1. (2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定$□ ABCD$为矩形的是 ()

A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AC⊥ BD$

D 解析: 如图, A. $∠BAD = 90°$,能判定$□ ABCD$ 为矩形,本选项不符合题意；
B. $\because ∠ ABC = ∠ BCD, ∠ ABC + ∠ BCD = 180°, \therefore ∠ ABC = ∠ BCD = 90°$, 能判定$□ ABCD$ 为矩形,本选项不符合题意；
C. $AC=BD$,能判定$□ ABCD$ 为矩形,本选项不符合题意；
D. $AC ⊥ BD$,能判定$□ ABCD$为菱形,不能判定$□ ABCD$为矩形,本选项符合题意.故选 D.

2. (2026·西安期中)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OC,OB=OD.在下列条件中,能判定四边形ABCD是矩形的是 ()

A.$AB=AC$
B.$AB=AD$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥BD$

C 解析: $\because OA=OC,OB=OD,\therefore$ 四边形ABCD 是平行四边形,添加$AB=AC$,不能判定四边形ABCD是矩形,故A不符合题意;添加$AB=AD$,则四边形ABCD是菱形,故B不符合题意;添加$OA=OB$,则$AC=BD,\therefore$ 四边形ABCD是矩形,故C符合题意;添加$AC ⊥ BD,\therefore$ 四边形ABCD为菱形,故D不符合题意.故选 C.

3. 新趋势 开放性试题（黑龙江中考）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形。

EB=DC(答案不唯一) $\because$ 四边形ABCD 为平行四边形,$\therefore AD// BC,AD=BC.\because AD=DE,\therefore DE=BC.\because DE// BC,\therefore$ 四边形DBCE 为平行四边形,$\therefore$ 根据对角线相等的平行四边形是矩形,可以添加一个条件为$EB=DC$.

4.（泰州中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分.
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

(1)$\because$ 点D是AB的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2} AB.\because$ 点E是AC的中点,点F是BC的中点,$\therefore EF$是$△ ABC$的中位线,$\therefore EF// AB$,$EF=\frac{1}{2} AB,\therefore EF=AD,\therefore$ 四边形ADFE是平行四边形,$\therefore AF$与DE互相平分.
(2)当$AF=\frac{1}{2} BC$时,四边形ADFE为矩形.理由:$\because$ 线段DE为$△ ABC$的中位线,$\therefore DE=\frac{1}{2} BC.\because AF=\frac{1}{2} BC,\therefore AF=DE$.由(1)得四边形ADFE是平行四边形,$\therefore$ 平行四边形ADFE为矩形.

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AE ⊥ BC$,$AD$平分$∠ FAC$,$CD ⊥ AD$于点$D$.求证:四边形$AECD$是矩形.

$\because AB = AC, AE ⊥ BC, \therefore AE$ 平分 $∠ BAC, ∠ AEC = 90°$,$\therefore ∠ BAE = ∠ CAE = \frac{1}{2} ∠ BAC.\because AD$ 平分 $∠ FAC$,$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2} ∠ FAC, \therefore ∠ DAE = ∠ CAE + ∠ DAC = \frac{1}{2} ∠ BAC + \frac{1}{2} ∠ FAC = \frac{1}{2}(∠ BAC+∠ FAC)=\frac{1}{2} × 180°=90°$.又$\because CD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore$ 四边形AECD是矩形.

6.（临沂中考）如图，在平行四边形ABCD中，M,N是BD上两点，BM=DN，连接AM,MC,CN,NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

A.$OM=\frac{1}{2}AC$
B.$MB=MO$
C.$BD⊥ AC$
D.$∠ AMB=∠ CND$

A 解析 $\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore OA=OC,OB=OD$.$\because$ 对角线BD上的两点M,N满足$BM=DN$,$\therefore OB-BM=OD-DN$,即 $OM=ON$,$\therefore$ 四边形AMCN是平行四边形.$\because OM=\frac{1}{2} AC$,$\therefore MN=AC$,$\therefore$ 平行四边形AMCN是矩形,故选 A.

7. 如图，$l_1 // l_2$，$BE // CF$，$BA ⊥ l_1$，$DC ⊥ l_2$，下面给出四个结论：① $BE = CF$；② $AB = DC$；③ $S_{△ ABE} = S_{△ DCF}$；④ 四边形ABCD是矩形。其中正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D 解析: $\because l_1 // l_2, BE // CF, \therefore$ 四边形BCFE是平行四边形,$\therefore BE=CF$,故①正确;$\because l_1 // l_2, BA ⊥ l_1, DC ⊥ l_2, \therefore AB=DC$,故②正确;$\because BE // CF, \therefore ∠ AEB = ∠ DFC$.在$△ ABE$和$△ DCF$中,$\begin{cases} ∠ AEB = ∠ DFC, \\ ∠ BAE = ∠ CDF, \\ AB = DC, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ DCF (\mathrm{AAS})$,$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ DCF}$,故③正确;$\because l_1 // l_2, BA ⊥ l_1, DC ⊥ l_2, \therefore$ 四边形ABCD是矩形,故④正确.故选 D.

8. 如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=2,BC=6,CD=4,连接AC,恰好平分∠BAE,则AE的长度为.

2.5 解析 由题意,过C作$CF ⊥ AE$于F,连接CE,作$AH ⊥ CD$于H,作$EG ⊥ AH$于G,又$\because AC$平分$∠ BAE$,$∠ B=90°$,$\therefore BC=FC=6$,$\therefore AB=AF=2$,设$EF=x$,$\therefore CE=\sqrt{CF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{36+x^2}$,$\therefore DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{20+x^2}$.$\because EG ⊥ AH, GH ⊥ CD, ∠ D=90°$,$\therefore$ 四边形EGHD为矩形,同理可得四边形ABCH 为矩形.$\therefore GH = DE = \sqrt{20+x^2}$,$GE=HD=CD-CH=CD-AB=4-2=2$,又 $AH=BC=6$,$\therefore AG=AH-GH=6-\sqrt{20+x^2}$.又$\because AE=AF+EF=x+2$,$\therefore$ 结合$AG^2+EG^2=AE^2$,则$(6-\sqrt{20+x^2})^2+2^2=(x+2)^2$.$\therefore x=\frac{1}{2}$ 或$x=-4$(不合题意,舍去).$\therefore AE=x+2=2.5$.故答案为2.5.