造等边三角形或平行线.