10. 如图,在矩形ABCD中,$AB=5$,$AD=3$,动点P满足$S_{△ PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$,则点P到A,B两点距离之和$PA+PB$的最小值为.

10. √41 解析:设△ABP 中 AB 边上的高是 h.
∵ S△PAB = 1/3 S矩形ABCD,
∴ 1/2 AB·h = 1/3 AB·AD,
∴ h=2/3 AD=2,
∴ 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上.如图,作 A 关于直线 l 的对称点 E,连接 AE,BE,则 BE 的长就是所求的最短距离.在 Rt△ABE中,
∵ AB=5,AE=2+2=4,
∴ BE=√(AB²+AE²)=√(5²+4²)=√41,即 PA+PB 的最小值为√41.

11. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为.

11. √2 + 1 解析:如图,取 AD 的中点 H,连接 CH,OH.
∵ 在矩形 ABCD中,AB = 1,BC = 2,
∴ CD = AB =1,AD=BC=2.
∵ 点 H 是 AD 的中点,
∴ AH = DH = 1,
∴ CH =√(DH²+CD²) = √(1+1) = √2.
∵ ∠AOD=90°,点 H 是 AD 的中点,
∴ OH=1/2 AD=1.在△OCH 中,CO＜OH+CH,当点 H 在OC 上时,CO=OH+CH,
∴ CO 的最大值为 OH+CH=√2+1.

12. 如图①,将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:△BDF是等腰三角形.
(2)如图②,过点D作DG//BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的长.

12. (1)根据折叠知∠DBC=∠DBE,又 AD//BC,
∴ ∠DBC=∠ADB,
∴ ∠DBE=∠ADB,
∴ DF=BF,
∴ △BDF 是等腰三角形.
(2)①四边形 BFDG 是菱形.理由如下:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ FD//BG.又 DG//BF,
∴ 四边形 BFDG 是平行四边形.
∵ DF=BF,
∴ 平行四边形 BFDG 是菱形.
②
∵ AB=6,AD=8,
∴ BD=√(AB²+AD²)=10,
∴ OB=1/2 BD=5.设 DF=BF=x,则 AF=AD-DF=8-x.在 Rt△ABF中,AB²+AF²=BF²,即 6²+(8-x)²=x²,解得 x=25/4,即 BF=25/4,
∴ FO=√(BF²-OB²)=√((25/4)²-5²)=15/4,
∴ FG=2FO=15/2.

13. 已知四边形ABCD是矩形,点E是AB上一点.
(1)如图①,连接CE并延长,分别交BD于点G,交DA的延长线于点F.若AE=AD,CE⊥BD,求证:AF=AB;
(2)如图②,在(1)的条件下,连接AG,求证:EG+DG=$\sqrt{2}AG$;
(3)如图③,四边形BCDE关于直线DE的对称图形为四边形FGDE,延长FE交CD于点P,若AD=2,AE=$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$,则四边形ADPE的面积为.(直接写出答案,无需证明)

13. (1)
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠DAB = ∠EAF = 90°,
∴ ∠AEF + ∠F = 90°.
∵ CE ⊥ BD,
∴ ∠EGB = 90°,
∴ ∠ABD+∠GEB=90°.
∵ ∠GEB=∠AEF,
∴ ∠ABD=∠F.
在△ABD 和△AFE 中,
$\begin{cases} ∠DAB=∠EAF,\\ ∠ABD=∠F,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌△AFE(AAS),
∴ AF=AB.
(2)如图,过点 A 作 AM ⊥ AG 交 EF 于点 M,则 ∠GAM = 90°.
∵ ∠EAF = 90°,
∴ ∠GAB + ∠EAM = ∠FAM + ∠EAM,
∴ ∠GAB=∠MAF. 在△AGB 和△AMF 中,
$\begin{cases} ∠GAB=∠MAF,\\ AB=AF,\\ ∠GBA=∠MFA, \end{cases}$
∴ △AGB≌△AMF(ASA),
∴ AM=AG.
∵ ∠GAM=90°,
∴ △AMG 为等腰直角三角形,
∴ ∠AMG = ∠AGM = 45°, MG = √2 AG.
∵ ∠DAB = 90°,∠GAM=90°,
∴ ∠DAG=∠EAM.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE=∠AED=45°,
∴ ∠AMG = ∠AED = 45°.
∵ CE ⊥ BD,
∴ ∠DGE=90°,
∴ ∠DGA=90°-∠AGM=90°-45°=45°,
∴ ∠AME = ∠DGA. 在 △AME 和 △AGD 中,
$\begin{cases} ∠AME=∠AGD,\\ ∠MAE=∠GAD,\\ AE=AD, \end{cases}$
∴ △AME≌△AGD(AAS),
∴ ME=DG,
∴ MG=EG+ME=EG+DG.
∵ MG=√2 AG,
∴ EG+DG=√2 AG.
(3)2√3 解析:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB // CD,∠DAE=90°. 在 Rt△DAE 中,由勾股定理得 DE=√(AD²+AE²)=√(2²+(2√3/3)²)=4√3/3,
∴ AE=1/2 DE,
∴ ∠ADE=30°,
∴ ∠DEA=90°-30°=60°.
∵ 四边形 BCDE与四边形 FGDE 关于直线 DE 对称,
∴ ∠DEF=∠DEB.
∵ ∠PEB=∠AEF,
∴ ∠DEA=∠DEP=60°,
∴ ∠PEB=180°-60°-60°=60°.
∵ AB//CD,
∴ ∠DPE=∠PEB=60°,
∴ △DEP为等边三角形,
∴ DP=DE=4√3/3,
∴ 梯形 ADPE的面积为 1/2(AE+DP)·AD=1/2×(2√3/3 + 4√3/3)×2=2√3.